# Kreis und Tangente
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URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/kreisgeometrie/kreis-und-tangente
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/circle/circle-and-tangent-line/de.mdx
Tangentengleichungen aus dem senkrechten Radius herleiten und Aufgaben zu äußeren Punkten sowie gemeinsamen Tangenten Schritt für Schritt lösen.
---
## Definition der Kreistangente
Eine Kreistangente ist eine Gerade, die den Kreis in genau einem Punkt berührt. Dieser Punkt heißt Berührpunkt.
Component: LineEquation
Props:
- title: Kreistangente
- description: Eine Tangente berührt den Kreis in genau einem Punkt.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: $$O$$, at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
{ text: $$P$$, at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: 3, y: -3, z: 0 },
{ x: 3, y: 3, z: 0 },
],
color: "#0891b2",
showPoints: false,
labels: [{ text: "Tangente", at: 1, offset: [1.5, 0, 0] }],
},
]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: , at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
{ text: , at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: 3, y: -3, z: 0 },
{ x: 3, y: 3, z: 0 },
],
color: "#0891b2",
showPoints: false,
labels: [{ text: "Tangente", at: 1, offset: [1.5, 0, 0] }],
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 10]
- showZAxis: false
**Wichtige Eigenschaft:** Eine Tangente verläuft im Tangentenpunkt immer senkrecht zum Radius des Kreises.
## Gleichung der Kreistangente
### Tangente durch einen Punkt auf dem Kreis
Liegt der Punkt $$(x_1, y_1)$$ auf dem Kreis $$x^2 + y^2 = r^2$$, dann lautet die Gleichung der Tangente an diesem Punkt:
Visible text: Liegt der Punkt auf dem Kreis , dann lautet die Gleichung der Tangente an diesem Punkt:
```math
x_1 \cdot x + y_1 \cdot y = r^2
```
Für einen Kreis mit Mittelpunkt $$(a, b)$$:
Visible text: Für einen Kreis mit Mittelpunkt :
```math
(x_1 - a)(x - a) + (y_1 - b)(y - b) = r^2
```
### Tangente mit gegebener Steigung
Die Gleichung der Tangente an den Kreis $$x^2 + y^2 = r^2$$ mit der Steigung $$m$$ lautet:
Visible text: Die Gleichung der Tangente an den Kreis mit der Steigung lautet:
```math
y = mx \pm r\sqrt{1 + m^2}
```
Für einen Kreis mit Mittelpunkt $$(a, b)$$:
Visible text: Für einen Kreis mit Mittelpunkt :
```math
y - b = m(x - a) \pm r\sqrt{1 + m^2}
```
## Tangenten von einem Punkt außerhalb des Kreises
Von einem Punkt außerhalb des Kreises können zwei Tangenten an den Kreis gezogen werden.
Component: LineEquation
Props:
- title: Zwei Tangenten von einem äußeren Punkt
- description: Vom Punkt $$P$$ außerhalb des Kreises lassen sich zwei
Tangenten an den Kreis zeichnen.
Visible text: Vom Punkt außerhalb des Kreises lassen sich zwei
Tangenten an den Kreis zeichnen.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 2.5 * Math.cos(angle),
y: 2.5 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$O$$, at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }],
},
{
points: [{ x: 5, y: 0, z: 0 }],
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$P$$, at: 0, offset: [0.5, 0, 0] }],
},
{
points: (() => {
const P = { x: 5, y: 0 };
const O = { x: 0, y: 0 };
const r = 2.5;
const d = Math.sqrt((P.x - O.x) ** 2 + (P.y - O.y) ** 2);
// Winkel vom Mittelpunkt zum äußeren Punkt
const theta = Math.atan2(P.y - O.y, P.x - O.x);
// Winkel der Tangente vom Mittelpunkt aus
const alpha = Math.asin(r / d);
// Erster Berührpunkt
const T1x = O.x + r * Math.cos(theta + Math.PI / 2 - alpha);
const T1y = O.y + r * Math.sin(theta + Math.PI / 2 - alpha);
return [
{ x: P.x, y: P.y, z: 0 },
{ x: T1x, y: T1y, z: 0 },
];
})(),
color: "#0d9488",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$T_1$$, at: 1, offset: [0.3, 0.5, 0] }],
},
{
points: (() => {
const P = { x: 5, y: 0 };
const O = { x: 0, y: 0 };
const r = 2.5;
const d = Math.sqrt((P.x - ... [truncated; 1719 chars]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 2.5 * Math.cos(angle),
