# Mittelpunktswinkel und Umfangswinkel

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URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/kreisgeometrie/mittelpunkt-und-umfangswinkel
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/circle/central-angle-and-inscribed-angle/de.mdx

Mittelpunktswinkel und Umfangswinkel im Kreis, ihr Zusammenhang, ein anschaulicher Beweis und vollständig gerechnete Beispiele.

---

## Definition des Mittelpunktswinkels

Ein Mittelpunktswinkel wird von zwei Radien gebildet und hat seinen Scheitelpunkt im Kreismittelpunkt. Seine Schenkel verbinden den Mittelpunkt mit zwei Punkten auf dem Kreis.

Component: LineEquation
Props:
- title: Mittelpunktswinkel
- description: Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt im Mittelpunkt des Kreises liegt.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: $$O$$, at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
{ text: $$A$$, at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$B$$, at: 1, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 46 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 1.2 * Math.cos(angle),
y: 1.2 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#0891b2",
showPoints: false,
labels: [{ text: $$\alpha$$, at: 22, offset: [0.3, 0.2, 0] }],
},
]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: , at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
{ text: , at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 46 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 1.2 * Math.cos(angle),
y: 1.2 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#0891b2",
showPoints: false,
labels: [{ text: , at: 22, offset: [0.3, 0.2, 0] }],
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false

In der Abbildung oben:

- Punkt $$O$$ ist der Mittelpunkt des Kreises
- $$OA$$ und $$OB$$ sind Radien des Kreises
- $$\angle AOB$$ ist der Mittelpunktswinkel
- Das Maß des Mittelpunktswinkels wird mit $$\alpha$$ bezeichnet

Visible text: - Punkt ist der Mittelpunkt des Kreises
- und sind Radien des Kreises
- ist der Mittelpunktswinkel
- Das Maß des Mittelpunktswinkels wird mit bezeichnet

## Definition des Umfangswinkels

Ein Umfangswinkel, auch Peripheriewinkel genannt, wird von zwei Sehnen gebildet und hat seinen Scheitelpunkt auf dem Kreis. Seine Schenkel verbinden den Scheitelpunkt mit zwei weiteren Punkten auf dem Kreis.

Component: LineEquation
Props:
- title: Umfangswinkel
- description: Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt auf dem Kreis liegt.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4), y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4), z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: $$A$$, at: 0, offset: [0.5, 0, 0] },
{ text: $$C$$, at: 1, offset: [-0.5, -0.3, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: 4 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4), y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4), z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$B$$, at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$O$$, at: 0, offset: [0, -0.5, 0] }],
},
]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4), y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4), z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: , at: 0, offset: [0.5, 0, 0] },
{ text: , at: 1, offset: [-0.5, -0.3, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: 4 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4), y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4), z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0, -0.5, 0] }],
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false

In der Abbildung oben:

- Der Punkt $$C$$ liegt auf dem Kreis
- $$CA$$ und $$CB$$ sind Sehnen
- $$\angle ACB$$ ist der Umfangswinkel
- Punkt $$O$$ ist der Mittelpunkt des Kreises

Visible text: - Der Punkt liegt auf dem Kreis
- und sind Sehnen
- ist der Umfangswinkel
- Punkt ist der Mittelpunkt des Kreises

## Zusammenhang zwischen Mittelpunktswinkel und Umfangswinkel

Stehen ein Mittelpunktswinkel und ein Umfangswinkel über demselben Bogen, sind ihre Winkelmaße fest miteinander verknüpft.

