# Äußere und innere gemeinsame Tangenten > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/kreisgeometrie/aeussere-und-innere-gemeinsame-tangente Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/circle/external-tangent-line-and-internal-tangent-line/de.mdx Gemeinsame Tangenten zweier Kreise: geometrische Herleitung, Existenzbedingungen und vollständig gerechnete Beispiele. --- ## Gemeinsame Tangenten Eine gemeinsame Tangente ist eine Gerade, die zwei Kreise berührt. Es gibt zwei Arten gemeinsamer Tangenten: 1. **Äußere gemeinsame Tangente**: Eine Gerade, die beide Kreise von derselben Seite berührt 2. **Innere gemeinsame Tangente**: Eine Gerade, die beide Kreise von entgegengesetzten Seiten berührt ## Äußere gemeinsame Tangente Eine äußere gemeinsame Tangente ist eine Gerade, die beide Kreise berührt und die Verbindungslinie der beiden Kreismittelpunkte nicht schneidet. Component: LineEquation Props: - title: Äußere gemeinsame Tangente - description: Zwei äußere gemeinsame Tangenten an zwei Kreisen. - data: [ { points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => { const angle = (i * Math.PI) / 180; return { x: -4 + 2 * Math.cos(angle), y: 2 * Math.sin(angle), z: 0, }; }), color: "#9333ea", showPoints: false, }, { points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => { const angle = (i * Math.PI) / 180; return { x: 4 + 3 * Math.cos(angle), y: 3 * Math.sin(angle), z: 0, }; }), color: "#9333ea", showPoints: false, }, { points: [ { x: -4, y: 0, z: 0 }, { x: 4, y: 0, z: 0 }, ], color: "#ea580c", showPoints: true, labels: [ { text: $$A$$, at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }, { text: $$B$$, at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] }, ], }, { points: (() => { const O1 = { x: -4, y: 0 }; const O2 = { x: 4, y: 0 }; const r1 = 2; const r2 = 3; const d = Math.sqrt((O2.x - O1.x) ** 2 + (O2.y - O1.y) ** 2); // Winkel der äußeren Tangente berechnen const sin_alpha = (r2 - r1) / d; const cos_alpha = Math.sqrt(1 - sin_alpha * sin_alpha); // Direction from O1 to O2 const dx = O2.x - O1.x; const dy = O2.y - O1.y; // Normalize direction const ux = dx / d; const uy = dy / d; // Perpendicular direction (rotated 90 degrees) const vx = -uy; const vy = ux; // Erste Tangente (oben) // Berührpunkt am ersten Kreis const T1x = O1.x + r ... [truncated; 3043 chars] Visible text: [ { points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => { const angle = (i * Math.PI) / 180; return { x: -4 + 2 * Math.cos(angle), y: 2 * Math.sin(angle), z: 0, }; }), color: "#9333ea", showPoints: false, }, { points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => { const angle = (i * Math.PI) / 180; return { x: 4 + 3 * Math.cos(angle), y: 3 * Math.sin(angle), z: 0, }; }), color: "#9333ea", showPoints: false, }, { points: [ { x: -4, y: 0, z: 0 }, { x: 4, y: 0, z: 0 }, ], color: "#ea580c", showPoints: true, labels: [ { text: , at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }, { text: , at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] }, ], }, { points: (() => { const O1 = { x: -4, y: 0 }; const O2 = { x: 4, y: 0 }; const r1 = 2; const r2 = 3; const d = Math.sqrt((O2.x - O1.x) ** 2 + (O2.y - O1.y) ** 2); // Winkel der äußeren Tangente berechnen const sin_alpha = (r2 - r1) / d; const cos_alpha = Math.sqrt(1 - sin_alpha * sin_alpha); // Direction from O1 to O2 const dx = O2.x - O1.x; const dy = O2.y - O1.y; // Normalize direction const