y: 2.5 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }],
},
{
points: [{ x: 5, y: 0, z: 0 }],
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.5, 0, 0] }],
},
{
points: (() => {
const P = { x: 5, y: 0 };
const O = { x: 0, y: 0 };
const r = 2.5;
const d = Math.sqrt((P.x - O.x) ** 2 + (P.y - O.y) ** 2);
// Winkel vom Mittelpunkt zum äußeren Punkt
const theta = Math.atan2(P.y - O.y, P.x - O.x);
// Winkel der Tangente vom Mittelpunkt aus
const alpha = Math.asin(r / d);
// Erster Berührpunkt
const T1x = O.x + r * Math.cos(theta + Math.PI / 2 - alpha);
const T1y = O.y + r * Math.sin(theta + Math.PI / 2 - alpha);
return [
{ x: P.x, y: P.y, z: 0 },
{ x: T1x, y: T1y, z: 0 },
];
})(),
color: "#0d9488",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0.3, 0.5, 0] }],
},
{
points: (() => {
const P = { x: 5, y: 0 };
const O = { x: 0, y: 0 };
const r = 2.5;
const d = Math.sqrt((P.x - ... [truncated; 1719 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 10]
- showZAxis: false
### Länge der Tangente
Wenn $$P(x_1, y_1)$$ ein Punkt außerhalb des Kreises mit Mittelpunkt $$O(a, b)$$ und Radius $$r$$ ist, dann beträgt die Länge der Tangentenstrecke von $$P$$ bis zum Berührpunkt:
Visible text: Wenn ein Punkt außerhalb des Kreises mit Mittelpunkt und Radius ist, dann beträgt die Länge der Tangentenstrecke von bis zum Berührpunkt:
```math
PT = \sqrt{(x_1 - a)^2 + (y_1 - b)^2 - r^2}
```
## Gemeinsame Tangenten zweier Kreise
### Äußere gemeinsame Tangenten
Äußere gemeinsame Tangenten sind Geraden, die beide Kreise berühren und die Verbindungslinie der beiden Kreismittelpunkte nicht schneiden.
Component: LineEquation
Props:
- title: Äußere gemeinsame Tangenten
- description: Geraden, die beide Kreise von derselben Seite berühren.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: -3 + 1.5 * Math.cos(angle),
y: 1.5 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 + 2 * Math.cos(angle),
y: 2 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: -3, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: $$O_1$$, at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
{ text: $$O_2$$, at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] },
],
},
{
points: (() => {
const O1 = { x: -3, y: 0 };
const O2 = { x: 3, y: 0 };
const r1 = 1.5;
const r2 = 2;
const d = Math.sqrt((O2.x - O1.x) ** 2 + (O2.y - O1.y) ** 2);
// Winkel zwischen Mittelpunktsgerade und gemeinsamer Tangente
const alpha = Math.asin((r2 - r1) / d);
// Winkel von O1 zu O2
const theta = Math.atan2(O2.y - O1.y, O2.x - O1.x);
// Berührpunkte am ersten Kreis
const T1x = O1.x + r1 * Math.cos(theta + Math.PI/2 + alpha);
const T1y = O1.y + r1 * Math.sin(theta + Math.PI/2 + alpha);
// Berührpunkte am zweiten Kreis
const T2x = O2.x + r2 * Math.cos(theta + Math.P ... [truncated; 2719 chars]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: -3 + 1.5 * Math.cos(angle),
y: 1.5 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 + 2 * Math.cos(angle),
y: 2 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: -3, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: , at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
{ text: , at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] },
],
},
{
points: (() => {
const O1 = { x: -3, y: 0 };
const O2 = { x: 3, y: 0 };
const r1 = 1.5;
const r2 = 2;
const d = Math.sqrt((O2.x - O1.x) ** 2 + (O2.y - O1.y) ** 2);
// Winkel zwischen Mittelpunktsgerade und gemeinsamer Tangente
const alpha = Math.asin((r2 - r1) / d);
// Winkel von O1 zu O2
const theta = Math.atan2(O2.y - O1.y, O2.x - O1.x);
// Berührpunkte am ersten Kreis
const T1x = O1.x + r1 * Math.cos(theta + Math.PI/2 + alpha);
const T1y = O1.y + r1 * Math.sin(theta + Math.PI/2 + alpha);
// Berührpunkte am zweiten Kreis
const T2x = O2.x + r2 * Math.cos(theta + Math.P ... [truncated; 2719 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false
Länge der äußeren gemeinsamen Tangente:
```math
l = \sqrt{d^2 - (r_1 - r_2)^2}
```
wobei $$d$$ der Abstand zwischen den beiden Kreismittelpunkten ist.
