# Kreis und Sehne

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URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/kreisgeometrie/kreis-und-sehne
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/circle/circle-and-chord/de.mdx

Eigenschaften von Kreissehnen verstehen und Aufgaben zu Sehnenlänge, Mittelpunktabstand und Sehnensatz vollständig lösen.

---

## Definition einer Kreissehne

Eine Sehne ist eine Strecke, die zwei Punkte auf einem Kreis verbindet. Im Gegensatz zu einem Durchmesser muss sie nicht durch den Kreismittelpunkt verlaufen. Ihre beiden Endpunkte liegen jedoch immer auf dem Kreis.

Component: LineEquation
Props:
- title: Sehnen auf einem Kreis
- description: Verschiedene Sehnen unterschiedlicher Länge auf einem Kreis.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$O$$, at: 0, offset: [-0.3, -0.3, 0] }],
},
{
points: (() => {
const angle1 = Math.PI / 6;
const angle2 = Math.PI / 3;
return [
{ x: 3 * Math.cos(angle1), y: 3 * Math.sin(angle1), z: 0 },
{ x: 3 * Math.cos(angle2), y: 3 * Math.sin(angle2), z: 0 },
];
})(),
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [
{ text: $$A$$, at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] },
{ text: $$B$$, at: 1, offset: [0.3, 0.3, 0] },
],
},
{
points: (() => {
const angle1 = (2 * Math.PI) / 3;
const angle2 = (5 * Math.PI) / 6;
return [
{ x: 3 * Math.cos(angle1), y: 3 * Math.sin(angle1), z: 0 },
{ x: 3 * Math.cos(angle2), y: 3 * Math.sin(angle2), z: 0 },
];
})(),
color: "#0d9488",
showPoints: true,
labels: [
{ text: $$C$$, at: 0, offset: [-0.3, 0.3, 0] },
{ text: $$D$$, at: 1, offset: [-0.3, 0.3, 0] },
],
},
{
points: (() => {
const angle1 = (7 * Math.PI) / 6;
const angle2 = (3 * Math.PI) / 2;
return [
{ x: 3 * Math.cos(angle1), y: 3 * Math.sin( ... [truncated; 1434 chars]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [-0.3, -0.3, 0] }],
},
{
points: (() => {
const angle1 = Math.PI / 6;
const angle2 = Math.PI / 3;
return [
{ x: 3 * Math.cos(angle1), y: 3 * Math.sin(angle1), z: 0 },
{ x: 3 * Math.cos(angle2), y: 3 * Math.sin(angle2), z: 0 },
];
})(),
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [
{ text: , at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] },
{ text: , at: 1, offset: [0.3, 0.3, 0] },
],
},
{
points: (() => {
const angle1 = (2 * Math.PI) / 3;
const angle2 = (5 * Math.PI) / 6;
return [
{ x: 3 * Math.cos(angle1), y: 3 * Math.sin(angle1), z: 0 },
{ x: 3 * Math.cos(angle2), y: 3 * Math.sin(angle2), z: 0 },
];
})(),
color: "#0d9488",
showPoints: true,
labels: [
{ text: , at: 0, offset: [-0.3, 0.3, 0] },
{ text: , at: 1, offset: [-0.3, 0.3, 0] },
],
},
{
points: (() => {
const angle1 = (7 * Math.PI) / 6;
const angle2 = (3 * Math.PI) / 2;
return [
{ x: 3 * Math.cos(angle1), y: 3 * Math.sin( ... [truncated; 1434 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 10]
- showZAxis: false

In der Abbildung oben sind $$AB$$, $$CD$$ und $$EF$$ Sehnen mit unterschiedlichen Längen.

Visible text: In der Abbildung oben sind , und Sehnen mit unterschiedlichen Längen.

## Eigenschaften von Sehnen

### Sehnen gleicher Länge

Zwei gleich lange Sehnen haben den gleichen Abstand vom Kreismittelpunkt.