ux = dx / d; const uy = dy / d; // Perpendicular direction (rotated 90 degrees) const vx = -uy; const vy = ux; // Erste Tangente (oben) // Berührpunkt am ersten Kreis const T1x = O1.x + r ... [truncated; 3043 chars] - cameraPosition: [0, 0, 15] - showZAxis: false ### Längenformel für die äußere gemeinsame Tangente Für zwei Kreise mit: - Erster Kreismittelpunkt: $$O_1$$ - Zweiter Kreismittelpunkt: $$O_2$$ - Erster Kreisradius: $$r_1$$ - Zweiter Kreisradius: $$r_2$$ - Abstand zwischen den Mittelpunkten: $$d$$ Visible text: - Erster Kreismittelpunkt: - Zweiter Kreismittelpunkt: - Erster Kreisradius: - Zweiter Kreisradius: - Abstand zwischen den Mittelpunkten: Länge der äußeren gemeinsamen Tangente: ```math l = \sqrt{d^2 - (r_2 - r_1)^2} ``` Diese Strecke hat eine positive Länge, wenn $$d > |r_2-r_1|$$ gilt. Bei Gleichheit berühren sich die Kreise von innen und besitzen nur die Tangente durch den Berührpunkt. Visible text: Diese Strecke hat eine positive Länge, wenn gilt. Bei Gleichheit berühren sich die Kreise von innen und besitzen nur die Tangente durch den Berührpunkt. ### Länge der äußeren gemeinsamen Tangente berechnen Die beiden Kreise haben die Mittelpunkte $$A(-3, 0)$$ und $$B(3, 0)$$ sowie die Radien $$1{,}5$$ und $$2{,}5$$. Gesucht ist die Länge der äußeren gemeinsamen Tangente. Visible text: Die beiden Kreise haben die Mittelpunkte und sowie die Radien und . Gesucht ist die Länge der äußeren gemeinsamen Tangente. Component: LineEquation Props: - title: Kreise mit $$r_1 = 1{,}5$$ und{" "} $$r_2 = 2{,}5$$ Visible text: Kreise mit und - description: Visualisierung der äußeren gemeinsamen Tangente. - data: [ { points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => { const angle = (i * Math.PI) / 180; return { x: -3 + 1.5 * Math.cos(angle), y: 1.5 * Math.sin(angle), z: 0, }; }), color: "#9333ea", showPoints: false, }, { points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => { const angle = (i * Math.PI) / 180; return { x: 3 + 2.5 * Math.cos(angle), y: 2.5 * Math.sin(angle), z: 0, }; }), color: "#9333ea", showPoints: false, }, { points: [ { x: -3, y: 0, z: 0 }, { x: 3, y: 0, z: 0 }, ], color: "#ea580c", showPoints: true, labels: [ { text: $$A$$, at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }, { text: $$B$$, at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] }, ], }, { points: (() => { const O1 = { x: -3, y: 0 }; const O2 = { x: 3, y: 0 }; const r1 = 1.5; const r2 = 2.5; const d = Math.sqrt((O2.x - O1.x) ** 2 + (O2.y - O1.y) ** 2); // Winkel der äußeren Tangente berechnen const sin_alpha = (r2 - r1) / d; const cos_alpha = Math.sqrt(1 - sin_alpha * sin_alpha); // Direction from O1 to O2 const dx = O2.x - O1.x; const dy = O2.y - O1.y; // Normalize direction const ux = dx / d; const uy = dy / d; // Perpendicular direction (rotated 90 degrees) const vx = -uy; const vy = ux; // Erste Tangente (oben) // Berührpunkt am ersten Kreis const T1 ... [truncated; 2754 chars] Visible text: [ { points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => { const angle = (i * Math.PI) / 180; return { x: -3 + 1.5 * Math.cos(angle), y: 1.5 * Math.sin(angle), z: 0, }; }), color: "#9333ea", showPoints: false, }, { points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => { const angle = (i * Math.PI) / 180; return { x: 3 + 2.5 * Math.cos(angle), y: 2.5 * Math.sin(angle), z: 0, }; }), color: "#9333ea", showPoints: false, }, { points: [ { x: -3, y: 0, z: 0 }, { x: 