Visible text: wobei der Abstand zwischen den beiden Kreismittelpunkten ist.
Das äußere Tangentenstück hat nur für $$d>|r_1-r_2|$$ eine positive Länge. Bei Gleichheit berühren sich die Kreise von innen und das Stück zwischen den beiden Berührpunkten schrumpft auf die Länge null.
Visible text: Das äußere Tangentenstück hat nur für eine positive Länge. Bei Gleichheit berühren sich die Kreise von innen und das Stück zwischen den beiden Berührpunkten schrumpft auf die Länge null.
### Innere gemeinsame Tangenten
Innere gemeinsame Tangenten sind Geraden, die beide Kreise berühren und die Verbindungslinie der beiden Kreismittelpunkte schneiden.
Component: LineEquation
Props:
- title: Innere gemeinsame Tangenten
- description: Geraden, die beide Kreise von gegenüberliegenden Seiten berühren.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: -3 + 1.5 * Math.cos(angle),
y: 1.5 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 + 1.5 * Math.cos(angle),
y: 1.5 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: -3, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: $$O_1$$, at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
{ text: $$O_2$$, at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] },
],
},
{
points: (() => {
const O1 = { x: -3, y: 0 };
const O2 = { x: 3, y: 0 };
const r1 = 1.5;
const r2 = 1.5;
const d = Math.sqrt((O2.x - O1.x) ** 2 + (O2.y - O1.y) ** 2);
// Winkel der gemeinsamen inneren Tangente bestimmen
const alpha = Math.asin((r1 + r2) / d);
// Winkel von O1 zu O2
const theta = Math.atan2(O2.y - O1.y, O2.x - O1.x);
// Bei der inneren Tangente liegen die Berührpunkte auf gegenüberliegenden Seiten
// Erster Kreis: Oberseite
const T1x = O1.x + r1 * Math.cos(theta + Math.PI/2 - alpha);
const T1y = O1.y + r1 * Math.sin(theta + Math.PI/2 - alpha);
// Zwei ... [truncated; 2985 chars]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: -3 + 1.5 * Math.cos(angle),
y: 1.5 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 + 1.5 * Math.cos(angle),
y: 1.5 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: -3, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: , at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
{ text: , at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] },
],
},
{
points: (() => {
const O1 = { x: -3, y: 0 };
const O2 = { x: 3, y: 0 };
const r1 = 1.5;
const r2 = 1.5;
const d = Math.sqrt((O2.x - O1.x) ** 2 + (O2.y - O1.y) ** 2);
// Winkel der gemeinsamen inneren Tangente bestimmen
const alpha = Math.asin((r1 + r2) / d);
// Winkel von O1 zu O2
const theta = Math.atan2(O2.y - O1.y, O2.x - O1.x);
// Bei der inneren Tangente liegen die Berührpunkte auf gegenüberliegenden Seiten
// Erster Kreis: Oberseite
const T1x = O1.x + r1 * Math.cos(theta + Math.PI/2 - alpha);
const T1y = O1.y + r1 * Math.sin(theta + Math.PI/2 - alpha);
// Zwei ... [truncated; 2985 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false
Länge der inneren gemeinsamen Tangente:
```math
l = \sqrt{d^2 - (r_1 + r_2)^2}
```
Das innere Tangentenstück hat nur für $$d>r_1+r_2$$ eine positive Länge. Bei Gleichheit berühren sich die Kreise von außen und das Stück zwischen den beiden Berührpunkten hat die Länge null.
Visible text: Das innere Tangentenstück hat nur für eine positive Länge. Bei Gleichheit berühren sich die Kreise von außen und das Stück zwischen den beiden Berührpunkten hat die Länge null.
## Tangentengleichungen bestimmen
### Bestimmen der Tangente durch einen Punkt auf dem Kreis
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Kreis $$x^2 + y^2 = 25$$ am Punkt $$(3, 4)$$.