Component: LineEquation
Props:
- title: Sehnen gleicher Länge
- description: Zwei gleich lange Sehnen haben den gleichen Abstand vom Kreismittelpunkt.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$O$$, at: 0, offset: [-0.3, -0.3, 0] }],
},
{
points: (() => {
const y = 2;
const x = Math.sqrt(16 - y * y);
return [
{ x: -x, y: y, z: 0 },
{ x: x, y: y, z: 0 },
];
})(),
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [
{ text: $$P$$, at: 0, offset: [-0.3, 0.3, 0] },
{ text: $$Q$$, at: 1, offset: [0.3, 0.3, 0] },
],
},
{
points: (() => {
const y = -2;
const x = Math.sqrt(16 - y * y);
return [
{ x: -x, y: y, z: 0 },
{ x: x, y: y, z: 0 },
];
})(),
color: "#0d9488",
showPoints: true,
labels: [
{ text: $$R$$, at: 0, offset: [-0.3, -0.3, 0] },
{ text: $$S$$, at: 1, offset: [0.3, -0.3, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 0, y: 2, z: 0 },
],
color: "#d97706",
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: $$d_1$$, at: 1, offset: [0.5, 0, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 0, y: -2, z: 0 },
],
color: "#d97706",
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: $$d_2$$, at: 1, of ... [truncated; 1226 chars]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [-0.3, -0.3, 0] }],
},
{
points: (() => {
const y = 2;
const x = Math.sqrt(16 - y * y);
return [
{ x: -x, y: y, z: 0 },
{ x: x, y: y, z: 0 },
];
})(),
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [
{ text: , at: 0, offset: [-0.3, 0.3, 0] },
{ text: , at: 1, offset: [0.3, 0.3, 0] },
],
},
{
points: (() => {
const y = -2;
const x = Math.sqrt(16 - y * y);
return [
{ x: -x, y: y, z: 0 },
{ x: x, y: y, z: 0 },
];
})(),
color: "#0d9488",
showPoints: true,
labels: [
{ text: , at: 0, offset: [-0.3, -0.3, 0] },
{ text: , at: 1, offset: [0.3, -0.3, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 0, y: 2, z: 0 },
],
color: "#d97706",
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0.5, 0, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 0, y: -2, z: 0 },
],
color: "#d97706",
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: , at: 1, of ... [truncated; 1226 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false

Wenn $$PQ = RS$$, dann ist der Abstand vom Kreismittelpunkt $$O$$ zur Sehne $$PQ$$ gleich dem Abstand von $$O$$ zur Sehne $$RS$$, also $$d_1 = d_2$$.

Visible text: Wenn , dann ist der Abstand vom Kreismittelpunkt zur Sehne gleich dem Abstand von zur Sehne , also .

### Senkrechte vom Mittelpunkt auf eine Sehne

Das Lot vom Kreismittelpunkt auf eine Sehne halbiert die Sehne.

Component: LineEquation
Props:
- title: Senkrechte vom Mittelpunkt auf eine Sehne
- description: Eine Senkrechte vom Kreismittelpunkt auf eine Sehne halbiert die Sehne.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 5 * Math.cos(angle),
y: 5 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$O$$, at: 0, offset: [-0.3, -0.3, 0] }],
},
{
points: (() => {
const angle1 = Math.PI / 4;
const angle2 = (3 * Math.PI) / 4;
return [
{ x: 5 * Math.cos(angle1), y: 5 * Math.sin(angle1), z: 0 },
{ x: 5 * Math.cos(angle2), y: 5 * Math.sin(angle2), z: 0 },
];
})(),
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [
{ text: $$A$$, at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] },
{ text: $$B$$, at: 1, offset: [-0.3, 0.3, 0] },
],
},
{
points: (() => {
const chordMidX =
(5 * Math.cos(Math.PI / 4) + 5 * Math.cos((3 * Math.PI) / 4)) / 2;
const chordMidY =
(5 * Math.sin(Math.PI / 4) + 5 * Math.sin((3 * Math.PI) / 4)) / 2;
return [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: chordMidX, y: chordMidY, z: 0 },
];
})(),
color: "#db2777",
showPoints: true,
smooth: false,
labels: [{ text: $$M$$, at: 1, offset: [0, 0.5, 0] }],
},
{
points: (() => {
const chordMidX =
(5 * Math.cos(Math.PI / 4) + 5 * Math.cos((3 * Math.PI) / 4)) / 2;
const chordMidY =
(5 * Ma ... [truncated; 1472 chars]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 5 * Math.cos(angle),
y: 5 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [-0.3, -0.3, 0] }],
},
{
points: (() => {
const angle1 = Math.PI / 4;
const angle2 = (3 * Math.PI) / 4;
return [
{ x: 5 * Math.cos(angle1), y: 5 * Math.sin(angle1), z: 0 },
{ x: 5 * Math.cos(angle2), y: 5 * Math.sin(angle2), z: 0 },
];
})(),
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [
{ text: , at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] },
{ text: , at: 1, offset: [-0.3, 0.3, 0] },
],
},
{
points: (() => {
const chordMidX =
(5 * Math.cos(Math.PI / 4) + 5 * Math.cos((3 * Math.PI) / 4)) / 2;
const chordMidY =
(5 * Math.sin(Math.PI / 4) + 5 * Math.sin((3 * Math.PI) / 4)) / 2;
return [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: chordMidX, y: chordMidY, z: 0 },
];
})(),
color: "#db2777",
showPoints: true,
smooth: false,
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0, 0.5, 0] }],
},
{
points: (() => {
const chordMidX =
(5 * Math.cos(Math.PI / 4) + 5 * Math.cos((3 * Math.PI) / 4)) / 2;
const chordMidY =
(5 * Ma ... [truncated; 1472 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false