Component: LineEquation
Props:
- title: Mittelpunktswinkel und Umfangswinkel
- description: Mittelpunktswinkel und Umfangswinkel über demselben Bogen.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: $$O$$, at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
{ text: $$A$$, at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$B$$, at: 1, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4), y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4), z: 0 },
],
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$C$$, at: 1, offset: [-0.5, -0.3, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 4 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4), y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4), z: 0 },
],
color: "#0891b2",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 46 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#d97706", ... [truncated; 1555 chars]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: , at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
{ text: , at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4), y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4), z: 0 },
],
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 1, offset: [-0.5, -0.3, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 4 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4), y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4), z: 0 },
],
color: "#0891b2",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 46 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#d97706", ... [truncated; 1555 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false

### Satz über Mittelpunktswinkel und Umfangswinkel

```math
\text{Umfangswinkel} = \frac{1}{2} \times \text{Mittelpunktswinkel}
```

Wenn ein Mittelpunktswinkel und ein Umfangswinkel über demselben Bogen stehen, dann gilt:

- $$\text{Maß des Umfangswinkels} = \frac{1}{2} \times \text{Maß des Mittelpunktswinkels}$$
- $$\text{Maß des Mittelpunktswinkels} = 2 \times \text{Maß des Umfangswinkels}$$

Visible text: - 
-

## Beweis des Zusammenhangs

Für den Beweis ergänzen wir eine Hilfslinie. So lässt sich der Zusammenhang auf die Basiswinkel gleichschenkliger Dreiecke zurückführen.

Component: LineEquation
Props:
- title: Beweis mit Hilfslinien
- description: Konstruieren einer Hilfslinie aus $$C$$ durch{" "}
$$O$$ um die Beziehung zu beweisen.
  Visible text: Konstruieren einer Hilfslinie aus durch 
 um die Beziehung zu beweisen.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: $$O$$, at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
{ text: $$A$$, at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(Math.PI / 2), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 2), z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$B$$, at: 1, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4), y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4), z: 0 },
],
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$C$$, at: 1, offset: [-0.5, -0.3, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 4 * Math.cos(Math.PI / 2), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 2), z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4), y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4), z: 0 },
],
color: "#0891b2",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4), y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4), z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
],
colo ... [truncated; 1293 chars]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: , at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
{ text: , at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(Math.PI / 2), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 2), z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4), y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4), z: 0 },
],
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 1, offset: [-0.5, -0.3, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 4 * Math.cos(Math.PI / 2), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 2), z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4), y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4), z: 0 },
],
color: "#0891b2",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4), y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4), z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
],
colo ... [truncated; 1293 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false

**Beweisschritte:**

1. Zeichne die Gerade $$CD$$ durch den Kreismittelpunkt $$O$$.
2. Alle vier Strecken $$OA = OB = OC = OD$$ sind Radien und daher gleich lang.
3. Die Dreiecke $$AOC$$ und $$BOC$$ sind gleichschenklig.
4. Setze $$\angle ACO = x$$ und $$\angle BCO = y$$.
5. Wegen der gleich langen Schenkel gilt auch $$\angle CAO = x$$ und $$\angle CBO = y$$.
6. Der Außenwinkelsatz liefert $$\angle AOD = 2x$$ und $$\angle BOD = 2y$$.
7. Zusammengenommen folgt $$\angle AOB = 2x + 2y = 2(x + y) = 2 \times \angle ACB$$.

Visible text: 1. Zeichne die Gerade durch den Kreismittelpunkt .
2. Alle vier Strecken sind Radien und daher gleich lang.
3. Die Dreiecke und sind gleichschenklig.
4. Setze und .
5. Wegen der gleich langen Schenkel gilt auch und .
6. Der Außenwinkelsatz liefert und .
7. Zusammengenommen folgt .

Diese Konstruktion beweist die dargestellte Lage, in der $$C$$ auf dem $$AB$$ gegenüberliegenden Bogen liegt. Andere Lagen lassen sich in dieselben Fälle mit gleichschenkligen Dreiecken zerlegen. Entscheidend ist immer, dass die verglichenen Winkel über demselben Bogen liegen.

Visible text: Diese Konstruktion beweist die dargestellte Lage, in der auf dem gegenüberliegenden Bogen liegt. Andere Lagen lassen sich in dieselben Fälle mit gleichschenkligen Dreiecken zerlegen. Entscheidend ist immer, dass die verglichenen Winkel über demselben Bogen liegen.

