# Mittelpunktswinkel und Kreisbogen

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URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/kreisboegen-und-kreissektoren/mittelpunktswinkel-ueber-einem-bogen
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/circle-arc-sector/central-angle-on-arc/de.mdx

Mittelpunktswinkel erkennen, zugehörige Bögen einordnen und Bogenlängen sicher berechnen.

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## Definition des Mittelpunktswinkels

Ein Mittelpunktswinkel wird von zwei Radien begrenzt und hat seinen Scheitel im Kreismittelpunkt. Ein Tortenstück ist ein gutes Bild dafür: Seine Spitze liegt in der Mitte, seine beiden geraden Seiten verlaufen entlang der Radien.

In einem Kreis mit Mittelpunkt $$O$$ liegen $$A$$ und $$B$$ auf der Kreislinie. Dann ist $$\angle AOB$$ ein Mittelpunktswinkel, der den Bogen $$AB$$ zwischen diesen beiden Punkten überspannt.

Visible text: In einem Kreis mit Mittelpunkt liegen und auf der Kreislinie. Dann ist ein Mittelpunktswinkel, der den Bogen zwischen diesen beiden Punkten überspannt.

Component: LineEquation
Props:
- title: Der Mittelpunktswinkel $$\angle AOB$$
  Visible text: Der Mittelpunktswinkel
- description: Die Radien $$OA$$ und $$OB$$ bilden den Winkel. Sein Scheitel liegt im Kreismittelpunkt $$O$$.
  Visible text: Die Radien und bilden den Winkel. Sein Scheitel liegt im Kreismittelpunkt .
- data: [
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 1.5 * Math.cos(Math.PI / 6), y: 1.5 * Math.sin(Math.PI / 6), z: 0 },
{ x: 3 * Math.cos(Math.PI / 6), y: 3 * Math.sin(Math.PI / 6), z: 0 },
],
color: "#ea580c",
labels: [{ text: $$OA$$, at: 1, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
showPoints: true,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 1.5 * Math.cos(5 * Math.PI / 6), y: 1.5 * Math.sin(5 * Math.PI / 6), z: 0 },
{ x: 3 * Math.cos(5 * Math.PI / 6), y: 3 * Math.sin(5 * Math.PI / 6), z: 0 },
],
color: "#ea580c",
labels: [{ text: $$OB$$, at: 1, offset: [-0.3, 0.3, 0] }],
showPoints: true,
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const angle = (Math.PI / 6) + (i * (2 * Math.PI / 3) / 20);
return {
x: 1.5 * Math.cos(angle),
y: 1.5 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
lineWidth: 2,
showPoints: false,
labels: [{ text: $$\theta=120^\circ$$, at: 10, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 61 }, (_, i) => {
const angle = (Math.PI / 6) + (i * (2 * Math.PI / 3) / 60);
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#7c3aed",
lineWidth: 3,
showPoints: false,
labels: [{ text: <>Bogen $$AB$$</>, at: 30, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
},
{
points: Ar ... [truncated; 1416 chars]
  Visible text: [
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 1.5 * Math.cos(Math.PI / 6), y: 1.5 * Math.sin(Math.PI / 6), z: 0 },
{ x: 3 * Math.cos(Math.PI / 6), y: 3 * Math.sin(Math.PI / 6), z: 0 },
],
color: "#ea580c",
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
showPoints: true,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 1.5 * Math.cos(5 * Math.PI / 6), y: 1.5 * Math.sin(5 * Math.PI / 6), z: 0 },
{ x: 3 * Math.cos(5 * Math.PI / 6), y: 3 * Math.sin(5 * Math.PI / 6), z: 0 },
],
color: "#ea580c",
labels: [{ text: , at: 1, offset: [-0.3, 0.3, 0] }],
showPoints: true,
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const angle = (Math.PI / 6) + (i * (2 * Math.PI / 3) / 20);
return {
x: 1.5 * Math.cos(angle),
y: 1.5 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
lineWidth: 2,
showPoints: false,
labels: [{ text: , at: 10, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 61 }, (_, i) => {
const angle = (Math.PI / 6) + (i * (2 * Math.PI / 3) / 60);
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#7c3aed",
lineWidth: 3,
showPoints: false,
labels: [{ text: <>Bogen </>, at: 30, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
},
{
points: Ar ... [truncated; 1416 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 10]
- showZAxis: false

## Zusammenhang zwischen Mittelpunktswinkel und Bogen

Der Mittelpunktswinkel und der zugehörige Bogen haben dasselbe Gradmaß. Ein Winkel von $$60^\circ$$ erfasst also genau einen $$60^\circ$$-Bogen.