In der Abbildung gilt $$OM \perp AB$$. Der Punkt $$M$$ ist der Mittelpunkt der Sehne $$AB$$, also ist $$AM = MB$$.

Visible text: In der Abbildung gilt . Der Punkt ist der Mittelpunkt der Sehne , also ist .

## Sehnenlänge

### Formel für die Sehnenlänge

Um die Länge einer Sehne zu berechnen, können wir die Formel verwenden:

```math
AB = 2r \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)
```

Dabei gilt:

- $$r$$ = Radius des Kreises
- $$\theta$$ = der kleinere Mittelpunktswinkel über der Sehne; der Rechnermodus muss zur Winkeleinheit passen

Visible text: - = Radius des Kreises
- = der kleinere Mittelpunktswinkel über der Sehne; der Rechnermodus muss zur Winkeleinheit passen

Der Zusammenhang zwischen Mittelpunktswinkel und Sehnenlänge lässt sich wie folgt visualisieren:

Component: LineEquation
Props:
- title: Mittelpunktswinkel und Sehne
- description: Zusammenhang zwischen Mittelpunktswinkel und Sehnenlänge.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$O$$, at: 0, offset: [-0.3, -0.3, 0] }],
},
{
points: (() => {
const angle1 = Math.PI / 6;
const angle2 = (2 * Math.PI) / 3;
return [
{ x: 4 * Math.cos(angle1), y: 4 * Math.sin(angle1), z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(angle2), y: 4 * Math.sin(angle2), z: 0 },
];
})(),
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [
{ text: $$P$$, at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] },
{ text: $$Q$$, at: 1, offset: [-0.3, 0.3, 0] },
],
},
{
points: (() => {
const angle1 = Math.PI / 6;
return [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(angle1), y: 4 * Math.sin(angle1), z: 0 },
];
})(),
color: "#0d9488",
showPoints: false,
smooth: false,
},
{
points: (() => {
const angle2 = (2 * Math.PI) / 3;
return [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(angle2), y: 4 * Math.sin(angle2), z: 0 },
];
})(),
color: "#0d9488",
showPoints: false,
smooth: false,
},
{
points: (() => {
const startAngle = Math.PI / 6;
const endAngle = (2 * Math.PI) / 3;
const nu ... [truncated; 1524 chars]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [-0.3, -0.3, 0] }],
},
{
points: (() => {
const angle1 = Math.PI / 6;
const angle2 = (2 * Math.PI) / 3;
return [
{ x: 4 * Math.cos(angle1), y: 4 * Math.sin(angle1), z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(angle2), y: 4 * Math.sin(angle2), z: 0 },
];
})(),
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [
{ text: , at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] },
{ text: , at: 1, offset: [-0.3, 0.3, 0] },
],
},
{
points: (() => {
const angle1 = Math.PI / 6;
return [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(angle1), y: 4 * Math.sin(angle1), z: 0 },
];
})(),
color: "#0d9488",
showPoints: false,
smooth: false,
},
{
points: (() => {
const angle2 = (2 * Math.PI) / 3;
return [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(angle2), y: 4 * Math.sin(angle2), z: 0 },
];
})(),
color: "#0d9488",
showPoints: false,
smooth: false,
},
{
points: (() => {
const startAngle = Math.PI / 6;
const endAngle = (2 * Math.PI) / 3;
const nu ... [truncated; 1524 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false