## Eigenschaften beider Winkelarten

1. **Umfangswinkel über einem Durchmesser**

   Jeder Umfangswinkel über einem Durchmesser misst $$90^\circ$$ und ist damit ein rechter Winkel.

   <LineEquation
     title="Umfangswinkel über einem Durchmesser"
     description={<>Ein Umfangswinkel über einem Durchmesser beträgt immer $$90^\circ$$.</>}
     data={[
       {
         points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
           const angle = (i * Math.PI) / 180;
           return {
             x: 4 * Math.cos(angle),
             y: 4 * Math.sin(angle),
             z: 0,
           };
         }),
         color: "#9333ea",
         showPoints: false,
       },
       {
         points: [
           { x: -4, y: 0, z: 0 },
           { x: 4, y: 0, z: 0 },
         ],
         color: "#ea580c",
         showPoints: true,
         labels: [
           { text: $$A$$, at: 0, offset: [-0.5, 0, 0] },
           { text: $$B$$, at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
         ],
       },
       {
         points: [
           { x: -4, y: 0, z: 0 },
           { x: 0, y: 4, z: 0 },
         ],
         color: "#0891b2",
         showPoints: true,
         labels: [{ text: $$C$$, at: 1, offset: [0, 0.5, 0] }],
       },
       {
         points: [
           { x: 4, y: 0, z: 0 },
           { x: 0, y: 4, z: 0 },
         ],
         color: "#0891b2",
         showPoints: false,
       },
       {
         points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
         color: "#d97706",
         showPoints: true,
         labels: [{ text: $$O$$, at: 0, offset: [0, -0.5, 0] }],
       },
       {
         points: (() => {
           const C = { x: 0, y: 4 };
           const A = { x: -4, y: 0 };
           const B = { x: 4, y: 0 };

           // Winkel ACB am Punkt C berechnen (should be 90°)
           const angleCA = Math.atan2(A.y - C.y, A.x - C.x);
           const angleCB = Math.atan2(B.y - C.y, B.x - C.x);

           return Array.from({ length: 16 }, (_, i) => {
             const t = i / 15;
             const angle = angleCA + t * (angleCB - angleCA);
             return {
               x: C.x + 0.8 * Math.cos(angle),
               y: C.y + 0.8 * Math.sin(angle),
               z: 0,
             };
           });
         })(),
         color: "#db2777",
         showPoints: false,
         labels: [{ text: $$90^\circ$$, at: 7, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
       },
     ]}
     cameraPosition={[0, 0, 12]}
     showZAxis={false}
   />

2. **Umfangswinkel über demselben Bogen**

   $$\angle ACB = \angle ADB$$, denn beide Winkel stehen über
   demselben Bogen $$AB$$.

   <LineEquation
     title="Umfangswinkel über demselben Bogen"
     description="Umfangswinkel über demselben Bogen sind gleich groß."
     data={[
       {
         points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
           const angle = (i * Math.PI) / 180;
           return {
             x: 4 * Math.cos(angle),
             y: 4 * Math.sin(angle),
             z: 0,
           };
         }),
         color: "#9333ea",
         showPoints: false,
       },
       {
         points: [
           { x: 4, y: 0, z: 0 },
           { x: 4 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
         ],
         color: "#ea580c",
         showPoints: true,
         labels: [
           { text: $$A$$, at: 0, offset: [0.5, 0, 0] },
           { text: $$B$$, at: 1, offset: [0.3, 0.3, 0] },
         ],
       },
       {
         points: [
           { x: 4, y: 0, z: 0 },
           { x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4), y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4), z: 0 },
         ],
         color: "#0891b2",
         showPoints: true,
         labels: [{ text: $$C$$, at: 1, offset: [-0.5, -0.3, 0] }],
       },
       {
         points: [
           { x: 4 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
           { x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4), y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4), z: 0 },
         ],
         color: "#0891b2",
         showPoints: false,
       },
       {
         points: [
           { x: 4, y: 0, z: 0 },
           { x: 4 * Math.cos((3 * Math.PI) / 4), y: 4 * Math.sin((3 * Math.PI) / 4), z: 0 },
         ],
         color: "#0d9488",
         showPoints: true,
         labels: [{ text: $$D$$, at: 1, offset: [-0.5, 0.3, 0] }],
       },
       {
         points: [
           { x: 4 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
           { x: 4 * Math.cos((3 * Math.PI) / 4), y: 4 * Math.sin((3 * Math.PI) / 4), z: 0 },
         ],
         color: "#0d9488",
         showPoints: false,
       },
       {
         points: Array.from({ length: 46 }, (_, i) => {
           const angle = (i * Math.PI) / 180;
           return {
             x: 4 * Math.cos(angle),
             y: 4 * Math.sin(angle),
             z: 0,
           };
         }),
         color: "#d97706",
         showPoints: false,
         labels: [{ text: <>Bogen $$AB$$</>, at: 22, offset: [1.5, 0.5, 0] }],
       },
     ]}
     cameraPosition={[0, 0, 12]}
     showZAxis={false}
   />