Visible text: Der Mittelpunktswinkel und der zugehörige Bogen haben dasselbe Gradmaß. Ein Winkel von erfasst also genau einen -Bogen.

```math
\text{Gradmaß des Mittelpunktswinkels} = \text{Gradmaß des aufgespannten Bogens}
```

Gilt $$\angle AOB = 60^\circ$$, dann misst auch der Bogen $$AB$$ genau $$60^\circ$$. Diese Gleichheit bezieht sich auf das Gradmaß, nicht auf die Bogenlänge.

Visible text: Gilt , dann misst auch der Bogen genau . Diese Gleichheit bezieht sich auf das Gradmaß, nicht auf die Bogenlänge.

## Bogenarten nach dem Mittelpunktswinkel

Je nach Mittelpunktswinkel unterscheiden wir drei Fälle:

### Kleiner Bogen

Ein kleiner Bogen wird von einem Mittelpunktswinkel unter $$180^\circ$$ aufgespannt und ist kürzer als der halbe Kreisumfang.

Visible text: Ein kleiner Bogen wird von einem Mittelpunktswinkel unter aufgespannt und ist kürzer als der halbe Kreisumfang.

### Halbkreisbogen

Ein Halbkreisbogen gehört genau zu $$180^\circ$$. Seine Endpunkte liegen auf einem Durchmesser, und seine Länge entspricht der Hälfte des Kreisumfangs.

Visible text: Ein Halbkreisbogen gehört genau zu . Seine Endpunkte liegen auf einem Durchmesser, und seine Länge entspricht der Hälfte des Kreisumfangs.

### Großer Bogen

Ein großer Bogen wird von einem Reflexwinkel über $$180^\circ$$ aufgespannt und ist länger als der halbe Kreisumfang. Sein Gradmaß ergänzt das des zugehörigen kleinen Bogens zu einem Vollwinkel:

Visible text: Ein großer Bogen wird von einem Reflexwinkel über aufgespannt und ist länger als der halbe Kreisumfang. Sein Gradmaß ergänzt das des zugehörigen kleinen Bogens zu einem Vollwinkel:

Component: ContentStack
Children:

```math
\text{Gradmaß des großen Bogens} = 360^\circ - \text{Gradmaß des kleinen Bogens}
```

Component: LineEquation
Props:
- title: Vergleich der Bogentypen
- description: Visualisierung von kleinem Bogen, Halbkreis und großem Bogen.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const angle = i * (Math.PI / 3) / 20;
return {
x: 2 * Math.cos(angle),
y: 2 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
lineWidth: 2,
showPoints: false,
labels: [{ text: $$\theta=60^\circ$$, at: 10, offset: [1, 0.3, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const angle = i * (Math.PI / 3) / 30;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#65a30d",
lineWidth: 4,
showPoints: false,
labels: [{ text: <>Kleiner Bogen $$(60^\circ)$$</>, at: 15, offset: [1, 0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(Math.PI / 3), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 3), z: 0 },
],
color: "#ea580c",
lineWidth: 2,
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
lineWidth: 2,
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: -4, y: 0, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
lineWidth: 2,
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const angle = Math.PI + (i * Math.PI / 20);
return {
x: 2.5 * Math.cos(angle),
y: 2.5 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
lineWidth: 2,
showPoints: false,
labels: [{ text: ... [truncated; 1784 chars]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const angle = i * (Math.PI / 3) / 20;
return {
x: 2 * Math.cos(angle),
y: 2 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
lineWidth: 2,
showPoints: false,
labels: [{ text: , at: 10, offset: [1, 0.3, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const angle = i * (Math.PI / 3) / 30;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#65a30d",
lineWidth: 4,
showPoints: false,
labels: [{ text: <>Kleiner Bogen </>, at: 15, offset: [1, 0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(Math.PI / 3), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 3), z: 0 },
],
color: "#ea580c",
lineWidth: 2,
showPoints: false,
},
{
poi ... [truncated; 2732 chars]