### Abstand einer Sehne vom Mittelpunkt

Der Abstand einer Sehne vom Mittelpunkt des Kreises kann mit der Formel berechnet werden:

```math
d = r \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)
```

Oder wenn die Sehnenlänge $$l$$ bekannt ist:

Visible text: Oder wenn die Sehnenlänge bekannt ist:

```math
d = \sqrt{r^2 - \left(\frac{l}{2}\right)^2}
```

## Sehnensatz

Wenn sich zwei Sehnen innerhalb eines Kreises schneiden, dann ist das Produkt der Segmente einer Sehne gleich dem Produkt der Segmente der anderen Sehne.

Component: LineEquation
Props:
- title: Schnittpunkt zweier Sehnen
- description: Sehnensatz: $$PA \times PB = PC \times PD$$.
  Visible text: Sehnensatz: .
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 5 * Math.cos(angle),
y: 5 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: (() => {
const angle1 = Math.PI / 3;
const angle2 = (4 * Math.PI) / 3;
return [
{ x: 5 * Math.cos(angle1), y: 5 * Math.sin(angle1), z: 0 },
{ x: 5 * Math.cos(angle2), y: 5 * Math.sin(angle2), z: 0 },
];
})(),
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [
{ text: $$A$$, at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] },
{ text: $$B$$, at: 1, offset: [-0.3, -0.3, 0] },
],
},
{
points: (() => {
const angle1 = (5 * Math.PI) / 6;
const angle2 = (11 * Math.PI) / 6;
return [
{ x: 5 * Math.cos(angle1), y: 5 * Math.sin(angle1), z: 0 },
{ x: 5 * Math.cos(angle2), y: 5 * Math.sin(angle2), z: 0 },
];
})(),
color: "#0d9488",
showPoints: true,
labels: [
{ text: $$C$$, at: 0, offset: [-0.3, 0.3, 0] },
{ text: $$D$$, at: 1, offset: [0.3, -0.3, 0] },
],
},
{
points: (() => {
// Schnittpunkt P berechnen
const A = {
x: 5 * Math.cos(Math.PI / 3),
y: 5 * Math.sin(Math.PI / 3),
};
const B = {
x: 5 * Math.cos((4 * Math.PI) / 3),
y: 5 * Math.sin((4 * Math.PI) / 3),
};
const C = {
x: 5 * Math.cos((5 * Math.PI) / 6),
y: 5 ... [truncated; 1772 chars]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 5 * Math.cos(angle),
y: 5 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: (() => {
const angle1 = Math.PI / 3;
const angle2 = (4 * Math.PI) / 3;
return [
{ x: 5 * Math.cos(angle1), y: 5 * Math.sin(angle1), z: 0 },
{ x: 5 * Math.cos(angle2), y: 5 * Math.sin(angle2), z: 0 },
];
})(),
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [
{ text: , at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] },
{ text: , at: 1, offset: [-0.3, -0.3, 0] },
],
},
{
points: (() => {
const angle1 = (5 * Math.PI) / 6;
const angle2 = (11 * Math.PI) / 6;
return [
{ x: 5 * Math.cos(angle1), y: 5 * Math.sin(angle1), z: 0 },
{ x: 5 * Math.cos(angle2), y: 5 * Math.sin(angle2), z: 0 },
];
})(),
color: "#0d9488",
showPoints: true,
labels: [
{ text: , at: 0, offset: [-0.3, 0.3, 0] },
{ text: , at: 1, offset: [0.3, -0.3, 0] },
],
},
{
points: (() => {
// Schnittpunkt P berechnen
const A = {
x: 5 * Math.cos(Math.PI / 3),
y: 5 * Math.sin(Math.PI / 3),
};
const B = {
x: 5 * Math.cos((4 * Math.PI) / 3),
y: 5 * Math.sin((4 * Math.PI) / 3),
};
const C = {
x: 5 * Math.cos((5 * Math.PI) / 6),
y: 5 ... [truncated; 1772 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false

In der Abbildung oben gilt: $$PA \times PB = PC \times PD$$

Visible text: In der Abbildung oben gilt:

## Umfangswinkel im selben Kreissegment

Umfangswinkel über derselben Sehne sind gleich groß, wenn ihre Scheitelpunkte auf derselben Seite der Sehne liegen.

