# Kreis und Kreisbogen
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URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/kreisgeometrie/kreis-und-kreisbogen
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/circle/circle-and-arc-circle/de.mdx
Kreise aus ihrem festen Abstand aufbauen und Kreisbögen, Mittelpunkt- und Umfangswinkel, Bogenlänge sowie Sektorfläche an Abbildungen und vollständig gerechneten Aufgaben verknüpfen.
---
## Was ist ein Kreis?
Ein Kreis ist die Menge aller Punkte einer Ebene, die von einem Punkt den gleichen festen Abstand haben. Dieser Punkt ist der **Kreismittelpunkt**, der feste Abstand ist der **Radius**.
Liegt der Mittelpunkt bei $$O(a,b)$$ und beträgt der Radius $$r$$, folgt aus der Abstandsformel die Kreisgleichung:
Visible text: Liegt der Mittelpunkt bei und beträgt der Radius , folgt aus der Abstandsformel die Kreisgleichung:
```math
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
```
### Bestandteile eines Kreises
Die folgende Abbildung ordnet Mittelpunkt, Radius, Durchmesser und Sehne ein:
Component: LineEquation
Props:
- title: Bestandteile eines Kreises
- description: Mittelpunkt, Radius, Durchmesser und Sehne in einem Kreis.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
labels: [{ text: "Kreis", at: 0, offset: [1.5, -1, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: $$O$$, at: 0, offset: [0, -0.5, 0] },
{ text: $$r$$, at: 0, offset: [1.5, 0.3, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: -3, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 },
],
color: "#0891b2",
labels: [{ text: "Durchmesser", at: 0, offset: [1.25, -0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 2.12, y: 2.12, z: 0 },
{ x: -2.12, y: 2.12, z: 0 },
],
color: "#d97706",
labels: [{ text: "Sehne", at: 0, offset: [0, 0.5, 0] }],
},
]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
labels: [{ text: "Kreis", at: 0, offset: [1.5, -1, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: , at: 0, offset: [0, -0.5, 0] },
{ text: , at: 0, offset: [1.5, 0.3, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: -3, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 },
],
color: "#0891b2",
labels: [{ text: "Durchmesser", at: 0, offset: [1.25, -0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 2.12, y: 2.12, z: 0 },
{ x: -2.12, y: 2.12, z: 0 },
],
color: "#d97706",
labels: [{ text: "Sehne", at: 0, offset: [0, 0.5, 0] }],
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 10]
- showZAxis: false
**Diese vier Bestandteile sollten zuerst erkannt werden:**
- **Mittelpunkt ($$O$$)**: fester Bezugspunkt für jeden Radius
- **Radius ($$r$$)**: Strecke vom Mittelpunkt zu einem Punkt auf dem Kreis
- **Durchmesser ($$d$$)**: Sehne durch den Mittelpunkt, daher $$d = 2r$$
- **Sehne**: Strecke zwischen zwei Punkten auf dem Kreis
Visible text: - **Mittelpunkt ()**: fester Bezugspunkt für jeden Radius
- **Radius ()**: Strecke vom Mittelpunkt zu einem Punkt auf dem Kreis
- **Durchmesser ()**: Sehne durch den Mittelpunkt, daher
- **Sehne**: Strecke zwischen zwei Punkten auf dem Kreis
## Kreisbögen
Ein Kreisbogen ist ein Teil des Kreisumfangs, der durch zwei Punkte auf dem Kreis begrenzt wird. Ein Bogen wird mit einem gebogenen Symbol über den Buchstaben gekennzeichnet, zum Beispiel $$\overset{\frown}{AB}$$.
Visible text: Ein Kreisbogen ist ein Teil des Kreisumfangs, der durch zwei Punkte auf dem Kreis begrenzt wird. Ein Bogen wird mit einem gebogenen Symbol über den Buchstaben gekennzeichnet, zum Beispiel .