Visible text: Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Kreis am Punkt .
**Lösung:**
Da der Punkt $$(3, 4)$$ auf dem Kreis liegt (nachweisbar: $$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$$), lautet die Gleichung der Tangente:
Visible text: Da der Punkt auf dem Kreis liegt (nachweisbar: ), lautet die Gleichung der Tangente:
Component: MathContainer
Children:
```math
x_1 \cdot x + y_1 \cdot y = r^2
```
```math
3x + 4y = 25
```
### Tangente mit vorgegebener Steigung bestimmen
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Kreis $$x^2 + y^2 = 16$$, die parallel zur Geraden $$3x - 4y + 5 = 0$$ verläuft.
Visible text: Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Kreis , die parallel zur Geraden verläuft.
**Lösung:**
Die Steigung der Geraden $$3x - 4y + 5 = 0$$ beträgt $$m = \frac{3}{4}$$.
Visible text: Die Steigung der Geraden beträgt .
Tangentengleichung mit Steigung $$m = \frac{3}{4}$$:
Visible text: Tangentengleichung mit Steigung :
Component: MathContainer
Children:
```math
y = mx \pm r\sqrt{1 + m^2}
```
```math
y = \frac{3}{4}x \pm 4\sqrt{1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2}
```
```math
y = \frac{3}{4}x \pm 4\sqrt{1 + \frac{9}{16}}
```
```math
y = \frac{3}{4}x \pm 4\sqrt{\frac{25}{16}}
```
```math
y = \frac{3}{4}x \pm 4 \cdot \frac{5}{4}
```
```math
y = \frac{3}{4}x \pm 5
```
Daher lauten die Gleichungen der Tangenten:
- $$y = \frac{3}{4}x + 5$$ oder $$3x - 4y + 20 = 0$$
- $$y = \frac{3}{4}x - 5$$ oder $$3x - 4y - 20 = 0$$
Visible text: - oder
- oder
### Tangentenlänge von einem äußeren Punkt berechnen
Bestimmen Sie die Länge der Tangente vom Punkt $$P(7, 1)$$ zum Kreis $$x^2 + y^2 = 25$$.
Visible text: Bestimmen Sie die Länge der Tangente vom Punkt zum Kreis .
**Lösung:**
Kreismittelpunkt $$O(0, 0)$$ und Radius $$r = 5$$.
Visible text: Kreismittelpunkt und Radius .
Component: MathContainer
Children:
```math
PT = \sqrt{(x_1 - a)^2 + (y_1 - b)^2 - r^2}
```
```math
PT = \sqrt{(7 - 0)^2 + (1 - 0)^2 - 25}
```
```math
PT = \sqrt{49 + 1 - 25}
```
```math
PT = \sqrt{25}
```
```math
PT = 5
```
## Übungsaufgaben
1. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Kreis $$x^2 + y^2 = 36$$ im Punkt $$(-3, 3\sqrt{3})$$!
2. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Kreis $$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$$, die senkrecht zur Geraden $$2x + y - 5 = 0$$ steht!
3. Vom Punkt $$A(10, 0)$$ werden Tangenten zum Kreis $$x^2 + y^2 = 36$$ gezogen. Bestimmen Sie:
- Länge der Tangente
- Koordinaten von Tangentenpunkten
4. Zwei Kreise haben die Mittelpunkte $$O_1(-4, 0)$$ und $$O_2(4, 0)$$ sowie die Radien $$2$$ und $$3$$. Bestimmen Sie die Länge der äußeren gemeinsamen Tangente!
5. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Kreis $$x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$$, die durch den Punkt $$(8, -2)$$ verläuft!
Visible text: 1. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Kreis im Punkt !
2. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Kreis , die senkrecht zur Geraden steht!
3. Vom Punkt werden Tangenten zum Kreis gezogen. Bestimmen Sie:
- Länge der Tangente
- Koordinaten von Tangentenpunkten
4. Zwei Kreise haben die Mittelpunkte und sowie die Radien und . Bestimmen Sie die Länge der äußeren gemeinsamen Tangente!
5. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Kreis , die durch den Punkt verläuft!