Component: LineEquation
Props:
- title: Umfangswinkel im selben Kreissegment
- description: Beide Umfangswinkel liegen auf derselben Seite der Sehne{" "}
$$AB$$ und sind deshalb gleich groß.
  Visible text: Beide Umfangswinkel liegen auf derselben Seite der Sehne 
 und sind deshalb gleich groß.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: (() => {
const angleA = 0;
const angleB = Math.PI / 2;
return [
{ x: 4 * Math.cos(angleA), y: 4 * Math.sin(angleA), z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(angleB), y: 4 * Math.sin(angleB), z: 0 },
];
})(),
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [
{ text: $$A$$, at: 0, offset: [0.5, 0, 0] },
{ text: $$B$$, at: 1, offset: [0, 0.5, 0] },
],
},
{
points: (() => {
const angleC = (3 * Math.PI) / 4;
const angleA = 0;
const angleB = Math.PI / 2;
return [
{ x: 4 * Math.cos(angleC), y: 4 * Math.sin(angleC), z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(angleA), y: 4 * Math.sin(angleA), z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(angleB), y: 4 * Math.sin(angleB), z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(angleC), y: 4 * Math.sin(angleC), z: 0 },
];
})(),
color: "#db2777",
showPoints: true,
smooth: false,
labels: [{ text: $$C$$, at: 0, offset: [-0.3, 0.3, 0] }],
},
{
points: (() => {
const angleD = (5 * Math.PI) / 4;
const angleA = 0;
const angleB = Math.PI / 2;
return [
{ x: 4 * Math.cos(angleD), y: 4 * Math.sin(angleD), z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(ang ... [truncated; 1482 chars]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: (() => {
const angleA = 0;
const angleB = Math.PI / 2;
return [
{ x: 4 * Math.cos(angleA), y: 4 * Math.sin(angleA), z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(angleB), y: 4 * Math.sin(angleB), z: 0 },
];
})(),
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [
{ text: , at: 0, offset: [0.5, 0, 0] },
{ text: , at: 1, offset: [0, 0.5, 0] },
],
},
{
points: (() => {
const angleC = (3 * Math.PI) / 4;
const angleA = 0;
const angleB = Math.PI / 2;
return [
{ x: 4 * Math.cos(angleC), y: 4 * Math.sin(angleC), z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(angleA), y: 4 * Math.sin(angleA), z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(angleB), y: 4 * Math.sin(angleB), z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(angleC), y: 4 * Math.sin(angleC), z: 0 },
];
})(),
color: "#db2777",
showPoints: true,
smooth: false,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [-0.3, 0.3, 0] }],
},
{
points: (() => {
const angleD = (5 * Math.PI) / 4;
const angleA = 0;
const angleB = Math.PI / 2;
return [
{ x: 4 * Math.cos(angleD), y: 4 * Math.sin(angleD), z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(ang ... [truncated; 1482 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false

In der Abbildung gilt $$\angle ACB = \angle ADB$$, weil beide Scheitelpunkte auf derselben Seite der Sehne $$AB$$ liegen und beide Winkel diese Sehne überspannen.

Visible text: In der Abbildung gilt , weil beide Scheitelpunkte auf derselben Seite der Sehne liegen und beide Winkel diese Sehne überspannen.

## Apothem einer Sehne

Das Apothem einer Sehne ist das Lot vom Kreismittelpunkt auf die Sehne. Seine Länge ist der kürzeste Abstand zwischen Mittelpunkt und Sehne.

