# Kreissehnen
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URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/kreisboegen-und-kreissektoren/sehne
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/circle-arc-sector/chord/de.mdx
Kreissehnen, ihren Abstand zum Mittelpunkt und den Sehnensatz anhand von Formeln und vollständig gelösten Aufgaben verstehen.
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## Kreissehnen verstehen
Eine Sehne ist eine Strecke, deren Endpunkte auf einem Kreis liegen. Eine gespannte Schnur zwischen zwei Punkten des Kreisrandes ist ein anschauliches Modell. Jede Sehne bestimmt einen kleinen und einen großen Kreisbogen und teilt die Kreisscheibe in ein kleines und ein großes Kreissegment.
Unter den Sehnen desselben Kreises ist eine weiter vom Mittelpunkt entfernte Sehne kürzer. Die längste Sehne verläuft durch den Mittelpunkt und heißt Durchmesser.
Component: LineEquation
Props:
- title: Sehnen in einem Kreis
- description: Vergleiche Sehnen mit unterschiedlichen Längen und Abständen vom Mittelpunkt.
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false
- data: [
{
kind: "circle-outline", radius: 4,
color: "#0891b2",
smooth: true,
showPoints: false,
labels: [{ text: "Kreis", at: 25, offset: [1, 0.5, 0] }]
},
{
kind: "circle-chord", radius: 4,
startDegrees: 30,
sweepDegrees: 120,
color: "#ea580c",
smooth: false,
showPoints: true,
labels: [
{ text: $$A$$, at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] },
{ text: $$B$$, at: 1, offset: [-0.3, 0.3, 0] }
]
},
{
kind: "circle-chord", radius: 4,
startDegrees: 60,
sweepDegrees: 180,
color: "#9333ea",
smooth: false,
showPoints: true,
labels: [
{ text: $$C$$, at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] },
{ text: $$D$$, at: 1, offset: [-0.3, -0.3, 0] }
]
},
{
points: [
{ x: -4, y: 0, z: 0 },
{ x: 4, y: 0, z: 0 }
],
color: "#d97706",
smooth: false,
showPoints: true,
labels: [
{ text: $$E$$, at: 0, offset: [-0.3, -0.3, 0] },
{ text: $$F$$, at: 1, offset: [0.3, -0.3, 0] }
]
},
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: "#7c3aed",
smooth: false,
showPoints: true,
labels: [{ text: $$O$$, at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }]
}
]
Visible text: [
{
kind: "circle-outline", radius: 4,
color: "#0891b2",
smooth: true,
showPoints: false,
labels: [{ text: "Kreis", at: 25, offset: [1, 0.5, 0] }]
},
{
kind: "circle-chord", radius: 4,
startDegrees: 30,
sweepDegrees: 120,
color: "#ea580c",
smooth: false,
showPoints: true,
labels: [
{ text: , at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] },
{ text: , at: 1, offset: [-0.3, 0.3, 0] }
]
},
{
kind: "circle-chord", radius: 4,
startDegrees: 60,
sweepDegrees: 180,
color: "#9333ea",
smooth: false,
showPoints: true,
labels: [
{ text: , at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] },
{ text: , at: 1, offset: [-0.3, -0.3, 0] }
]
},
{
points: [
{ x: -4, y: 0, z: 0 },
{ x: 4, y: 0, z: 0 }
],
color: "#d97706",
smooth: false,
showPoints: true,
labels: [
{ text: , at: 0, offset: [-0.3, -0.3, 0] },
{ text: , at: 1, offset: [0.3, -0.3, 0] }
]
},
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: "#7c3aed",
smooth: false,
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }]
}
]
## Nützliche Sehnenkonfigurationen
Die folgenden Konfigurationen helfen dabei, Sehnenaufgaben zu ordnen:
1. **Sehne ohne Durchmesser**: Sie verläuft nicht durch den Mittelpunkt und ist kürzer als der Durchmesser desselben Kreises.
2. **Durchmesser**: Diese Sehne verläuft durch den Mittelpunkt. Sie ist die längste Sehne und teilt die Kreisscheibe in zwei Halbkreise.
3. **Parallele Sehnen**: Die Trägergeraden von zwei oder mehr Sehnen sind parallel. Ihre Längen sind genau dann gleich, wenn auch ihre senkrechten Abstände vom Mittelpunkt gleich sind.
## Beziehung zwischen Sehne und Abstand zur Mitte
Gemeint ist der senkrechte Abstand vom Mittelpunkt zur Sehne. Das Lot vom Mittelpunkt halbiert die Sehne. So entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten $$d$$ und $$l/2$$ sowie der Hypotenuse $$r$$.
Visible text: Gemeint ist der senkrechte Abstand vom Mittelpunkt zur Sehne. Das Lot vom Mittelpunkt halbiert die Sehne. So entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten und sowie der Hypotenuse .