### Arten von Bögen
Component: LineEquation
Props:
- title: Kleiner und großer Bogen
- description: Visualisierung des Unterschieds zwischen kleinem und großem Kreisbogen.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 91 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#7c3aed",
showPoints: false,
labels: [{ text: "Kleiner Bogen", at: 45, offset: [1, 1, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 3, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 },
],
color: "#0d9488",
showPoints: true,
},
{
points: Array.from({ length: 271 }, (_, i) => {
const angle = ((i + 90) * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#0d9488",
showPoints: false,
labels: [
{
text: "Großer Bogen",
at: 135,
offset: [-1, -1, 0],
},
],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 0, y: 3, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 10]
- showZAxis: false
**Bogenarten nach ihrer Länge:**
- **Kleiner Bogen**: Bogen, dessen Länge weniger als die Hälfte des Kreisumfangs beträgt
- **Großer Bogen**: Bogen, dessen Länge mehr als die Hälfte des Kreisumfangs beträgt
- **Halbkreis**: Bogen, dessen Länge genau der Hälfte des Kreisumfangs entspricht
## Mittelpunktswinkel und Umfangswinkel
### Mittelpunktswinkel
Ein Mittelpunktswinkel hat seinen Scheitelpunkt im Kreismittelpunkt. Seine beiden Schenkel sind Radien.
Component: LineEquation
Props:
- title: Mittelpunktswinkel $$\angle AOB$$
Visible text: Mittelpunktswinkel
- description: Zwei Radien bilden einen Winkel mit Scheitelpunkt im Kreismittelpunkt.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: $$O$$, at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
{ text: $$A$$, at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 2.12, y: 2.12, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$B$$, at: 1, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 46 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#d97706",
showPoints: false,
labels: [{ text: <>Bogen $$AB$$, at: 22, offset: [1.5, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 46 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 0.8 * Math.cos(angle),
y: 0.8 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#0891b2",
showPoints: false,
labels: [{ text: $$\alpha$$, at: 22, offset: [0.3, 0.2, 0] }],
},
]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: , at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
{ text: , at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 2.12, y: 2.12, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 46 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#d97706",
showPoints: false,
labels: [{ text: <>Bogen , at: 22, offset: [1.5, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 46 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 0.8 * Math.cos(angle),
y: 0.8 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#0891b2",
showPoints: false,
labels: [{ text: , at: 22, offset: [0.3, 0.2, 0] }],
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 10]
- showZAxis: false
**Eigenschaften des Mittelpunktswinkels:**
- Das Maß des Mittelpunktswinkels entspricht dem Maß des Bogens, den er umfasst
- Hat der Mittelpunktswinkel das Maß $$\alpha$$, dann besitzt der zugehörige Bogen ebenfalls das Gradmaß $$\alpha$$.
Visible text: - Das Maß des Mittelpunktswinkels entspricht dem Maß des Bogens, den er umfasst
- Hat der Mittelpunktswinkel das Maß , dann besitzt der zugehörige Bogen ebenfalls das Gradmaß .
### Umfangswinkel
Ein Umfangswinkel, auch Peripheriewinkel genannt, hat seinen Scheitelpunkt auf dem Kreis. Seine beiden Schenkel sind Sehnen.
Component: LineEquation
Props:
- title: Umfangswinkel $$\angle ACB$$
Visible text: Umfangswinkel
- description: Der Scheitelpunkt liegt auf der Kreislinie, die Schenkel sind Sehnen.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 3, y: 0, z: 0 },
{ x: -2.12, y: -2.12, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: $$A$$, at: 0, offset: [0.5, 0, 0] },
{ text: $$C$$, at: 1, offset: [-0.5, -0.3, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: 2.12, y: 2.12, z: 0 },
{ x: -2.12, y: -2.12, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$B$$, at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 46 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#d97706",
showPoints: false,
labels: [{ text: <>Bogen $$AB$$, at: 22, offset: [1.5, 0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 },
],
color: "#0891b2",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 2.12, y: 2.12, z: 0 },
],
color: "#0891b2",
showPoints: false,
labels: [{ text: $$O$$, at: 0, offset: [1, 0.5, 0] }],
},
]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 3, y: 0, z: 0 },
{ x: -2.12, y: -2.12, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: , at: 0, offset: [0.5, 0, 0] },
{ text: , at: 1, offset: [-0.5, -0.3, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: 2.12, y: 2.12, z: 0 },
{ x: -2.12, y: -2.12, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 46 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#d97706",
showPoints: false,
labels: [{ text: <>Bogen , at: 22, offset: [1.5, 0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 },
],
color: "#0891b2",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 2.12, y: 2.12, z: 0 },
],
color: "#0891b2",
showPoints: false,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [1, 0.5, 0] }],
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 10]
- showZAxis: false
## Zusammenhang zwischen Mittelpunktswinkel und Umfangswinkel
Component: MathContainer
Children:
```math
\text{Umfangswinkel} = \frac{1}{2} \times \text{Mittelpunktswinkel}
```
```math
\angle ACB = \frac{1}{2} \times \angle AOB
```
Wenn ein Mittelpunktswinkel und ein Umfangswinkel über demselben Bogen liegen, ist der Umfangswinkel halb so groß wie der Mittelpunktswinkel.