## Bogenlänge berechnen

Der Bogen nimmt denselben Anteil am Kreisumfang ein wie der Mittelpunktswinkel am Vollwinkel. Daher gilt:

```math
s = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r
```

Dabei bezeichnet:

- $$s$$ die Bogenlänge
- $$\theta$$ den Mittelpunktswinkel in Grad
- $$r$$ den Kreisradius

Visible text: - die Bogenlänge
- den Mittelpunktswinkel in Grad
- den Kreisradius

Ist der Mittelpunktswinkel im Bogenmaß angegeben, vereinfacht sich die Formel zu:

```math
s = \theta \times r
```

Dabei muss $$\theta$$ im Bogenmaß eingesetzt werden.

Visible text: Dabei muss im Bogenmaß eingesetzt werden.

## Beispielanwendung

Betrachten wir einen Kreis mit $$r = 6 \text{ cm}$$ und $$\theta = 120^\circ$$.

Visible text: Betrachten wir einen Kreis mit und .

Einsetzen in die Bogenlängenformel ergibt:

Component: MathContainer
Children:

```math
s = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 6
```

```math
s = \frac{1}{3} \times 12\pi
```

```math
s = 4\pi \text{ cm}
```

Der zum Mittelpunktswinkel $$120^\circ$$ gehörende Bogen ist somit $$4\pi \text{ cm}$$ lang, also ungefähr $$12{,}57 \text{ cm}$$.

Visible text: Der zum Mittelpunktswinkel gehörende Bogen ist somit lang, also ungefähr .

Component: LineEquation
Props:
- title: Beispiel mit $$120^\circ$$
  Visible text: Beispiel mit
- description: Kreis mit Radius $$6 \text{ cm}$$ und Mittelpunktswinkel $$120^\circ$$.
  Visible text: Kreis mit Radius und Mittelpunktswinkel .
- data: [
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 },
{ x: 6, y: 0, z: 0 },
],
color: "#9333ea",
labels: [{ text: $$r=6\,\mathrm{cm}$$, at: 1, offset: [0, -0.5, 0] }],
showPoints: true,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3 * Math.cos(2 * Math.PI / 3), y: 3 * Math.sin(2 * Math.PI / 3), z: 0 },
{ x: 6 * Math.cos(2 * Math.PI / 3), y: 6 * Math.sin(2 * Math.PI / 3), z: 0 },
],
color: "#9333ea",
labels: [{ text: $$r=6\,\mathrm{cm}$$, at: 1, offset: [-0.5, 0.3, 0] }],
showPoints: true,
},
{
points: Array.from({ length: 25 }, (_, i) => {
const angle = i * (2 * Math.PI / 3) / 24;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#ea580c",
lineWidth: 2,
showPoints: false,
labels: [{ text: $$\theta=120^\circ$$, at: 12, offset: [0.8, 0.8, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const angle = i * (2 * Math.PI / 3) / 40;
return {
x: 6 * Math.cos(angle),
y: 6 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#e11d48",
lineWidth: 4,
showPoints: false,
labels: [{ text: $$s=4\pi\,\mathrm{cm}$$, at: 20, offset: [-1, -1, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 101 }, (_, i) => {
const angle = i * (2 * Math.PI / 100);
return {
x: 6 * Math.cos(angle),
y: ... [truncated; 1303 chars]
  Visible text: [
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 },
{ x: 6, y: 0, z: 0 },
],
color: "#9333ea",
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0, -0.5, 0] }],
showPoints: true,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3 * Math.cos(2 * Math.PI / 3), y: 3 * Math.sin(2 * Math.PI / 3), z: 0 },
{ x: 6 * Math.cos(2 * Math.PI / 3), y: 6 * Math.sin(2 * Math.PI / 3), z: 0 },
],
color: "#9333ea",
labels: [{ text: , at: 1, offset: [-0.5, 0.3, 0] }],
showPoints: true,
},
{
points: Array.from({ length: 25 }, (_, i) => {
const angle = i * (2 * Math.PI / 3) / 24;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#ea580c",
lineWidth: 2,
showPoints: false,
labels: [{ text: , at: 12, offset: [0.8, 0.8, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const angle = i * (2 * Math.PI / 3) / 40;
return {
x: 6 * Math.cos(angle),
y: 6 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#e11d48",
lineWidth: 4,
showPoints: false,
labels: [{ text: , at: 20, offset: [-1, -1, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 101 }, (_, i) => {
const angle = i * (2 * Math.PI / 100);
return {
x: 6 * Math.cos(angle),
y: ... [truncated; 1303 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false

## Modelle und Anwendungen

Gleiche Winkelabstände verteilen wiederholte Elemente gleichmäßig auf einem Zahnrad oder einer Kreisscheibe. Um den Winkel in eine Bogenlänge umzuwandeln, wird zusätzlich der Radius benötigt. Die Zeiger einer analogen Uhr überstreichen Mittelpunktswinkel. Kreisbogengeometrie kann außerdem die idealisierte Kontur eines Bogens oder einer Kuppel festlegen, während der Tragwerksentwurf weitere Angaben benötigt.

Wird die Erde näherungsweise als Kugel modelliert, hat eine Route auf einem Großkreis die Länge $$s=r\theta$$, wenn der Mittelpunktswinkel $$\theta$$ im Bogenmaß angegeben ist. Das ist ein mathematisches Modell; genaue Navigation verwendet ein Erdmodell und Routendaten, die zur geforderten Genauigkeit passen.

Visible text: Wird die Erde näherungsweise als Kugel modelliert, hat eine Route auf einem Großkreis die Länge , wenn der Mittelpunktswinkel im Bogenmaß angegeben ist. Das ist ein mathematisches Modell; genaue Navigation verwendet ein Erdmodell und Routendaten, die zur geforderten Genauigkeit passen.

## Übungen

1. Ein Kreis hat den Radius $$8 \text{ cm}$$. Berechne die Länge des Bogens zu $$45^\circ$$.

2. Ein Bogen ist $$10\pi \text{ cm}$$ lang, der Kreisradius beträgt $$15 \text{ cm}$$. Bestimme den zugehörigen Mittelpunktswinkel.

3. In einem Kreis mit Mittelpunkt $$O$$ gilt $$\angle AOB = 72^\circ$$ und $$r = 5 \text{ cm}$$. Bestimme die Länge des Bogens $$AB$$ als Vielfaches von $$\pi$$.

4. Ein Fahrradrad mit Radius $$30 \text{ cm}$$ dreht sich an einer festen Achse um $$150^\circ$$. Welche Strecke legt ein Punkt am Rand auf seiner Kreisbahn zurück?

Visible text: 1. Ein Kreis hat den Radius . Berechne die Länge des Bogens zu .

2. Ein Bogen ist lang, der Kreisradius beträgt . Bestimme den zugehörigen Mittelpunktswinkel.

3. In einem Kreis mit Mittelpunkt gilt und . Bestimme die Länge des Bogens als Vielfaches von .

4. Ein Fahrradrad mit Radius dreht sich an einer festen Achse um . Welche Strecke legt ein Punkt am Rand auf seiner Kreisbahn zurück?

### Ausführliche Lösungen

1. **Lösung:**

   Gegeben: $$r = 8 \text{ cm}$$ und $$\theta = 45^\circ$$

   Gesucht: Bogenlänge $$s$$

   **Schritt** $$1$$: Bogenlängenformel aufstellen

   
   
   ```math
   s = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r
   ```

   **Schritt** $$2$$: Bekannte Werte einsetzen

   
   
   ```math
   s = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 8
   ```

   **Schritt** $$3$$: Bruch vereinfachen

   
   
   ```math
   s = \frac{1}{8} \times 16\pi
   ```

   **Schritt** $$4$$: Ergebnis berechnen

   
   
   ```math
   s = 2\pi \text{ cm}
   ```

   Die Bogenlänge beträgt $$2\pi \text{ cm}$$, also ungefähr $$6{,}28 \text{ cm}$$.