### Ausführliche Lösungen
1. **Tangentengleichung an einem Punkt auf dem Kreis**
Punkt auf Kreis überprüfen:
```math
(-3)^2 + (3\sqrt{3})^2 = 9 + 27 = 36 \space \checkmark
```
Tangentengleichung:
```math
x_1 \cdot x + y_1 \cdot y = r^2
```
```math
-3x + 3\sqrt{3}y = 36
```
```math
-x + \sqrt{3}y = 12
```
```math
x - \sqrt{3}y + 12 = 0
```
2. **Tangente senkrecht zu einer vorgegebenen Geraden**
Die Steigung der Linie $$2x + y - 5 = 0$$ beträgt $$m_1 = -2$$.
Da die Geraden senkrecht zueinander stehen, gilt $$m_2 = \frac{1}{2}$$.
Tangentengleichung:
```math
y - b = m(x - a) \pm r\sqrt{1 + m^2}
```
```math
y + 3 = \frac{1}{2}(x - 2) \pm 5\sqrt{1 + \frac{1}{4}}
```
```math
y + 3 = \frac{1}{2}(x - 2) \pm 5 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2}
```
```math
y + 3 = \frac{1}{2}x - 1 \pm \frac{5\sqrt{5}}{2}
```
Daher: $$x - 2y - 8 \pm 5\sqrt{5} = 0$$
3. **Tangente von einem äußeren Punkt**
- Länge der Tangente:
```math
AT = \sqrt{10^2 + 0^2 - 36} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8
```
- Für die Berührpunkte sei $$T(x,y)$$ einer der beiden Punkte. Weil der Radius $$OT$$ senkrecht auf der Tangente $$AT$$ steht, ist das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren null:
```math
(A-T)\cdot T=0
```
```math
(10-x)x-y^2=0
```
```math
10x-(x^2+y^2)=0
```
```math
10x-36=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{18}{5}
```
```math
y=\pm\sqrt{36-\left(\frac{18}{5}\right)^2}=\pm\frac{24}{5}
```
Damit sind die Berührpunkte $$T_1\left(\frac{18}{5},\frac{24}{5}\right)$$ und $$T_2\left(\frac{18}{5},-\frac{24}{5}\right)$$.
4. **Äußere gemeinsame Tangente**
```math
d = \sqrt{(4-(-4))^2 + (0-0)^2} = 8
```
```math
l = \sqrt{d^2 - (r_2 - r_1)^2} = \sqrt{64 - 1} = \sqrt{63} = 3\sqrt{7}
```
5. **Tangente durch einen Punkt auf dem Kreis**
Kreis: $$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$$
Mittelpunkt $$(3, -2)$$, Radius $$r = 5$$
Prüfe, ob der Punkt $$(8, -2)$$ auf dem Kreis liegt:
```math
(8-3)^2 + (-2+2)^2 = 25 + 0 = 25
```
Die linke Seite ist $$r^2=25$$. Der Punkt liegt also auf dem Kreis, und die Tangentengleichung lautet:
```math
(8-3)(x-3) + (-2+2)(y+2) = 25
```
```math
5(x-3) + 0 = 25
```
```math
x - 3 = 5
```
```math
x = 8
```
Visible text: 1. **Tangentengleichung an einem Punkt auf dem Kreis**
Punkt auf Kreis überprüfen:
Tangentengleichung:
2. **Tangente senkrecht zu einer vorgegebenen Geraden**
Die Steigung der Linie beträgt .
Da die Geraden senkrecht zueinander stehen, gilt .
Tangentengleichung:
Daher:
3. **Tangente von einem äußeren Punkt**
- Länge der Tangente:
- Für die Berührpunkte sei einer der beiden Punkte. Weil der Radius senkrecht auf der Tangente steht, ist das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren null:
Damit sind die Berührpunkte und .
4. **Äußere gemeinsame Tangente**
5. **Tangente durch einen Punkt auf dem Kreis**
Kreis:
Mittelpunkt , Radius
Prüfe, ob der Punkt auf dem Kreis liegt:
Die linke Seite ist . Der Punkt liegt also auf dem Kreis, und die Tangentengleichung lautet:
## Quellen
- [OpenStax Intermediate Algebra 2e: Distance and Midpoint Formulas; Circles](https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/11-1-distance-and-midpoint-formulas-circles)
- [Wolfram MathWorld: Circle-Circle Tangents](https://mathworld.wolfram.com/Circle-CircleTangents.html)
- [GeoGebra: Theorems about Tangents and Chords](https://www.geogebra.org/m/bvtxyfaj)