Visible text: 1. **Umfangswinkel über einem Durchmesser**

 Jeder Umfangswinkel über einem Durchmesser misst und ist damit ein rechter Winkel.

 <LineEquation
 title="Umfangswinkel über einem Durchmesser"
 description={<>Ein Umfangswinkel über einem Durchmesser beträgt immer .</>}
 data={[
 {
 points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
 const angle = (i * Math.PI) / 180;
 return {
 x: 4 * Math.cos(angle),
 y: 4 * Math.sin(angle),
 z: 0,
 };
 }),
 color: "#9333ea",
 showPoints: false,
 },
 {
 points: [
 { x: -4, y: 0, z: 0 },
 { x: 4, y: 0, z: 0 },
 ],
 color: "#ea580c",
 showPoints: true,
 labels: [
 { text: , at: 0, offset: [-0.5, 0, 0] },
 { text: , at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
 ],
 },
 {
 points: [
 { x: -4, y: 0, z: 0 },
 { x: 0, y: 4, z: 0 },
 ],
 color: "#0891b2",
 showPoints: true,
 labels: [{ text: , at: 1, offset: [0, 0.5, 0] }],
 },
 {
 points: [
 { x: 4, y: 0, z: 0 },
 { x: 0, y: 4, z: 0 },
 ],
 color: "#0891b2",
 showPoints: false,
 },
 {
 points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
 color: "#d97706",
 showPoints: true,
 labels: [{ text: , at: 0, offset: [0, -0.5, 0] }],
 },
 {
 points: (() => {
 const C = { x: 0, y: 4 };
 const A = { x: -4, y: 0 };
 const B = { x: 4, y: 0 };

 // Winkel ACB am Punkt C berechnen (should be 90°)
 const angleCA = Math.atan2(A.y - C.y, A.x - C.x);
 const angleCB = Math.atan2(B.y - C.y, B.x - C.x);

 return Array.from({ length: 16 }, (_, i) => {
 const t = i / 15;
 const angle = angleCA + t * (angleCB - angleCA);
 return {
 x: C.x + 0.8 * Math.cos(angle),
 y: C.y + 0.8 * Math.sin(angle),
 z: 0,
 };
 });
 })(),
 color: "#db2777",
 showPoints: false,
 labels: [{ text: , at: 7, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
 },
 ]}
 cameraPosition={[0, 0, 12]}
 showZAxis={false}
 />

2. **Umfangswinkel über demselben Bogen**

 , denn beide Winkel stehen über
 demselben Bogen .