Ist $$d$$ dieser senkrechte Abstand, $$r$$ der Radius und $$l$$ die Sehnenlänge, folgt aus dem Satz des Pythagoras:
Visible text: Ist dieser senkrechte Abstand, der Radius und die Sehnenlänge, folgt aus dem Satz des Pythagoras:
```math
l = 2\sqrt{r^2 - d^2}
```
Diese Formel zeigt, dass, wenn $$d = 0$$ (die Sehne geht durch die Mitte), $$l = 2r$$ der Durchmesser ist.
Visible text: Diese Formel zeigt, dass, wenn (die Sehne geht durch die Mitte), der Durchmesser ist.
Component: LineEquation
Props:
- title: Zusammenhang zwischen Sehnenlänge und Mittelpunktabstand
- description: Sehnen mit unterschiedlichem Abstand vom Kreismittelpunkt.
- cameraPosition: [0, 0, 8]
- showZAxis: false
- data: [
{
kind: "circle-outline", radius: 3,
color: "#0891b2",
smooth: true,
showPoints: false
},
{
points: [
{ x: -3, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 }
],
color: "#ea580c",
smooth: false,
showPoints: true,
labels: [{ text: <>Durchmesser: $$d=0$$, at: 0, offset: [0, -0.5, 0] }]
},
{
points: [
{ x: -Math.sqrt(9 - 1), y: 1, z: 0 },
{ x: Math.sqrt(9 - 1), y: 1, z: 0 }
],
color: "#9333ea",
smooth: false,
showPoints: true,
labels: []
},
{
points: [
{ x: -Math.sqrt(9 - 4), y: 2, z: 0 },
{ x: Math.sqrt(9 - 4), y: 2, z: 0 }
],
color: "#d97706",
smooth: false,
showPoints: true,
labels: []
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 0, y: 1, z: 0 }
],
color: "#7c3aed",
smooth: false,
showPoints: false,
labels: [{ text: $$d=1$$, at: 1, offset: [0.5, 0, 0] }]
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 0, y: 2, z: 0 }
],
color: "#7c3aed",
smooth: false,
showPoints: false,
labels: [{ text: $$d=2$$, at: 1, offset: [0.5, 0, 0] }]
}
]
Visible text: [
{
kind: "circle-outline", radius: 3,
color: "#0891b2",
smooth: true,
showPoints: false
},
{
points: [
{ x: -3, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 }
],
color: "#ea580c",
smooth: false,
showPoints: true,
labels: [{ text: <>Durchmesser: , at: 0, offset: [0, -0.5, 0] }]
},
{
points: [
{ x: -Math.sqrt(9 - 1), y: 1, z: 0 },
{ x: Math.sqrt(9 - 1), y: 1, z: 0 }
],
color: "#9333ea",
smooth: false,
showPoints: true,
labels: []
},
{
points: [
{ x: -Math.sqrt(9 - 4), y: 2, z: 0 },
{ x: Math.sqrt(9 - 4), y: 2, z: 0 }
],
color: "#d97706",
smooth: false,
showPoints: true,
labels: []
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 0, y: 1, z: 0 }
],
color: "#7c3aed",
smooth: false,
showPoints: false,
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0.5, 0, 0] }]
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 0, y: 2, z: 0 }
],
color: "#7c3aed",
smooth: false,
showPoints: false,
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0.5, 0, 0] }]
}
]
## Eigenschaften gleichlanger Sehnen
Gleich lange Sehnen desselben Kreises haben denselben senkrechten Abstand vom Mittelpunkt. Umgekehrt sind Sehnen mit demselben senkrechten Abstand vom Mittelpunkt gleich lang.
Diese Eigenschaft ist sehr nützlich bei der Lösung verschiedener Kreisgeometrieprobleme. Wenn zwei Sehnen die gleiche Länge haben, dann gilt:
1. Der Abstand beider Sehnen zum Kreismittelpunkt ist gleich
2. Die zugehörigen kleinen Kreisbögen sind gleich lang
3. Die aufgespannten kleinen Mittelpunktswinkel sind gleich groß
## Sehnensatz
Schneiden sich die Sehnen $$AB$$ und $$CD$$ im Inneren des Kreises im Punkt $$P$$, dann gilt:
Visible text: Schneiden sich die Sehnen und im Inneren des Kreises im Punkt , dann gilt:
```math
AP \times PB = CP \times PD
```
Diese Beziehung heißt Sehnensatz.
## Übungsaufgaben
1. Ein Kreis hat einen Radius von $$13 \text{ cm}$$. Der senkrechte Abstand einer Sehne zum Mittelpunkt beträgt $$5 \text{ cm}$$. Bestimme die Länge der Sehne.
2. In einem Kreis mit Radius $$10 \text{ cm}$$ liegt eine Sehne mit der Länge $$16 \text{ cm}$$. Bestimme ihren senkrechten Abstand zum Mittelpunkt.
3. Zwei Sehnen $$AB$$ und $$CD$$ im selben Kreis sind $$24 \text{ cm}$$ beziehungsweise $$18 \text{ cm}$$ lang. Der Kreisradius beträgt $$15 \text{ cm}$$. Bestimme die Differenz ihrer senkrechten Abstände vom Mittelpunkt.