Component: LineEquation
Props:
- title: Apothem einer Sehne
- description: Das Apothem ist das Lot vom Kreismittelpunkt auf die Sehne.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 5 * Math.cos(angle),
y: 5 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$O$$, at: 0, offset: [-0.3, -0.3, 0] }],
},
{
points: (() => {
const y = 3;
const x = Math.sqrt(25 - y * y);
return [
{ x: -x, y: y, z: 0 },
{ x: x, y: y, z: 0 },
];
})(),
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [
{ text: $$P$$, at: 0, offset: [-0.3, 0.3, 0] },
{ text: $$Q$$, at: 1, offset: [0.3, 0.3, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 0, y: 3, z: 0 },
],
color: "#db2777",
showPoints: true,
smooth: false,
labels: [
{ text: $$M$$, at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
{ text: "Apothem", at: 0, offset: [1.2, 1.5, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: -0.3, y: 3, z: 0 },
{ x: -0.3, y: 2.7, z: 0 },
{ x: 0, y: 2.7, z: 0 },
],
color: "#d97706",
showPoints: false,
smooth: false,
},
]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 5 * Math.cos(angle),
y: 5 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [-0.3, -0.3, 0] }],
},
{
points: (() => {
const y = 3;
const x = Math.sqrt(25 - y * y);
return [
{ x: -x, y: y, z: 0 },
{ x: x, y: y, z: 0 },
];
})(),
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [
{ text: , at: 0, offset: [-0.3, 0.3, 0] },
{ text: , at: 1, offset: [0.3, 0.3, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 0, y: 3, z: 0 },
],
color: "#db2777",
showPoints: true,
smooth: false,
labels: [
{ text: , at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
{ text: "Apothem", at: 0, offset: [1.2, 1.5, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: -0.3, y: 3, z: 0 },
{ x: -0.3, y: 2.7, z: 0 },
{ x: 0, y: 2.7, z: 0 },
],
color: "#d97706",
showPoints: false,
smooth: false,
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false

Die Länge des Apothems kann mit der Formel berechnet werden:

```math
a = r \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{r^2 - \left(\frac{l}{2}\right)^2}
```

Dabei gilt:

- $$a$$ = Länge des Apothems
- $$r$$ = Radius des Kreises
- $$l$$ = Länge der Sehne
- $$\theta$$ = Mittelpunktswinkel

Visible text: - = Länge des Apothems
- = Radius des Kreises
- = Länge der Sehne
- = Mittelpunktswinkel

## Parallele Sehnen

Zwei parallele Sehnen in einem Kreis haben besondere Eigenschaften.

Component: LineEquation
Props:
- title: Parallele Sehnen
- description: Bögen zwischen parallelen Sehnen haben die gleiche Länge.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: (() => {
const y = 2;
const x = Math.sqrt(16 - y * y);
return [
{ x: -x, y: y, z: 0 },
{ x: x, y: y, z: 0 },
];
})(),
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [
{ text: $$A$$, at: 0, offset: [-0.3, 0.3, 0] },
{ text: $$B$$, at: 1, offset: [0.3, 0.3, 0] },
],
},
{
points: (() => {
const y = -2;
const x = Math.sqrt(16 - y * y);
return [
{ x: -x, y: y, z: 0 },
{ x: x, y: y, z: 0 },
];
})(),
color: "#0d9488",
showPoints: true,
labels: [
{ text: $$C$$, at: 0, offset: [-0.3, -0.3, 0] },
{ text: $$D$$, at: 1, offset: [0.3, -0.3, 0] },
],
},
{
points: (() => {
const y1 = 2;
const x1 = Math.sqrt(16 - y1 * y1);
const angle1 = Math.atan2(y1, -x1);
const y2 = -2;
const x2 = Math.sqrt(16 - y2 * y2);
const angle2 = Math.atan2(y2, -x2);
const numPoints = 20;
return Array.from({ length: numPoints + 1 }, (_, i) => {
const angle = angle1 + (angle2 - angle1) * (i / numPoints);
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
});
})(),
color: "#db2777",
showPoints: false,
},
{
p ... [truncated; 1643 chars]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: (() => {
const y = 2;
const x = Math.sqrt(16 - y * y);
return [
{ x: -x, y: y, z: 0 },
{ x: x, y: y, z: 0 },
];
})(),
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [
{ text: , at: 0, offset: [-0.3, 0.3, 0] },
{ text: , at: 1, offset: [0.3, 0.3, 0] },
],
},
{
points: (() => {
const y = -2;
const x = Math.sqrt(16 - y * y);
return [
{ x: -x, y: y, z: 0 },
{ x: x, y: y, z: 0 },
];
})(),
color: "#0d9488",
showPoints: true,
labels: [
{ text: , at: 0, offset: [-0.3, -0.3, 0] },
{ text: , at: 1, offset: [0.3, -0.3, 0] },
],
},
{
points: (() => {
const y1 = 2;
const x1 = Math.sqrt(16 - y1 * y1);
const angle1 = Math.atan2(y1, -x1);
const y2 = -2;
const x2 = Math.sqrt(16 - y2 * y2);
const angle2 = Math.atan2(y2, -x2);
const numPoints = 20;
return Array.from({ length: numPoints + 1 }, (_, i) => {
const angle = angle1 + (angle2 - angle1) * (i / numPoints);
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
});
})(),
color: "#db2777",
showPoints: false,
},
{
p ... [truncated; 1643 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false