**Beispielanwendung:**
Component: LineEquation
Props:
- title: Mittelpunktswinkel und Umfangswinkel
- description: Wenn $$\angle AOB = 80^\circ$$, dann{" "}
$$\angle ACB = 40^\circ$$.
Visible text: Wenn , dann
.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: $$O$$, at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
{ text: $$A$$, at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3 * Math.cos((80 * Math.PI) / 180), y: 3 * Math.sin((80 * Math.PI) / 180), z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$B$$, at: 1, offset: [0, 0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 3, y: 0, z: 0 },
{ x: -2.12, y: -2.12, z: 0 },
],
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$C$$, at: 1, offset: [-0.5, -0.3, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 3 * Math.cos((80 * Math.PI) / 180), y: 3 * Math.sin((80 * Math.PI) / 180), z: 0 },
{ x: -2.12, y: -2.12, z: 0 },
],
color: "#0891b2",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 81 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#d97706",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => ... [truncated; 1421 chars]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: , at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
{ text: , at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3 * Math.cos((80 * Math.PI) / 180), y: 3 * Math.sin((80 * Math.PI) / 180), z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0, 0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 3, y: 0, z: 0 },
{ x: -2.12, y: -2.12, z: 0 },
],
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 1, offset: [-0.5, -0.3, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 3 * Math.cos((80 * Math.PI) / 180), y: 3 * Math.sin((80 * Math.PI) / 180), z: 0 },
{ x: -2.12, y: -2.12, z: 0 },
],
color: "#0891b2",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 81 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#d97706",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => ... [truncated; 1421 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 10]
- showZAxis: false
## Bogenlänge und Sektorfläche
### Bogenlänge
Ein Bogen umfasst denselben Anteil des Kreisumfangs wie sein Mittelpunktswinkel von einer vollen Drehung. Für einen Mittelpunktswinkel von $$\alpha$$ Grad gilt:
Visible text: Ein Bogen umfasst denselben Anteil des Kreisumfangs wie sein Mittelpunktswinkel von einer vollen Drehung. Für einen Mittelpunktswinkel von Grad gilt:
Component: MathContainer
Children:
```math
\text{Bogenlänge} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2\pi r
```
```math
l = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2\pi r
```
Dabei gilt:
- $$l$$ = Bogenlänge
- $$\alpha$$ = Maß des Mittelpunktswinkels in Grad
- $$r$$ = Kreisradius
Visible text: - = Bogenlänge
- = Maß des Mittelpunktswinkels in Grad
- = Kreisradius
### Sektorfläche
Ein Kreissektor ist die von zwei Radien und dem dazwischenliegenden Bogen begrenzte Fläche. Sein Flächenanteil entspricht dem Anteil des Mittelpunktswinkels an einer vollen Drehung.
Component: MathContainer
Children:
```math
\text{Sektorfläche} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times \pi r^2
```
```math
L = \frac{\alpha}{360^\circ} \times \pi r^2
```
Die Abbildung zeigt die beiden Radien, den zugehörigen Bogen und den von ihnen eingeschlossenen Sektor.
Component: LineEquation
Props:
- title: Kreissektor
- description: Von zwei Radien und einem Bogen begrenzter Bereich.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 1.5, y: 2.6, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
},
{
points: Array.from({ length: 61 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#d97706",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
...Array.from({ length: 61 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
],
color: "#d97706",
showPoints: false,
labels: [{ text: "Sektor", at: 30, offset: [0, 0, 0] }],
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 10]
- showZAxis: false
## Berechnung der Bogenlänge und der Sektorfläche
Ein Kreis hat den Radius $$14 \text{ cm}$$. Der zugehörige Mittelpunktswinkel beträgt $$90^\circ$$. Berechne:
Visible text: Ein Kreis hat den Radius . Der zugehörige Mittelpunktswinkel beträgt . Berechne:
1. Bogenlänge
2. Sektorfläche
**Lösung:**
Gegeben: $$r = 14 \text{ cm}$$, $$\alpha = 90^\circ$$
Visible text: Gegeben: ,
1. Bogenlänge:
```math
l = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2\pi r
```
```math
l = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 14
```
```math
l = \frac{1}{4} \times 28\pi
```
```math
l = 7\pi \text{ cm} \approx 21{,}99 \text{ cm}
```
2. Sektorfläche:
```math
L = \frac{\alpha}{360^\circ} \times \pi r^2
```
```math
L = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi \times 14^2
```
```math
L = \frac{1}{4} \times 196\pi
```
```math
L = 49\pi \text{ cm}^2 \approx 153{,}94 \text{ cm}^2
```
Visible text: 1. Bogenlänge:
2. Sektorfläche:
## Übungsaufgaben
1. Ein Kreis hat den Durchmesser $$20 \text{ cm}$$. Ein Umfangswinkel über einem Bogen misst $$30^\circ$$. Bestimme den Mittelpunktswinkel über demselben Bogen.