 <LineEquation
 title="Umfangswinkel über demselben Bogen"
 description="Umfangswinkel über demselben Bogen sind gleich groß."
 data={[
 {
 points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
 const angle = (i * Math.PI) / 180;
 return {
 x: 4 * Math.cos(angle),
 y: 4 * Math.sin(angle),
 z: 0,
 };
 }),
 color: "#9333ea",
 showPoints: false,
 },
 {
 points: [
 { x: 4, y: 0, z: 0 },
 { x: 4 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
 ],
 color: "#ea580c",
 showPoints: true,
 labels: [
 { text: , at: 0, offset: [0.5, 0, 0] },
 { text: , at: 1, offset: [0.3, 0.3, 0] },
 ],
 },
 {
 points: [
 { x: 4, y: 0, z: 0 },
 { x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4), y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4), z: 0 },
 ],
 color: "#0891b2",
 showPoints: true,
 labels: [{ text: , at: 1, offset: [-0.5, -0.3, 0] }],
 },
 {
 points: [
 { x: 4 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
 { x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4), y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4), z: 0 },
 ],
 color: "#0891b2",
 showPoints: false,
 },
 {
 points: [
 { x: 4, y: 0, z: 0 },
 { x: 4 * Math.cos((3 * Math.PI) / 4), y: 4 * Math.sin((3 * Math.PI) / 4), z: 0 },
 ],
 color: "#0d9488",
 showPoints: true,
 labels: [{ text: , at: 1, offset: [-0.5, 0.3, 0] }],
 },
 {
 points: [
 { x: 4 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
 { x: 4 * Math.cos((3 * Math.PI) / 4), y: 4 * Math.sin((3 * Math.PI) / 4), z: 0 },
 ],
 color: "#0d9488",
 showPoints: false,
 },
 {
 points: Array.from({ length: 46 }, (_, i) => {
 const angle = (i * Math.PI) / 180;
 return {
 x: 4 * Math.cos(angle),
 y: 4 * Math.sin(angle),
 z: 0,
 };
 }),
 color: "#d97706",
 showPoints: false,
 labels: [{ text: <>Bogen </>, at: 22, offset: [1.5, 0.5, 0] }],
 },
 ]}
 cameraPosition={[0, 0, 12]}
 showZAxis={false}
 />

## Umfangswinkel berechnen

Gegeben ist der Mittelpunktswinkel $$\angle AOB = 80^\circ$$. Gesucht ist der Umfangswinkel $$\angle ACB$$ über demselben Bogen.

Visible text: Gegeben ist der Mittelpunktswinkel . Gesucht ist der Umfangswinkel über demselben Bogen.

Component: LineEquation
Props:
- title: Visualisierung
- description: Aus dem Mittelpunktswinkel $$\angle AOB = 80^\circ$$ wird der Umfangswinkel $$\angle ACB$$ bestimmt.
  Visible text: Aus dem Mittelpunktswinkel wird der Umfangswinkel bestimmt.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: $$O$$, at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
{ text: $$A$$, at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos((80 * Math.PI) / 180), y: 4 * Math.sin((80 * Math.PI) / 180), z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$B$$, at: 1, offset: [0, 0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4), y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4), z: 0 },
],
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$C$$, at: 1, offset: [-0.5, -0.3, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 4 * Math.cos((80 * Math.PI) / 180), y: 4 * Math.sin((80 * Math.PI) / 180), z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4), y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4), z: 0 },
],
color: "#0891b2",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 18 }, (_, i) => {
const angle = ((i * 80) / 17) * Math.PI / 180;
return {
x: 1.2 * Math.cos(angle),
y: 1.2 ... [truncated; 1339 chars]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: , at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
{ text: , at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos((80 * Math.PI) / 180), y: 4 * Math.sin((80 * Math.PI) / 180), z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0, 0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4), y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4), z: 0 },
],
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 1, offset: [-0.5, -0.3, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 4 * Math.cos((80 * Math.PI) / 180), y: 4 * Math.sin((80 * Math.PI) / 180), z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4), y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4), z: 0 },
],
color: "#0891b2",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 18 }, (_, i) => {
const angle = ((i * 80) / 17) * Math.PI / 180;
return {
x: 1.2 * Math.cos(angle),
y: 1.2 ... [truncated; 1339 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false

**Lösung:**

Component: MathContainer
Children:

```math
\angle ACB = \frac{1}{2} \times \angle AOB
```

```math
\angle ACB = \frac{1}{2} \times 80^\circ
```

```math
\angle ACB = 40^\circ
```

## Mittelpunktswinkel berechnen

Gegeben ist der Umfangswinkel $$\angle ACB = 35^\circ$$. Gesucht ist der Mittelpunktswinkel $$\angle AOB$$ über demselben Bogen.

Visible text: Gegeben ist der Umfangswinkel . Gesucht ist der Mittelpunktswinkel über demselben Bogen.

**Lösung:**

Component: MathContainer
Children:

```math
\angle AOB = 2 \times \angle ACB
```

```math
\angle AOB = 2 \times 35^\circ
```

```math
\angle AOB = 70^\circ
```

## Übungsaufgaben

1. Wenn der Mittelpunktswinkel eines Kreises $$120^\circ$$ beträgt, wie groß ist der Umfangswinkel über demselben Bogen?

2. Der Umfangswinkel beträgt $$\angle ACB = 45^\circ$$. Bestimme den zugehörigen Mittelpunktswinkel $$\angle AOB$$ über demselben Bogen.

3. In einem Kreis steht der Umfangswinkel $$\angle PQR$$ über einem Durchmesser. Wie groß ist $$\angle PQR$$?

4. Zwei Umfangswinkel stehen über demselben Bogen. Einer misst $$25^\circ$$. Wie groß ist der andere?

Visible text: 1. Wenn der Mittelpunktswinkel eines Kreises beträgt, wie groß ist der Umfangswinkel über demselben Bogen?

2. Der Umfangswinkel beträgt . Bestimme den zugehörigen Mittelpunktswinkel über demselben Bogen.

3. In einem Kreis steht der Umfangswinkel über einem Durchmesser. Wie groß ist ?

4. Zwei Umfangswinkel stehen über demselben Bogen. Einer misst . Wie groß ist der andere?

### Ausführliche Lösungen

#### 1. Den Mittelpunktswinkel halbieren

Der Umfangswinkel steht über demselben Bogen wie der Mittelpunktswinkel. Deshalb ist er halb so groß: $$\frac{1}{2} \times 120^\circ = 60^\circ$$.

Visible text: Der Umfangswinkel steht über demselben Bogen wie der Mittelpunktswinkel. Deshalb ist er halb so groß: .

#### 2. Den Umfangswinkel verdoppeln

Der Mittelpunktswinkel und $$\angle ACB$$ liegen über dem Bogen $$AB$$. Der Mittelpunktswinkel ist doppelt so groß:

Visible text: Der Mittelpunktswinkel und liegen über dem Bogen . Der Mittelpunktswinkel ist doppelt so groß:

```math
\angle AOB=2\angle ACB=2(45^\circ)=90^\circ
```

#### 3. Einen Durchmesser erkennen

Ein Durchmesser begrenzt einen Halbkreis mit dem Mittelpunktswinkel $$180^\circ$$. Der Umfangswinkel ist halb so groß, daher gilt $$\angle PQR = 90^\circ$$.

Visible text: Ein Durchmesser begrenzt einen Halbkreis mit dem Mittelpunktswinkel . Der Umfangswinkel ist halb so groß, daher gilt .

#### 4. Umfangswinkel über demselben Bogen vergleichen

Umfangswinkel über demselben Bogen sind gleich groß. Der andere Winkel misst ebenfalls $$25^\circ$$.

Visible text: Umfangswinkel über demselben Bogen sind gleich groß. Der andere Winkel misst ebenfalls .

## Quellen

- [Lehrerfortbildung Baden-Württemberg: Kreiswinkelsätze](https://lehrerfortbildung-bw.de/u_matnatech/imp/gym/bp2016/fb2/m03_geo/1_hintergrund/2_gang/m9geo01_unterrichtsverlauf.pdf)
- [OpenStax Precalculus 2e: Angles](https://openstax.org/books/precalculus-2e/pages/5-1-angles)
- [GeoGebra: Inscribed Angle Theorem](https://www.geogebra.org/m/nbepfdzb)