Wenn $$AB \parallel CD$$, dann ist Bogen $$AC$$ gleich Bogen $$BD$$.

Visible text: Wenn , dann ist Bogen gleich Bogen .

## Übungsaufgaben

1. Ein Kreis hat einen Radius von $$10 \text{ cm}$$. Der kleinere Mittelpunktswinkel über einer Sehne beträgt $$60^\circ$$. Bestimmen Sie:

   - Die Länge der Sehne
   - Der Abstand der Sehne vom Mittelpunkt des Kreises

2. Zwei Sehnen $$AB$$ und $$CD$$ schneiden sich im Punkt $$P$$ innerhalb eines Kreises. Wenn $$PA = 4 \text{ cm}$$, $$PB = 6 \text{ cm}$$ und $$PC = 3 \text{ cm}$$, ermitteln Sie die Länge von $$PD$$.

3. In einem Kreis mit Radius $$13 \text{ cm}$$ gibt es eine Sehne der Länge $$24 \text{ cm}$$. Berechnen Sie den Abstand dieser Sehne vom Mittelpunkt des Kreises.

4. Zwei parallele Sehnen in einem Kreis sind $$3 \text{ cm}$$ bzw. $$4 \text{ cm}$$ vom Mittelpunkt entfernt. Wenn der Radius des Kreises $$5 \text{ cm}$$ beträgt, bestimmen Sie die Längen beider Sehnen.

5. Beweisen Sie, dass die längste Sehne in einem Kreis der Durchmesser ist.

Visible text: 1. Ein Kreis hat einen Radius von . Der kleinere Mittelpunktswinkel über einer Sehne beträgt . Bestimmen Sie:

 - Die Länge der Sehne
 - Der Abstand der Sehne vom Mittelpunkt des Kreises

2. Zwei Sehnen und schneiden sich im Punkt innerhalb eines Kreises. Wenn , und , ermitteln Sie die Länge von .

3. In einem Kreis mit Radius gibt es eine Sehne der Länge . Berechnen Sie den Abstand dieser Sehne vom Mittelpunkt des Kreises.

4. Zwei parallele Sehnen in einem Kreis sind bzw. vom Mittelpunkt entfernt. Wenn der Radius des Kreises beträgt, bestimmen Sie die Längen beider Sehnen.

5. Beweisen Sie, dass die längste Sehne in einem Kreis der Durchmesser ist.

### Ausführliche Lösungen

1. **Sehnenlänge und Abstand vom Kreismittelpunkt berechnen**

   Gegeben: $$r = 10 \text{ cm}$$, $$\theta = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$$ rad

   <MathContainer>
     
   
   ```math
   l = 2r \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = 2 \times 10 \times \sin\left(\frac{\pi/3}{2}\right)
   ```

     
   
   ```math
   l = 20 \times \sin(30^\circ) = 20 \times 0{,}5 = 10 \text{ cm}
   ```

     
   
   ```math
   d = r \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = 10 \times \cos(30^\circ)
   ```

     
   
   ```math
   d = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \text{ cm}
   ```