3, y: 0, z: 0 }, ], color: "#ea580c", showPoints: true, labels: [ { text: , at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }, { text: , at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] }, ], }, { points: (() => { const O1 = { x: -3, y: 0 }; const O2 = { x: 3, y: 0 }; const r1 = 1.5; const r2 = 2.5; const d = Math.sqrt((O2.x - O1.x) ** 2 + (O2.y - O1.y) ** 2); // Winkel der äußeren Tangente berechnen const sin_alpha = (r2 - r1) / d; const cos_alpha = Math.sqrt(1 - sin_alpha * sin_alpha); // Direction from O1 to O2 const dx = O2.x - O1.x; const dy = O2.y - O1.y; // Normalize direction const ux = dx / d; const uy = dy / d; // Perpendicular direction (rotated 90 degrees) const vx = -uy; const vy = ux; // Erste Tangente (oben) // Berührpunkt am ersten Kreis const T1 ... [truncated; 2754 chars] - cameraPosition: [0, 0, 12] - showZAxis: false **Lösung:** Component: MathContainer Children: ```math d = \sqrt{(3-(-3))^2 + (0-0)^2} = \sqrt{36} = 6 ``` ```math l = \sqrt{d^2 - (r_2 - r_1)^2} ``` ```math l = \sqrt{6^2 - (2{,}5 - 1{,}5)^2} ``` ```math l = \sqrt{36 - 1} ``` ```math l = \sqrt{35} ``` Daher beträgt die Länge der äußeren gemeinsamen Tangente $$\sqrt{35} \text{Einheiten}$$. Visible text: Daher beträgt die Länge der äußeren gemeinsamen Tangente . ## Innere gemeinsame Tangente Eine innere gemeinsame Tangente ist eine Gerade, die beide Kreise von gegenüberliegenden Seiten berührt und die Verbindungslinie der beiden Kreismittelpunkte schneidet. Component: LineEquation Props: - title: Innere gemeinsame Tangente - description: Zwei innere gemeinsame Tangenten an zwei Kreisen. - data: [ { points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => { const angle = (i * Math.PI) / 180; return { x: -4 + 2 * Math.cos(angle), y: 2 * Math.sin(angle), z: 0, }; }), color: "#9333ea", showPoints: false, }, { points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => { const angle = (i * Math.PI) / 180; return { x: 4 + 2 * Math.cos(angle), y: 2 * Math.sin(angle), z: 0, }; }), color: "#9333ea", showPoints: false, }, { points: [ { x: -4, y: 0, z: 0 }, { x: 4, y: 0, z: 0 }, ], color: "#ea580c", showPoints: true, labels: [ { text: $$A$$, at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }, { text: $$B$$, at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] }, ], }, { points: (() => { const O1 = { x: -4, y: 0 }; const O2 = { x: 4, y: 0 }; const r1 = 2; const r2 = 2; const d = Math.sqrt((O2.x - O1.x) ** 2 + (O2.y - O1.y) ** 2); const alpha = Math.asin((r1 + r2) / d); const theta = Math.atan2(O2.y - O1.y, O2.x - O1.x); const T1x = O1.x + r1 * Math.cos(theta + Math.PI / 2 - alpha); const T1y = O1.y + r1 * Math.sin(theta + Math.PI / 2 - alpha); const T2x = O2.x + r2 * Math.cos(theta + Math.PI / 2 - alpha + Math.PI); const T2y = O2.y + r2 * Math.sin(theta + Math.PI / 2 - alpha + Math.PI); const dx = T2x - T1x; const dy = T2y - T1y; const len = Ma ... [truncated; 2343 chars] Visible text: [ { points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => { const angle = (i * Math.PI) / 180; return { x: -4 + 2 * Math.cos(angle), y: 2 * Math.sin(angle), z: 0, }; }), color: "#9333ea", showPoints: false, }, { points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => { const angle = (i * Math.PI) / 180; return { x: 4 + 2 * Math.cos(angle), y: 2 * Math.sin(angle), z: 0, }; }), color: "#9333ea", showPoints: false, }, { points: [ { x: -4, y: 0, z: 0 }, { x: 4, y: 0, z: 0 }, ], color: "#ea580c", showPoints: true, labels: [ { text: , at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }, { text: , at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] }, ], }, { points: (() => { const O1 = { x: -4, y: 0 }; const O2 = { x: 4, y: 0 }; const r1 = 2; const r2 = 2; const d = Math.sqrt((O2.x - O1.x) ** 2 + (O2.y - O1.y) ** 2); const alpha = Math.asin((r1 + r2) / d); const theta = Math.atan2(O2.y - O1.y, O2.x - O1.x); const T1x = O1.x + r1 * Math.cos(theta + Math.PI / 2 - alpha); const T1y = O1.y + r1 * Math.sin(theta + Math.PI / 2 - alpha); const T2x = O2.x + r2 * Math.cos(theta + Math.PI / 2 - alpha + Math.PI); const T2y = O2.y + r2 * Math.sin(theta + Math.PI / 2 - alpha + Math.PI); const dx = T2x - T1x; const dy = T2y - T1y; const len = Ma ... [truncated; 2343 chars] - cameraPosition: [0, 0, 15] - showZAxis: false ### Längenformel für die innere gemeinsame Tangente Länge der inneren gemeinsamen Tangente: ```math l = \sqrt{d^2 - (r_1 + r_2)^2} ``` **Bedingung:** Ein inneres gemeinsames Tangentenstück hat positive Länge, wenn $$d > r_1 + r_2$$ gilt. Bei Gleichheit berühren sich die Kreise von außen: Die beiden Berührpunkte fallen zusammen, das Tangentenstück hat die Länge null und es bleibt nur eine innere gemeinsame Tangente. Visible text: **Bedingung:** Ein inneres gemeinsames Tangentenstück hat positive Länge, wenn gilt. Bei Gleichheit berühren sich die Kreise von außen: Die beiden Berührpunkte fallen zusammen, das Tangentenstück hat die Länge null und es bleibt nur eine innere gemeinsame Tangente. ### Länge der inneren gemeinsamen Tangente berechnen Die beiden Kreise haben die Mittelpunkte $$P(-5, 0)$$ und $$Q(5, 0)$$ sowie die Radien $$2$$ und $$3$$. Gesucht ist die Länge der inneren gemeinsamen Tangente. Visible text: Die beiden Kreise haben die Mittelpunkte und sowie die Radien und . Gesucht ist die Länge der inneren gemeinsamen Tangente. Component: LineEquation Props: - title: Kreise mit $$r_1 = 2$$ und{" "} $$r_2 = 3$$ Visible text: Kreise mit und - description: Die innere gemeinsame Tangente schneidet die Verbindung der Mittelpunkte. - data: [ { points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => { const angle = (i * Math.PI) / 180; return { x: -5 + 2 * Math.cos(angle), y: 2 * Math.sin(angle), z: 0, }; }), color: "#9333ea", showPoints: false, }, { points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => { const angle = (i * Math.PI) / 180; return { x: 5 + 3 * Math.cos(angle), y: 3 * Math.sin(angle), z: 0, }; }), color: "#9333ea", showPoints: false, }, { points: [ { x: -5, y: 0, z: 0 }, { x: 5, y: 0, z: 0 }, ], color: "#ea580c", showPoints: true, labels: [ { text: $$P$$, at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }, { text: $$Q$$, at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] }, ], }, { points: (() => { const O1 = { x: -5, y: 0 }; const O2 = { x: 5, y: 0 }; const r1 = 2; const r2 = 3; const d = Math.sqrt((O2.x - O1.x) ** 2 + (O2.y - O1.y) ** 2); const alpha = Math.asin((r1 + r2) / d); const theta = Math.atan2(O2.y - O1.y, O2.x - O1.x); const T1x = O1.x + r1 * Math.cos(theta + Math.PI / 2 - alpha); const T1y = O1.y + r1 * Math.sin(theta + Math.PI / 2 - alpha); const T2x = O2.x + r2 * Math.cos(theta + Math.PI / 2 - alpha + Math.PI); const T2y = O2.y + r2 * Math.sin(theta + Math.PI / 2 - alpha + Math.PI); return [ { x: T1x, y: T1y, z: 0 }, { x: T2x, y: T2y, z: 0 ... [truncated; 2112 chars] Visible text: [ { points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => { const angle = (i * Math.PI) / 180; return { x: -5 + 2 * Math.cos(angle), y: 2 * Math.sin(angle), z: 0, }; }), color: "#9333ea", showPoints: false, }, { points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => { const angle = (i * Math.PI) / 180; return { x: 5 + 3 * Math.cos(angle), y: 3 * Math.sin(angle), z: 0, }; }), color: "#9333ea", showPoints: false, }, { points: [ { x: -5, y: 0, z: 0 }, { x: 5, y: 0, z: 0 }, ], color: "#ea580c", showPoints: true, labels: [ { text: , at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }, { text: , at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] }, ], }, { points: (() => { const O1 = { x: -5, y: 0 }; const O2 = { x: 5, y: 0 }; const r1 = 2; const r2 = 3; const d = Math.sqrt((O2.x - O1.x) ** 2 + (O2.y - O1.y) ** 2); const alpha = Math.asin((r1 + r2) / d); const theta = Math.atan2(O2.y - O1.y, O2.x - O1.x); const T1x = O1.x + r1 * Math.cos(theta + Math.PI / 2 - alpha); const T1y = O1.y + r1 * Math.sin(theta + Math.PI / 2 - alpha); const T2x = O2.x + r2 * Math.cos(theta + Math.PI / 2 - alpha + Math.PI); const T2y = O2.y + r2 * Math.sin(theta + Math.PI / 2 - alpha + Math.PI); return [ { x: T1x, y: T1y, z: 0 }, { x: T2x, y: T2y, z: 0 ... [truncated; 2112 chars] - cameraPosition: [0, 0, 18] - showZAxis: false **Lösung:** Zuerst prüfen wir, ob eine innere gemeinsame Tangente existiert: Component: MathContainer Children: ```math d = \sqrt{(5-(-5))^2 + (0-0)^2} = \sqrt{100} = 10 ``` ```math r_1 + r_2 = 2 + 3 = 5 ``` ```math d = 10 > 5 = r_1 + r_2 \space \checkmark ``` Da die Bedingung erfüllt ist, gilt: Component: MathContainer Children: ```math l = \sqrt{d^2 - (r_1 + r_2)^2} ``` ```math l = \sqrt{10^2 - 5^2} ``` ```math l = \sqrt{100 - 25} ``` ```math l = \sqrt{75} ``` ```math l = 5\sqrt{3} ``` Die innere gemeinsame Tangente ist daher $$5\sqrt{3} \text{Einheiten}$$ lang. Visible text: Die innere gemeinsame Tangente ist daher lang. ## Kreise mit gleichen Radien Wenn zwei Kreise gleiche Radien ($$r_1 = r_2 = r$$) haben, gibt es besondere Eigenschaften: Visible text: Wenn zwei Kreise gleiche Radien () haben, gibt es besondere Eigenschaften: ### Äußere gemeinsame Tangente Component: LineEquation Props: - title: Äußere gemeinsame Tangente bei gleichen Radien - description: Äußere gemeinsame Tangenten verlaufen parallel zur Mittelpunktslinie. - data: [ { points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => { const angle = (i * Math.PI) / 180; return { x: -3 + 2 * Math.cos(angle), y: 2 * Math.sin(angle), z: 0, }; }), color: "#9333ea", showPoints: false, }, { points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => { const angle = (i * Math.PI) / 180; return { x: 3 + 2 * Math.cos(angle), y: 2 * Math.sin(angle), z: 0, }; }), color: "#9333ea", showPoints: false, }, { points: [ { x: -3, y: 0, z: 0 }, { x: 3, y: 0, z: 0 }, ], color: "#ea580c", showPoints: true, labels: [ { text: $$O_1$$, at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }, { text: $$O_2$$, at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] }, ], }, { points: [ { x: -3, y: 2, z: 0 }, { x: 3, y: 2, z: 0 }, ], color: "#0891b2", showPoints: false, smooth: false, }, { points: [ { x: -3, y: -2, z: 0 }, { x: 3, y: -2, z: 0 }, ], color: "#0d9488", showPoints: false, smooth: false, }, ] Visible text: [ { points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => { const angle = (i * Math.PI) / 180; return { x: -3 + 2 * Math.cos(angle), y: 2 * Math.sin(angle), z: 0, }; }), color: "#9333ea", showPoints: false, }, { points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => { const angle = (i * Math.PI) / 180; return { x: 3 + 2 * Math.cos(angle), y: 2 * Math.sin(angle), z: 0, }; }), color: "#9333ea", showPoints: false, }, { points: [ { x: -3, y: 0, z: 0 }, { x: 3, y: 0, z: 0 }, ], color: "#ea580c", showPoints: true, labels: [ { text: , at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }, { text: , at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] }, ], }, { points: [ { x: -3, y: 2, z: 0 }, { x: 3, y: 2, z: 0 }, ], color: "#0891b2", showPoints: false, smooth: false, }, { points: [ { x: -3, y: -2, z: 0 }, { x: 3, y: -2, z: 0 }, ], color: "#0d9488", showPoints: false, smooth: false, }, ] - cameraPosition: [0, 0, 12] - showZAxis: false Für $$r_1 = r_2$$: Visible text: Für : - Äußere gemeinsame Tangenten verlaufen **parallel** zur Linie, die die beiden Mittelpunkte verbindet - Die Länge der äußeren gemeinsamen Tangente beträgt $$d$$ (Abstand zwischen den Mittelpunkten) Visible text: - Äußere gemeinsame Tangenten verlaufen **parallel** zur Linie, die die beiden Mittelpunkte verbindet - Die Länge der äußeren gemeinsamen Tangente beträgt (Abstand zwischen den Mittelpunkten) ## Fälle mit verschiedenen Kreispositionen Berechne für die folgenden Kreise die Länge der äußeren und der inneren gemeinsamen Tangente: ### Weit auseinanderliegende Kreise Der erste Kreis hat den Mittelpunkt $$(-6, 0)$$ und den Radius $$1$$, der zweite den Mittelpunkt $$(6, 0)$$ und den Radius $$2$$. Visible text: Der erste Kreis hat den Mittelpunkt und den Radius , der zweite den Mittelpunkt und den Radius . Component: LineEquation Props: - title: Fall: weit auseinanderliegende Kreise - description: Es gibt beide Arten gemeinsamer Tangenten. - data: [ { points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => { const angle = (i * Math.PI) / 180; return { x: -6 + 1 * Math.cos(angle), y: 1 * Math.sin(angle), z: 0, }; }), color: "#9333ea", showPoints: false, }, { points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => { const angle = (i * Math.PI) / 180; return { x: 6 + 2 * Math.cos(angle), y: 2 * Math.sin(angle), z: 0, }; }), color: "#9333ea", showPoints: false, }, { points: (() => { const O1 = { x: -6, y: 0 }; const O2 = { x: 6, y: 0 }; const r1 = 1; const r2 = 2; const d = Math.sqrt((O2.x - O1.x) ** 2 + (O2.y - O1.y) ** 2); // Winkel der äußeren Tangente berechnen const sin_alpha = (r2 - r1) / d; const cos_alpha = Math.sqrt(1 - sin_alpha * sin_alpha); // Direction from O1 to O2 const dx = O2.x - O1.x; const dy = O2.y - O1.y; // Normalize direction const ux = dx / d; const uy = dy / d; // Perpendicular direction (rotated 90 degrees) const vx = -uy; const vy = ux; // Erste Tangente (oben) // Berührpunkt am ersten Kreis const T1x = O1.x + r1 * (-sin_alpha * ux + cos_alpha * vx); const T1y = O1.y + r1 * (-sin_alpha * uy + cos_alpha * vy); // Berührpunkt am zweiten Kreis const T2x = O2.x + r2 * (-sin_alpha * ux + cos_alpha * vx); const T2y = O2.y ... [truncated; 4291 chars] - cameraPosition: [0, 0, 18] - showZAxis: false **Lösung:** Component: MathContainer Children: ```math d = \sqrt{(6-(-6))^2 + (0-0)^2} = 12 ``` ```math l_{\mathrm{ext}} = \sqrt{12^2 - (2-1)^2} = \sqrt{144 - 1} = \sqrt{143} ``` ```math l_{\mathrm{int}} = \sqrt{12^2 - (1+2)^2} = \sqrt{144 - 9} = \sqrt{135} = 