2. In einem Kreis mit Mittelpunkt $$O$$ und Radius $$21 \text{ cm}$$ gehört zum Bogen $$AB$$ der Mittelpunktswinkel $$120^\circ$$. Berechne:
- Bogenlänge $$AB$$
- Sektorfläche $$AOB$$
3. Zwei Umfangswinkel stehen über demselben Bogen. Einer misst $$45^\circ$$. Wie groß ist der andere?
Visible text: 1. Ein Kreis hat den Durchmesser . Ein Umfangswinkel über einem Bogen misst . Bestimme den Mittelpunktswinkel über demselben Bogen.
2. In einem Kreis mit Mittelpunkt und Radius gehört zum Bogen der Mittelpunktswinkel . Berechne:
- Bogenlänge
- Sektorfläche
3. Zwei Umfangswinkel stehen über demselben Bogen. Einer misst . Wie groß ist der andere?
### Ausführliche Lösungen
#### 1. Den Mittelpunktswinkel bestimmen
Der Durchmesser wird für diese Aufgabe nicht benötigt. Entscheidend ist, dass beide Winkel über demselben Bogen liegen. Der Mittelpunktswinkel ist doppelt so groß wie der Umfangswinkel:
```math
\text{Mittelpunktswinkel}=2(30^\circ)=60^\circ
```
Der Mittelpunktswinkel beträgt also $$60^\circ$$.
Visible text: Der Mittelpunktswinkel beträgt also .
#### 2. Bogenlänge und Sektorfläche bestimmen
Der Winkel $$120^\circ$$ entspricht einem Drittel der vollen Drehung, denn $$\frac{120^\circ}{360^\circ}=\frac{1}{3}$$. Dieser Anteil wird zuerst auf den Umfang und danach auf die Kreisfläche angewendet.
Visible text: Der Winkel entspricht einem Drittel der vollen Drehung, denn . Dieser Anteil wird zuerst auf den Umfang und danach auf die Kreisfläche angewendet.
Component: MathContainer
Children:
```math
l=\frac{120^\circ}{360^\circ}(2\pi)(21)=14\pi\text{ cm}\approx43{,}98\text{ cm}
```
```math
L=\frac{120^\circ}{360^\circ}\pi(21)^2=147\pi\text{ cm}^2\approx461{,}81\text{ cm}^2
```
Damit beträgt die Bogenlänge $$14\pi\text{ cm}$$ und die Sektorfläche $$147\pi\text{ cm}^2$$.
Visible text: Damit beträgt die Bogenlänge und die Sektorfläche .
#### 3. Zwei Umfangswinkel vergleichen
Umfangswinkel über demselben Bogen sind gleich groß. Da der erste Winkel $$45^\circ$$ misst, beträgt auch der zweite $$45^\circ$$.
Visible text: Umfangswinkel über demselben Bogen sind gleich groß. Da der erste Winkel misst, beträgt auch der zweite .
## Quellen
- [OpenStax Intermediate Algebra 2e: Distance and Midpoint Formulas; Circles](https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/11-1-distance-and-midpoint-formulas-circles)
- [OpenStax Precalculus 2e: Angles](https://openstax.org/books/precalculus-2e/pages/5-1-angles)
- [OpenStax Precalculus 2e: Key Equations](https://openstax.org/books/precalculus-2e/pages/5-key-equations)
- [Lehrerfortbildung Baden-Württemberg: Kreiswinkelsätze](https://lehrerfortbildung-bw.de/u_matnatech/imp/gym/bp2016/fb2/m03_geo/1_hintergrund/2_gang/m9geo01_unterrichtsverlauf.pdf)