   </MathContainer>

2. **Sehnensatz**

   Gegeben: $$PA = 4 \text{ cm}$$, $$PB = 6 \text{ cm}$$, $$PC = 3 \text{ cm}$$

   <MathContainer>
     
   
   ```math
   PA \times PB = PC \times PD
   ```

     
   
   ```math
   4 \times 6 = 3 \times PD
   ```

     
   
   ```math
   24 = 3 \times PD
   ```

     
   
   ```math
   PD = 8 \text{ cm}
   ```

   </MathContainer>

3. **Abstand der Sehne vom Kreismittelpunkt berechnen**

   Gegeben: $$r = 13 \text{ cm}$$, $$l = 24 \text{ cm}$$

   <MathContainer>
     
   
   ```math
   d = \sqrt{r^2 - \left(\frac{l}{2}\right)^2}
   ```

     
   
   ```math
   d = \sqrt{13^2 - 12^2}
   ```

     
   
   ```math
   d = \sqrt{169 - 144}
   ```

     
   
   ```math
   d = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}
   ```

   </MathContainer>

4. **Parallele Sehnen**

   Gegeben: $$r = 5 \text{ cm}$$, $$d_1 = 3 \text{ cm}$$, $$d_2 = 4 \text{ cm}$$

   Für die erste Sehne:

   <MathContainer>
     
   
   ```math
   l_1 = 2\sqrt{r^2 - d_1^2} = 2\sqrt{25 - 9} = 2\sqrt{16} = 8 \text{ cm}
   ```

   </MathContainer>

   Für die zweite Sehne:

   <MathContainer>
     
   
   ```math
   l_2 = 2\sqrt{r^2 - d_2^2} = 2\sqrt{25 - 16} = 2\sqrt{9} = 6 \text{ cm}
   ```

   </MathContainer>

5. **Beweis, dass der Durchmesser die längste Sehne ist**

   Für jede Sehne sei $$\theta$$ der kleinere Mittelpunktswinkel, sodass $$0^\circ\leq\theta\leq180^\circ$$ gilt:

   <MathContainer>
     
   
   ```math
   l = 2r \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)
   ```

   </MathContainer>

   Der Maximalwert von $$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = 1$$ wird erreicht, wenn $$\frac{\theta}{2} = 90^\circ$$, also $$\theta = 180^\circ$$.

   Bei $$\theta = 180^\circ$$ verläuft die Sehne durch den Mittelpunkt des Kreises (Durchmesser) mit der Länge:

   <MathContainer>
     
   
   ```math
   l_{\max} = 2r \times 1 = 2r
   ```

   </MathContainer>

   Daher ist der Durchmesser die längste Sehne.

Visible text: 1. **Sehnenlänge und Abstand vom Kreismittelpunkt berechnen**

 Gegeben: , rad

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

2. **Sehnensatz**

 Gegeben: , , 

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

3. **Abstand der Sehne vom Kreismittelpunkt berechnen**

 Gegeben: , 

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

4. **Parallele Sehnen**

 Gegeben: , , 

 Für die erste Sehne:

 <MathContainer>
 
 

 </MathContainer>

 Für die zweite Sehne:

 <MathContainer>
 
 

 </MathContainer>

5. **Beweis, dass der Durchmesser die längste Sehne ist**

 Für jede Sehne sei der kleinere Mittelpunktswinkel, sodass gilt:

 <MathContainer>
 
 

 </MathContainer>

 Der Maximalwert von wird erreicht, wenn , also .

 Bei verläuft die Sehne durch den Mittelpunkt des Kreises (Durchmesser) mit der Länge:

 <MathContainer>
 
 

 </MathContainer>

 Daher ist der Durchmesser die längste Sehne.

## Quellen

- [GeoGebra: Theorems about Tangents and Chords](https://www.geogebra.org/m/bvtxyfaj)
- [GeoGebra: Intersecting Chords Theorem](https://www.geogebra.org/m/JWQjwAgw)
- [Lehrerfortbildung Baden-Württemberg: Kreiswinkelsätze](https://lehrerfortbildung-bw.de/u_matnatech/imp/gym/bp2016/fb2/m03_geo/1_hintergrund/2_gang/m9geo01_unterrichtsverlauf.pdf)