3\sqrt{15} ``` ### Nahe beieinanderliegende Kreise Der erste Kreis hat den Mittelpunkt $$(-2, 0)$$ und den Radius $$1{,}5$$, der zweite den Mittelpunkt $$(2, 0)$$ und den Radius $$1{,}5$$. Visible text: Der erste Kreis hat den Mittelpunkt und den Radius , der zweite den Mittelpunkt und den Radius . Component: LineEquation Props: - title: Fall: nahe beieinanderliegende Kreise mit gleichen Radien - description: Äußere gemeinsame Tangenten verlaufen parallel, innere schneiden sich in der Mitte. - data: [ { points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => { const angle = (i * Math.PI) / 180; return { x: -2 + 1.5 * Math.cos(angle), y: 1.5 * Math.sin(angle), z: 0, }; }), color: "#9333ea", showPoints: false, }, { points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => { const angle = (i * Math.PI) / 180; return { x: 2 + 1.5 * Math.cos(angle), y: 1.5 * Math.sin(angle), z: 0, }; }), color: "#9333ea", showPoints: false, }, { points: [ { x: -5, y: 1.5, z: 0 }, { x: 5, y: 1.5, z: 0 }, ], color: "#0891b2", showPoints: false, smooth: false, }, { points: [ { x: -5, y: -1.5, z: 0 }, { x: 5, y: -1.5, z: 0 }, ], color: "#0d9488", showPoints: false, smooth: false, }, { points: (() => { const O1 = { x: -2, y: 0 }; const O2 = { x: 2, y: 0 }; const r1 = 1.5; const r2 = 1.5; const d = Math.sqrt((O2.x - O1.x) ** 2 + (O2.y - O1.y) ** 2); const alpha = Math.asin((r1 + r2) / d); const theta = Math.atan2(O2.y - O1.y, O2.x - O1.x); const T1x = O1.x + r1 * Math.cos(theta + Math.PI / 2 - alpha); const T1y = O1.y + r1 * Math.sin(theta + Math.PI / 2 - alpha); const T2x = O2.x + r2 * Math.cos(theta + Math.PI / 2 - alpha + Math.PI); const T2y = O2.y + r2 * Math.sin(theta + Math.PI / 2 - alpha + Math.PI); const dx = T2x ... [truncated; 2273 chars] - cameraPosition: [0, 0, 10] - showZAxis: false **Lösung:** Component: MathContainer Children: ```math d = \sqrt{(2-(-2))^2 + (0-0)^2} = 4 ``` ```math r_1 = r_2 = 1{,}5 ``` ```math l_{\mathrm{ext}} = d = 4 ``` ```math l_{\mathrm{int}} = \sqrt{4^2 - (1{,}5+1{,}5)^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7} ``` ## Übungsaufgaben 1. Zwei Kreise haben die Mittelpunkte $$A(-4, 0)$$ und $$B(4, 0)$$ sowie die Radien $$2$$ und $$3$$. Bestimme: - Länge der äußeren gemeinsamen Tangente - Länge der inneren gemeinsamen Tangente 2. Der erste Kreis hat den Mittelpunkt $$(0, 0)$$ und den Radius $$4$$, der zweite den Mittelpunkt $$(10, 0)$$ und den Radius $$2$$. Berechne beide Tangentenlängen. 3. Zwei gleich große Kreise haben jeweils den Radius $$3 \text{ cm}$$. Ihre innere gemeinsame Tangente ist $$8 \text{ cm}$$ lang. Bestimme den Abstand der Mittelpunkte. 4. Kreis $$A$$ hat den Mittelpunkt $$(-5, 0)$$ und den Radius $$r$$, Kreis $$B$$ den Mittelpunkt $$(7, 0)$$ und den Radius $$2r$$. Die äußere gemeinsame Tangente ist $$4\sqrt{8}$$ lang. Bestimme $$r$$. 5. Gib die Bedingungen an, unter denen zwei Kreise folgende Anzahl gemeinsamer Tangenten besitzen: - Genau zwei gemeinsame Tangenten - Genau drei gemeinsame Tangenten - Genau vier gemeinsame Tangenten Visible text: 1. Zwei Kreise haben die Mittelpunkte und sowie die Radien und . Bestimme: - Länge der äußeren gemeinsamen Tangente - Länge der inneren gemeinsamen Tangente 2. Der erste Kreis hat den Mittelpunkt und den Radius , der zweite den Mittelpunkt und den Radius . Berechne beide Tangentenlängen. 3. Zwei gleich große Kreise haben jeweils den Radius . Ihre innere gemeinsame Tangente ist lang. Bestimme den Abstand der Mittelpunkte. 