4. Die Sehnen $$PQ$$ und $$RS$$ schneiden sich im Punkt $$T$$. Es gilt $$PT = 6 \text{ cm}$$, $$TQ = 8 \text{ cm}$$ und $$RT = 4 \text{ cm}$$. Bestimme die Länge von $$TS$$.
5. Ein Kreis hat einen Durchmesser von $$26 \text{ cm}$$. Bestimme die Länge einer Sehne, deren senkrechter Abstand vom Mittelpunkt $$12 \text{ cm}$$ beträgt.
Visible text: 1. Ein Kreis hat einen Radius von . Der senkrechte Abstand einer Sehne zum Mittelpunkt beträgt . Bestimme die Länge der Sehne.
2. In einem Kreis mit Radius liegt eine Sehne mit der Länge . Bestimme ihren senkrechten Abstand zum Mittelpunkt.
3. Zwei Sehnen und im selben Kreis sind beziehungsweise lang. Der Kreisradius beträgt . Bestimme die Differenz ihrer senkrechten Abstände vom Mittelpunkt.
4. Die Sehnen und schneiden sich im Punkt . Es gilt , und . Bestimme die Länge von .
5. Ein Kreis hat einen Durchmesser von . Bestimme die Länge einer Sehne, deren senkrechter Abstand vom Mittelpunkt beträgt.
### Ausführliche Lösungen
1. **Antwort: $$24 \text{ cm}$$**
Gegeben: $$r = 13 \text{ cm}$$, $$d = 5 \text{ cm}$$
Mit der Formel für die Sehnenlänge:
```math
l = 2\sqrt{r^2 - d^2}
```
```math
l = 2\sqrt{13^2 - 5^2}
```
```math
l = 2\sqrt{169 - 25}
```
```math
l = 2\sqrt{144} = 2 \times 12 = 24 \text{ cm}
```
2. **Antwort: $$6 \text{ cm}$$**
Gegeben: $$r = 10 \text{ cm}$$, $$l = 16 \text{ cm}$$
Mit der Formel für die Sehnenlänge:
```math
16 = 2\sqrt{10^2 - d^2}
```
```math
8 = \sqrt{100 - d^2}
```
```math
64 = 100 - d^2
```
```math
d^2 = 100 - 64 = 36
```
```math
d = 6 \text{ cm}
```
3. **Antwort: $$3 \text{ cm}$$**
Gegeben: $$r = 15 \text{ cm}$$, $$l_1 = 24 \text{ cm}$$, $$l_2 = 18 \text{ cm}$$
Den Abstand der ersten Sehne ermitteln:
```math
24 = 2\sqrt{15^2 - d_1^2}
```
```math
12 = \sqrt{225 - d_1^2}
```
```math
144 = 225 - d_1^2
```
```math
d_1^2 = 81, \text{also} d_1 = 9 \text{ cm}
```
Den Abstand der zweiten Sehne ermitteln:
```math
18 = 2\sqrt{15^2 - d_2^2}
```
```math
9 = \sqrt{225 - d_2^2}
```
```math
81 = 225 - d_2^2
```
```math
d_2^2 = 144, \text{also} d_2 = 12 \text{ cm}
```
Distanzunterschied: $$d_2 - d_1 = 12 - 9 = 3 \text{ cm}$$
4. **Antwort: $$12 \text{ cm}$$**
Gegeben: PT = $$6 \text{ cm}$$, TQ = $$8 \text{ cm}$$, RT = $$4 \text{ cm}$$
Mit dem Sehnensatz:
```math
PT \times TQ = RT \times TS
```
```math
6 \times 8 = 4 \times TS
```
```math
48 = 4 \times TS
```
```math
TS = 12 \text{ cm}
```
5. **Antwort: $$10 \text{ cm}$$**
Gegeben: Durchmesser = $$26 \text{ cm}$$, also $$r = 13 \text{ cm}$$, $$d = 12 \text{ cm}$$
Mit der Formel für die Sehnenlänge:
```math
l = 2\sqrt{r^2 - d^2}
```
```math
l = 2\sqrt{13^2 - 12^2}
```
```math
l = 2\sqrt{169 - 144}
```
```math
l = 2\sqrt{25} = 2 \times 5 = 10 \text{ cm}
```
Visible text: 1. **Antwort: **
Gegeben: ,
Mit der Formel für die Sehnenlänge:
2. **Antwort: **
Gegeben: ,
Mit der Formel für die Sehnenlänge:
3. **Antwort: **
Gegeben: , ,
Den Abstand der ersten Sehne ermitteln:
Den Abstand der zweiten Sehne ermitteln:
Distanzunterschied:
4. **Antwort: **
Gegeben: PT = , TQ = , RT =
Mit dem Sehnensatz:
5. **Antwort: **
Gegeben: Durchmesser = , also ,
Mit der Formel für die Sehnenlänge: