# Winkelsätze im Kreis
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URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/kreisgeometrie/winkelsaetze-am-kreis
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/circle/properties-of-angle-in-circle/de.mdx
Winkelsätze im Kreis mit anschaulichen Begründungen: Umfangswinkel, Satz des Thales und Sehnenvierecke.
---
## Umfangswinkel über demselben Bogen
Umfangswinkel über demselben Bogen sind gleich groß, wenn ihre Scheitelpunkte auf demselben verbleibenden Bogen liegen, also im selben Kreissegment.
Component: LineEquation
Props:
- title: Umfangswinkel über demselben Bogen
- description: Umfangswinkel im selben Kreissegment über demselben Bogen sind gleich groß.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: $$A$$, at: 0, offset: [0.5, 0, 0] },
{ text: $$B$$, at: 1, offset: [0.3, 0.3, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
{
x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4),
y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4),
z: 0,
},
],
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$C$$, at: 1, offset: [-0.5, -0.3, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 4 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
{
x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4),
y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4),
z: 0,
},
],
color: "#0891b2",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
{
x: 4 * Math.cos((3 * Math.PI) / 4),
y: 4 * Math.sin((3 * Math.PI) / 4),
z: 0,
},
],
color: "#0d9488",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$D$$, at: 1, offset: [-0.5, 0.3, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 4 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
{
x: 4 * Math.cos((3 * Math ... [truncated; 1564 chars]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: , at: 0, offset: [0.5, 0, 0] },
{ text: , at: 1, offset: [0.3, 0.3, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
{
x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4),
y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4),
z: 0,
},
],
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 1, offset: [-0.5, -0.3, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 4 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
{
x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4),
y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4),
z: 0,
},
],
color: "#0891b2",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
{
x: 4 * Math.cos((3 * Math.PI) / 4),
y: 4 * Math.sin((3 * Math.PI) / 4),
z: 0,
},
],
color: "#0d9488",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 1, offset: [-0.5, 0.3, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 4 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
{
x: 4 * Math.cos((3 * Math ... [truncated; 1564 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false
**Eigenschaft:** $$\angle ACB = \angle ADB$$
Visible text: **Eigenschaft:**
Die Punkte $$C$$ und $$D$$ liegen auf derselben Seite der Sehne $$AB$$. Deshalb überspannen $$\angle ACB$$ und $$\angle ADB$$ denselben Bogen aus demselben Kreissegment und sind gleich groß.
Visible text: Die Punkte und liegen auf derselben Seite der Sehne . Deshalb überspannen und denselben Bogen aus demselben Kreissegment und sind gleich groß.
## Mittelpunktswinkel und Umfangswinkel
Der Mittelpunktswinkel ist doppelt so groß wie der Umfangswinkel über demselben Bogen.
Component: LineEquation
Props:
- title: Mittelpunktswinkel und Umfangswinkel
- description: Mittelpunktswinkel $$= 2 \times$$ Umfangswinkel für die
gleichen Bogen.
Visible text: Mittelpunktswinkel Umfangswinkel für die
gleichen Bogen.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: $$O$$, at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
{ text: $$A$$, at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$B$$, at: 1, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
{
x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4),
y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4),
z: 0,
},
],
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$C$$, at: 1, offset: [-0.5, -0.3, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 4 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
{
x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4),
y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4),
z: 0,
},
],
color: "#0891b2",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 16 }, (_, i) => {
const angle = (((i * 45) / 15) * Math.PI) / 180;
return {
x: 1.2 * Math.cos(angle),
y: 1.2 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
} ... [truncated; 1959 chars]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: , at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
{ text: , at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
{
x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4),
y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4),
z: 0,
},
],
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 1, offset: [-0.5, -0.3, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 4 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
{
x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4),
y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4),
z: 0,
},
],
color: "#0891b2",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 16 }, (_, i) => {
const angle = (((i * 45) / 15) * Math.PI) / 180;
return {
x: 1.2 * Math.cos(angle),
y: 1.2 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
} ... [truncated; 1959 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false
**Eigenschaft:** $$\angle AOB = 2 \times \angle ACB$$
Visible text: **Eigenschaft:**
## Umfangswinkel über einem Durchmesser
Jeder Umfangswinkel über einem Kreisdurchmesser ist ein rechter Winkel mit $$90^\circ$$.
Visible text: Jeder Umfangswinkel über einem Kreisdurchmesser ist ein rechter Winkel mit .
Component: LineEquation
Props:
- title: Umfangswinkel über einem Durchmesser
- description: Ein Umfangswinkel über einem Durchmesser beträgt immer $$90^\circ$$.
Visible text: Ein Umfangswinkel über einem Durchmesser beträgt immer .
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: -4, y: 0, z: 0 },
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: $$A$$, at: 0, offset: [-0.5, 0, 0] },
{ text: $$B$$, at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: -4, y: 0, z: 0 },
{ x: 0, y: 4, z: 0 },
],
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$C$$, at: 1, offset: [0, 0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
{ x: 0, y: 4, z: 0 },
],
color: "#0891b2",
showPoints: false,
},
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: "#d97706",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$O$$, at: 0, offset: [0, -0.5, 0] }],
},
{
points: (() => {
const C = { x: 0, y: 4 };
const A = { x: -4, y: 0 };
const B = { x: 4, y: 0 };
// Winkel ACB am Punkt C berechnen (should be 90°)
const angleCA = Math.atan2(A.y - C.y, A.x - C.x);
const angleCB = Math.atan2(B.y - C.y, B.x - C.x);
return Array.from({ length: 16 }, (_, i) => {
const t = i / 15;
const angle = angleCA + t * (angleCB - angleCA);
return {
x: C.x + 0.8 * Math.cos(angle),
y: C.y + 0.8 ... [truncated; 1725 chars]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: -4, y: 0, z: 0 },
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: , at: 0, offset: [-0.5, 0, 0] },
{ text: , at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: -4, y: 0, z: 0 },
{ x: 0, y: 4, z: 0 },
],
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0, 0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
{ x: 0, y: 4, z: 0 },
],
color: "#0891b2",
showPoints: false,
},
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: "#d97706",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0, -0.5, 0] }],
},
{
points: (() => {
const C = { x: 0, y: 4 };
const A = { x: -4, y: 0 };
const B = { x: 4, y: 0 };
// Winkel ACB am Punkt C berechnen (should be 90°)
const angleCA = Math.atan2(A.y - C.y, A.x - C.x);
const angleCB = Math.atan2(B.y - C.y, B.x - C.x);
return Array.from({ length: 16 }, (_, i) => {
const t = i / 15;
const angle = angleCA + t * (angleCB - angleCA);
return {
x: C.x + 0.8 * Math.cos(angle),
y: C.y + 0.8 ... [truncated; 1725 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false
**Eigenschaft:** Wenn $$AB$$ ein Durchmesser ist, dann $$\angle ACB = \angle ADB = 90^\circ$$
Visible text: **Eigenschaft:** Wenn ein Durchmesser ist, dann
Dieser Zusammenhang ist als **Satz des Thales** bekannt.
## Winkel im Sehnenviereck
Ein Sehnenviereck hat vier Eckpunkte auf einer Kreislinie. Je zwei gegenüberliegende Winkel ergänzen sich zu $$180^\circ$$.
Visible text: Ein Sehnenviereck hat vier Eckpunkte auf einer Kreislinie. Je zwei gegenüberliegende Winkel ergänzen sich zu .
Component: LineEquation
Props:
- title: Zyklisches Viereck
- description: Die Summe der entgegengesetzten Winkel ist $$180^\circ$$.
Visible text: Die Summe der entgegengesetzten Winkel ist .
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
{ x: 0, y: 4, z: 0 },
{ x: -4, y: 0, z: 0 },
{ x: 0, y: -4, z: 0 },
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
smooth: false,
showPoints: true,
labels: [
{ text: $$A$$, at: 0, offset: [0.5, 0, 0] },
{ text: $$B$$, at: 1, offset: [0, 0.5, 0] },
{ text: $$C$$, at: 2, offset: [-0.5, 0, 0] },
{ text: $$D$$, at: 3, offset: [0, -0.5, 0] },
],
},
{
points: Array.from({ length: 16 }, (_, i) => {
const angle = ((135 + (i * 90) / 15) * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 + 0.8 * Math.cos(angle),
y: 0.8 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#0891b2",
showPoints: false,
labels: [{ text: $$\alpha$$, at: 7, offset: [0.3, 0.2, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 16 }, (_, i) => {
const angle = ((-45 + (i * 90) / 15) * Math.PI) / 180;
return {
x: -4 + 0.8 * Math.cos(angle),
y: 0.8 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#db2777",
showPoints: false,
labels: [{ text: $$\gamma$$, at: 7, offset: [-0.3, -0.2, 0] }],
},
]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
{ x: 0, y: 4, z: 0 },
{ x: -4, y: 0, z: 0 },
{ x: 0, y: -4, z: 0 },
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
smooth: false,
showPoints: true,
labels: [
{ text: , at: 0, offset: [0.5, 0, 0] },
{ text: , at: 1, offset: [0, 0.5, 0] },
{ text: , at: 2, offset: [-0.5, 0, 0] },
{ text: , at: 3, offset: [0, -0.5, 0] },
],
},
{
points: Array.from({ length: 16 }, (_, i) => {
const angle = ((135 + (i * 90) / 15) * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 + 0.8 * Math.cos(angle),
y: 0.8 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#0891b2",
showPoints: false,
labels: [{ text: , at: 7, offset: [0.3, 0.2, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 16 }, (_, i) => {
const angle = ((-45 + (i * 90) / 15) * Math.PI) / 180;
return {
x: -4 + 0.8 * Math.cos(angle),
y: 0.8 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#db2777",
showPoints: false,
labels: [{ text: , at: 7, offset: [-0.3, -0.2, 0] }],
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false
**Eigenschaft:** $$\alpha + \gamma = 180^\circ$$ und $$\beta + \delta = 180^\circ$$
Visible text: **Eigenschaft:** und
## Außenwinkel und gegenüberliegender Innenwinkel
In einem Sehnenviereck ist ein Außenwinkel genauso groß wie der gegenüberliegende Innenwinkel.
Component: LineEquation
Props:
- title: Außenwinkel eines Sehnenvierecks
- description: Außenwinkel $$=$$ gegenüberliegender Innenwinkel.
Visible text: Außenwinkel gegenüberliegender Innenwinkel.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
{ x: 0, y: 4, z: 0 },
{ x: -4, y: 0, z: 0 },
{ x: 0, y: -4, z: 0 },
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
smooth: false,
showPoints: true,
labels: [
{ text: $$A$$, at: 0, offset: [0.5, 0, 0] },
{ text: $$B$$, at: 1, offset: [0, 0.5, 0] },
{ text: $$C$$, at: 2, offset: [-0.5, 0, 0] },
{ text: $$D$$, at: 3, offset: [0, -0.5, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
{ x: 6, y: -2, z: 0 },
],
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$E$$, at: 1, offset: [0.5, 0, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 16 }, (_, i) => {
const angle = ((225 + (i * 90) / 15) * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 + 0.8 * Math.cos(angle),
y: 0 + 0.8 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#db2777",
showPoints: false,
labels: [{ text: $$\angle DAE$$, at: 7, offset: [0.8, -0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 16 }, (_, i) => {
const angle = ((-45 + (i * 90) / 15) * Math.PI) / 180;
return {
x: -4 + 0.8 * Math.cos(angle),
y: 0 + 0.8 * Math.sin(angle),
z: 0, ... [truncated; 1316 chars]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
{ x: 0, y: 4, z: 0 },
{ x: -4, y: 0, z: 0 },
{ x: 0, y: -4, z: 0 },
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
smooth: false,
showPoints: true,
labels: [
{ text: , at: 0, offset: [0.5, 0, 0] },
{ text: , at: 1, offset: [0, 0.5, 0] },
{ text: , at: 2, offset: [-0.5, 0, 0] },
{ text: , at: 3, offset: [0, -0.5, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
{ x: 6, y: -2, z: 0 },
],
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0.5, 0, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 16 }, (_, i) => {
const angle = ((225 + (i * 90) / 15) * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 + 0.8 * Math.cos(angle),
y: 0 + 0.8 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#db2777",
showPoints: false,
labels: [{ text: , at: 7, offset: [0.8, -0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 16 }, (_, i) => {
const angle = ((-45 + (i * 90) / 15) * Math.PI) / 180;
return {
x: -4 + 0.8 * Math.cos(angle),
y: 0 + 0.8 * Math.sin(angle),
z: 0, ... [truncated; 1316 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false
**Eigenschaft:** $$\angle DAE = \angle BCD$$ (Außenwinkel bei $$A$$ entspricht Innenwinkel bei $$C$$)
Visible text: **Eigenschaft:** (Außenwinkel bei entspricht Innenwinkel bei )
## Winkelsätze anwenden
### Winkelmaße bestimmen
In einem Kreis mit Mittelpunkt $$O$$ beträgt der Mittelpunktswinkel $$\angle AOB = 100^\circ$$. Gesucht ist der Umfangswinkel $$\angle ACB$$ über demselben Bogen.
Visible text: In einem Kreis mit Mittelpunkt beträgt der Mittelpunktswinkel . Gesucht ist der Umfangswinkel über demselben Bogen.
**Lösung:**
Wir nutzen den Zusammenhang zwischen Mittelpunktswinkel und Umfangswinkel:
Component: MathContainer
Children:
```math
\angle ACB = \frac{1}{2} \times \angle AOB
```
```math
\angle ACB = \frac{1}{2} \times 100^\circ
```
```math
\angle ACB = 50^\circ
```
### Gegenüberliegende Winkel bestimmen
Im Sehnenviereck $$ABCD$$ ist $$\angle A = 75^\circ$$ gegeben. Bestimme $$\angle C$$.
Visible text: Im Sehnenviereck ist gegeben. Bestimme .
**Lösung:**
Wir nutzen die Winkelsumme im Sehnenviereck:
Component: MathContainer
Children:
```math
\angle A + \angle C = 180^\circ
```
```math
75^\circ + \angle C = 180^\circ
```
```math
\angle C = 180^\circ - 75^\circ
```
```math
\angle C = 105^\circ
```
### Satz des Thales anwenden
Der Punkt $$C$$ liegt auf einem Kreis mit dem Durchmesser $$AB$$. Bestimme $$\angle ACB$$.
Visible text: Der Punkt liegt auf einem Kreis mit dem Durchmesser . Bestimme .
**Lösung:**
Da $$AB$$ ein Durchmesser ist und $$C$$ auf dem Kreis liegt, gilt nach dem Satz des Thales:
Visible text: Da ein Durchmesser ist und auf dem Kreis liegt, gilt nach dem Satz des Thales:
```math
\angle ACB = 90^\circ
```
## Übungsaufgaben
1. In einem Kreis mit Mittelpunkt $$O$$ gehört zum Mittelpunktswinkel $$\angle AOB = 140^\circ$$ der kleine Bogen $$AB$$. Die Punkte $$C$$ und $$D$$ liegen auf dem großen Bogen $$AB$$. Bestimme:
- Das Winkelmaß $$\angle ACB$$
- Das Winkelmaß $$\angle ADB$$
2. Im Sehnenviereck $$PQRS$$ gilt:
```math
\angle P = 85^\circ
```
```math
\angle Q = 110^\circ
```
Bestimme $$\angle R$$ und $$\angle S$$.
3. Die Punkte $$A$$, $$B$$ und $$C$$ liegen auf einem Kreis. Dabei ist $$AB$$ ein Durchmesser und es gilt $$BC = AC$$. Bestimme $$\angle BAC$$.
4. Der Umfangswinkel beträgt $$\angle APB = 35^\circ$$. Bestimme den Mittelpunktswinkel $$\angle AOB$$ über demselben Bogen.
5. Im Sehnenviereck $$KLMN$$ beträgt der Außenwinkel bei $$K$$ $$65^\circ$$. Bestimme den Innenwinkel bei $$M$$.
Visible text: 1. In einem Kreis mit Mittelpunkt gehört zum Mittelpunktswinkel der kleine Bogen . Die Punkte und liegen auf dem großen Bogen . Bestimme:
- Das Winkelmaß
- Das Winkelmaß
2. Im Sehnenviereck gilt:
Bestimme und .
3. Die Punkte , und liegen auf einem Kreis. Dabei ist ein Durchmesser und es gilt . Bestimme .
4. Der Umfangswinkel beträgt . Bestimme den Mittelpunktswinkel über demselben Bogen.
5. Im Sehnenviereck beträgt der Außenwinkel bei . Bestimme den Innenwinkel bei .
### Ausführliche Lösungen
1. **Umfangswinkel über demselben Bogen bestimmen**
Der Mittelpunktswinkel $$\angle AOB = 140^\circ$$ und die Umfangswinkel stehen über demselben Bogen $$AB$$.}
data={[
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: $$O$$, at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
{ text: $$A$$, at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{
x: 4 * Math.cos((140 * Math.PI) / 180),
y: 4 * Math.sin((140 * Math.PI) / 180),
z: 0,
},
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$B$$, at: 1, offset: [-0.3, 0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
{
x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4),
y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4),
z: 0,
},
],
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$C$$, at: 1, offset: [-0.5, -0.3, 0] }],
},
{
points: [
{
x: 4 * Math.cos((140 * Math.PI) / 180),
y: 4 * Math.sin((140 * Math.PI) / 180),
z: 0,
},
{
x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4),
y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4),
z: 0,
},
],
color: "#0891b2",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
{
x: 4 * Math.cos((7 * Math.PI) / 4),
y: 4 * Math.sin((7 * Math.PI) / 4),
z: 0,
},
],
color: "#0d9488",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$D$$, at: 1, offset: [0.3, -0.5, 0] }],
},
{
points: [
{
x: 4 * Math.cos((140 * Math.PI) / 180),
y: 4 * Math.sin((140 * Math.PI) / 180),
z: 0,
},
{
x: 4 * Math.cos((7 * Math.PI) / 4),
y: 4 * Math.sin((7 * Math.PI) / 4),
z: 0,
},
],
color: "#0d9488",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 16 }, (_, i) => {
const angle = (((i * 140) / 15) * Math.PI) / 180;
return {
x: 1.2 * Math.cos(angle),
y: 1.2 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#db2777",
showPoints: false,
labels: [{ text: $$140^\circ$$, at: 7, offset: [0.3, 0.5, 0] }],
},
]}
cameraPosition={[0, 0, 12]}
showZAxis={false}
/>
**Lösung:**
Wir nutzen den Zusammenhang zwischen Mittelpunktswinkel und Umfangswinkel:
```math
\text{Umfangswinkel} = \frac{1}{2} \times \text{Mittelpunktswinkel}
```
```math
\angle ACB = \frac{1}{2} \times \angle AOB
```
```math
\angle ACB = \frac{1}{2} \times 140^\circ
```
```math
\angle ACB = 70^\circ
```
Da Umfangswinkel über demselben Bogen gleich groß sind:
```math
\angle ADB = \angle ACB = 70^\circ
```
2. **Winkel im Sehnenviereck bestimmen**
**Lösung:**
In einem Sehnenviereck gilt $$\text{Summe der entgegengesetzten Winkel} = 180^\circ$$
Für Winkel $$R$$ (entgegengesetzt zu $$P$$):
```math
\angle P + \angle R = 180^\circ
```
```math
85^\circ + \angle R = 180^\circ
```
```math
\angle R = 180^\circ - 85^\circ
```
```math
\angle R = 95^\circ
```
Für Winkel $$S$$ (entgegengesetzt zu $$Q$$):
```math
\angle Q + \angle S = 180^\circ
```
```math
110^\circ + \angle S = 180^\circ
```
```math
\angle S = 180^\circ - 110^\circ
```
```math
\angle S = 70^\circ
```
3. **Winkel im gleichschenkligen Dreieck mit Durchmesser bestimmen**
$$AB$$ ist ein Durchmesser,{" "}
$$BC = AC$$ (gleichschenkliges Dreieck).
}
data={[
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: -4, y: 0, z: 0 },
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: $$A$$, at: 0, offset: [-0.5, 0, 0] },
{ text: $$B$$, at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: -4, y: 0, z: 0 },
{ x: 0, y: 4, z: 0 },
],
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$C$$, at: 1, offset: [0, 0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
{ x: 0, y: 4, z: 0 },
],
color: "#0891b2",
showPoints: false,
},
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: "#d97706",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$O$$, at: 0, offset: [0, -0.5, 0] }],
},
{
points: (() => {
const C = { x: 0, y: 4 };
const A = { x: -4, y: 0 };
const B = { x: 4, y: 0 };
// Winkel ACB am Punkt C berechnen (should be 90°)
const angleCA = Math.atan2(A.y - C.y, A.x - C.x);
const angleCB = Math.atan2(B.y - C.y, B.x - C.x);
return Array.from({ length: 16 }, (_, i) => {
const t = i / 15;
const angle = angleCA + t * (angleCB - angleCA);
return {
x: C.x + 0.8 * Math.cos(angle),
y: C.y + 0.8 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
});
})(),
color: "#db2777",
showPoints: false,
labels: [{ text: $$90^\circ$$, at: 7, offset: [-0.3, -0.5, 0] }],
},
]}
cameraPosition={[0, 0, 12]}
showZAxis={false}
/>
**Lösung:**
Da $$AB$$ ein Durchmesser ist, gilt nach dem Satz von Thales:
```math
\angle ACB = 90^\circ
```
Da $$BC = AC$$ gilt, ist das Dreieck $$ABC$$ ein
rechtes gleichschenkliges Dreieck.
In einem rechtwinkligen gleichschenkligen Dreieck sind beide Grundwinkel gleich:
```math
\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ
```
```math
\angle BAC + \angle ABC + 90^\circ = 180^\circ
```
```math
\angle BAC + \angle ABC = 90^\circ
```
Da $$\angle BAC = \angle ABC$$ (Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks):
```math
2 \times \angle BAC = 90^\circ
```
```math
\angle BAC = 45^\circ
```
4. **Mittelpunktswinkel aus dem Umfangswinkel bestimmen**
**Lösung:**
Wir nutzen den Zusammenhang zwischen Mittelpunktswinkel und Umfangswinkel:
```math
\text{Mittelpunktswinkel} = 2 \times \text{Umfangswinkel}
```
```math
\angle AOB = 2 \times \angle APB
```
```math
\angle AOB = 2 \times 35^\circ
```
```math
\angle AOB = 70^\circ
```
5. **Innenwinkel aus dem Außenwinkel bestimmen**
**Lösung:**
In einem Sehnenviereck ist ein Außenwinkel genauso groß wie der gegenüberliegende Innenwinkel.
Wenn der Außenwinkel bei $$K$$ $$65^\circ$$ beträgt, dann:
```math
\angle M = 65^\circ
```
Das gilt, weil die Eckpunkte $$K$$ und $$M$$ im Sehnenviereck $$KLMN$$ einander gegenüberliegen.
Visible text: 1. **Umfangswinkel über demselben Bogen bestimmen**
Der Mittelpunktswinkel und die Umfangswinkel stehen über demselben Bogen .}
data={[
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: , at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
{ text: , at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{
x: 4 * Math.cos((140 * Math.PI) / 180),
y: 4 * Math.sin((140 * Math.PI) / 180),
z: 0,
},
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 1, offset: [-0.3, 0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
{
x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4),
y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4),
z: 0,
},
],
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 1, offset: [-0.5, -0.3, 0] }],
},
{
points: [
{
x: 4 * Math.cos((140 * Math.PI) / 180),
y: 4 * Math.sin((140 * Math.PI) / 180),
z: 0,
},
{
x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4),
y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4),
z: 0,
},
],
color: "#0891b2",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
{
x: 4 * Math.cos((7 * Math.PI) / 4),
y: 4 * Math.sin((7 * Math.PI) / 4),
z: 0,
},
],
color: "#0d9488",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0.3, -0.5, 0] }],
},
{
points: [
{
x: 4 * Math.cos((140 * Math.PI) / 180),
y: 4 * Math.sin((140 * Math.PI) / 180),
z: 0,
},
{
x: 4 * Math.cos((7 * Math.PI) / 4),
y: 4 * Math.sin((7 * Math.PI) / 4),
z: 0,
},
],
color: "#0d9488",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 16 }, (_, i) => {
const angle = (((i * 140) / 15) * Math.PI) / 180;
return {
x: 1.2 * Math.cos(angle),
y: 1.2 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#db2777",
showPoints: false,
labels: [{ text: , at: 7, offset: [0.3, 0.5, 0] }],
},
]}
cameraPosition={[0, 0, 12]}
showZAxis={false}
/>
**Lösung:**
Wir nutzen den Zusammenhang zwischen Mittelpunktswinkel und Umfangswinkel:
Da Umfangswinkel über demselben Bogen gleich groß sind:
2. **Winkel im Sehnenviereck bestimmen**
**Lösung:**
In einem Sehnenviereck gilt
Für Winkel (entgegengesetzt zu ):
Für Winkel (entgegengesetzt zu ):
3. **Winkel im gleichschenkligen Dreieck mit Durchmesser bestimmen**
ist ein Durchmesser,
(gleichschenkliges Dreieck).
}
data={[
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: -4, y: 0, z: 0 },
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: , at: 0, offset: [-0.5, 0, 0] },
{ text: , at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
],
},
{
points: [
{ x: -4, y: 0, z: 0 },
{ x: 0, y: 4, z: 0 },
],
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0, 0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
{ x: 0, y: 4, z: 0 },
],
color: "#0891b2",
showPoints: false,
},
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: "#d97706",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0, -0.5, 0] }],
},
{
points: (() => {
const C = { x: 0, y: 4 };
const A = { x: -4, y: 0 };
const B = { x: 4, y: 0 };
// Winkel ACB am Punkt C berechnen (should be 90°)
const angleCA = Math.atan2(A.y - C.y, A.x - C.x);
const angleCB = Math.atan2(B.y - C.y, B.x - C.x);
return Array.from({ length: 16 }, (_, i) => {
const t = i / 15;
const angle = angleCA + t * (angleCB - angleCA);
return {
x: C.x + 0.8 * Math.cos(angle),
y: C.y + 0.8 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
});
})(),
color: "#db2777",
showPoints: false,
labels: [{ text: , at: 7, offset: [-0.3, -0.5, 0] }],
},
]}
cameraPosition={[0, 0, 12]}
showZAxis={false}
/>
**Lösung:**
Da ein Durchmesser ist, gilt nach dem Satz von Thales:
Da gilt, ist das Dreieck ein
rechtes gleichschenkliges Dreieck.
In einem rechtwinkligen gleichschenkligen Dreieck sind beide Grundwinkel gleich:
Da (Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks):
4. **Mittelpunktswinkel aus dem Umfangswinkel bestimmen**
**Lösung:**
Wir nutzen den Zusammenhang zwischen Mittelpunktswinkel und Umfangswinkel:
5. **Innenwinkel aus dem Außenwinkel bestimmen**
**Lösung:**
In einem Sehnenviereck ist ein Außenwinkel genauso groß wie der gegenüberliegende Innenwinkel.
Wenn der Außenwinkel bei beträgt, dann:
Das gilt, weil die Eckpunkte und im Sehnenviereck einander gegenüberliegen.
## Quellen
- [Lehrerfortbildung Baden-Württemberg: Kreiswinkelsätze](https://lehrerfortbildung-bw.de/u_matnatech/imp/gym/bp2016/fb2/m03_geo/1_hintergrund/2_gang/m9geo01_unterrichtsverlauf.pdf)
- [GeoGebra: Inscribed Angle Theorem](https://www.geogebra.org/m/nbepfdzb)
- [OpenStax Precalculus 2e: Angles](https://openstax.org/books/precalculus-2e/pages/5-1-angles)