4. Kreis hat den Mittelpunkt und den Radius , Kreis den Mittelpunkt und den Radius . Die äußere gemeinsame Tangente ist lang. Bestimme . 5. Gib die Bedingungen an, unter denen zwei Kreise folgende Anzahl gemeinsamer Tangenten besitzen: - Genau zwei gemeinsame Tangenten - Genau drei gemeinsame Tangenten - Genau vier gemeinsame Tangenten ### Ausführliche Lösungen 1. **Gemeinsame Tangentenlängen berechnen** ```math d = \sqrt{(4-(-4))^2 + (0-0)^2} = 8 ``` ```math l_{\mathrm{ext}} = \sqrt{8^2 - (3-2)^2} = \sqrt{64 - 1} = \sqrt{63} = 3\sqrt{7} ``` ```math l_{\mathrm{int}} = \sqrt{8^2 - (2+3)^2} = \sqrt{64 - 25} = \sqrt{39} ``` 2. **Kreise mit unterschiedlichen Mittelpunkten** ```math d = \sqrt{(10-0)^2 + (0-0)^2} = 10 ``` ```math l_{\mathrm{ext}} = \sqrt{10^2 - (4-2)^2} = \sqrt{100 - 4} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6} ``` ```math l_{\mathrm{int}} = \sqrt{10^2 - (4+2)^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 ``` 3. **Mittelpunktabstand aus der inneren Tangente bestimmen** Gegeben: $$r_1 = r_2 = 3$$, $$l_{\mathrm{int}} = 8$$ ```math l = \sqrt{d^2 - (r_1 + r_2)^2} ``` ```math 8 = \sqrt{d^2 - 6^2} ``` ```math 64 = d^2 - 36 ``` ```math d^2 = 100 ``` ```math d = 10 \text{ cm} ``` 4. **Gesuchten Wert bestimmen:** $$r$$ Gegeben: $$d = 12$$, $$r_1 = r$$, $$r_2 = 2r$$, $$l_{\mathrm{ext}} = 4\sqrt{8}$$ ```math 4\sqrt{8} = \sqrt{12^2 - (2r - r)^2} ``` ```math 16 \cdot 8 = 144 - r^2 ``` ```math 128 = 144 - r^2 ``` ```math r^2 = 16 ``` ```math r = 4 ``` 5. **Bedingungen für die Anzahl gemeinsamer Tangenten** Der Abstand der Mittelpunkte sei $$d$$. Für zwei verschiedene, nicht deckungsgleiche Kreise gilt die vollständige Einteilung: | Bedingung für den Mittelpunktabstand | Gemeinsame Tangenten | Lage der Kreise | | --- | ---: | --- | | $$d>r_1+r_2$$ | $$4$$ | außen getrennt | | $$d=r_1+r_2$$ | $$3$$ | äußere Berührung | | $$\lvert r_1-r_2\rvert\lt d\lt r_1+r_2$$ | $$2$$ | Schnitt in zwei Punkten | | $$d=\lvert r_1-r_2\rvert$$ | $$1$$ | innere Berührung | | $$d\lt \lvert r_1-r_2\rvert$$ | $$0$$ | ein Kreis liegt vollständig im anderen | Die gesuchten Bedingungen stehen somit in den ersten drei Zeilen. Deckungsgleiche Kreise mit $$d=0$$ und $$r_1=r_2$$ bilden einen Sonderfall mit unendlich vielen gemeinsamen Tangenten. Visible text: 1. **Gemeinsame Tangentenlängen berechnen** 2. **Kreise mit unterschiedlichen Mittelpunkten** 3. **Mittelpunktabstand aus der inneren Tangente bestimmen** Gegeben: , 4. **Gesuchten Wert bestimmen:** Gegeben: , , , 5. **Bedingungen für die Anzahl gemeinsamer Tangenten** Der Abstand der Mittelpunkte sei . Für zwei verschiedene, nicht deckungsgleiche Kreise gilt die vollständige Einteilung: | Bedingung für den Mittelpunktabstand | Gemeinsame Tangenten | Lage der Kreise | | --- | ---: | --- | | | | außen getrennt | | | | äußere Berührung | | | | Schnitt in zwei Punkten | | | | innere Berührung | | | | ein Kreis liegt vollständig im anderen | Die gesuchten Bedingungen stehen somit in den ersten drei Zeilen. Deckungsgleiche Kreise mit und bilden einen Sonderfall mit unendlich vielen gemeinsamen Tangenten. ## Quellen - [Wolfram MathWorld: Circle-Circle Tangents](https://mathworld.wolfram.com/Circle-CircleTangents.html) - [Wolfram MathWorld: Tangent Circles](https://mathworld.wolfram.com/TangentCircles.html) - [GeoGebra: Common Internal and Common External Tangents](https://www.geogebra.org/m/bvtxyfaj)