2. **Lösung:**

   Gegeben: $$s = 10\pi \text{ cm}$$ und $$r = 15 \text{ cm}$$

   Gesucht: Mittelpunktswinkel $$\theta$$

   **Schritt** $$1$$: Bogenlängenformel aufstellen

   
   
   ```math
   s = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r
   ```

   **Schritt** $$2$$: Bekannte Werte einsetzen

   
   
   ```math
   10\pi = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi \times 15
   ```

   **Schritt** $$3$$: Gleichung vereinfachen

   
   
   ```math
   10\pi = \frac{\theta \times 30\pi}{360^\circ}
   ```

   **Schritt** $$4$$: $$\theta$$ isolieren

   
   
   ```math
   \theta = \frac{10\pi \times 360^\circ}{30\pi}
   ```

   **Schritt** $$5$$: Ergebnis berechnen

   
   
   ```math
   \theta = \frac{3600^\circ}{30} = 120^\circ
   ```

   Der zugehörige Mittelpunktswinkel beträgt $$120^\circ$$.

3. **Lösung:**

   Gegeben: $$\angle AOB = 72^\circ$$ und $$r = 5 \text{ cm}$$

   Gesucht: Länge des Bogens $$AB$$

   **Schritt** $$1$$: Bogenlängenformel aufstellen

   
   
   ```math
   s = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r
   ```

   **Schritt** $$2$$: Bekannte Werte einsetzen

   
   
   ```math
   s = \frac{72^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 5
   ```

   **Schritt** $$3$$: Bruch vereinfachen

   
   
   ```math
   s = \frac{72^\circ}{360^\circ} \times 10\pi = \frac{1}{5} \times 10\pi
   ```

   **Schritt** $$4$$: Ergebnis berechnen

   
   
   ```math
   s = 2\pi \text{ cm}
   ```

   Der Bogen $$AB$$ ist damit $$2\pi \text{ cm}$$ lang.

4. **Lösung:**

   Gegeben: $$r = 30 \text{ cm}$$ und $$\theta = 150^\circ$$

   Gesucht: zurückgelegte Strecke, also die Bogenlänge

   **Schritt** $$1$$: Bogenlängenformel aufstellen

   
   
   ```math
   s = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r
   ```

   **Schritt** $$2$$: Bekannte Werte einsetzen

   
   
   ```math
   s = \frac{150^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 30
   ```

   **Schritt** $$3$$: Bruch vereinfachen

   
   
   ```math
   s = \frac{150^\circ}{360^\circ} \times 60\pi = \frac{5}{12} \times 60\pi
   ```

   **Schritt** $$4$$: Ergebnis berechnen

   
   
   ```math
   s = 25\pi \text{ cm}
   ```

   Der Punkt legt auf seiner Kreisbahn $$25\pi \text{ cm}$$ zurück, also ungefähr $$78{,}54 \text{ cm}$$.

Visible text: 1. **Lösung:**

 Gegeben: und 

 Gesucht: Bogenlänge 

 **Schritt** : Bogenlängenformel aufstellen

 
 

 **Schritt** : Bekannte Werte einsetzen

 
 

 **Schritt** : Bruch vereinfachen

 
 

 **Schritt** : Ergebnis berechnen

 
 

 Die Bogenlänge beträgt , also ungefähr .

2. **Lösung:**

 Gegeben: und 

 Gesucht: Mittelpunktswinkel 

 **Schritt** : Bogenlängenformel aufstellen

 
 

 **Schritt** : Bekannte Werte einsetzen

 
 

 **Schritt** : Gleichung vereinfachen

 
 

 **Schritt** : isolieren

 
 

 **Schritt** : Ergebnis berechnen

 
 

 Der zugehörige Mittelpunktswinkel beträgt .

3. **Lösung:**

 Gegeben: und 

 Gesucht: Länge des Bogens 

 **Schritt** : Bogenlängenformel aufstellen

 
 

 **Schritt** : Bekannte Werte einsetzen

 
 

 **Schritt** : Bruch vereinfachen

 
 

 **Schritt** : Ergebnis berechnen

 
 

 Der Bogen ist damit lang.

4. **Lösung:**

 Gegeben: und 

 Gesucht: zurückgelegte Strecke, also die Bogenlänge

 **Schritt** : Bogenlängenformel aufstellen

 
 

 **Schritt** : Bekannte Werte einsetzen

 
 

 **Schritt** : Bruch vereinfachen

 
 

 **Schritt** : Ergebnis berechnen

 
 

 Der Punkt legt auf seiner Kreisbahn zurück, also ungefähr .