# Lineare Gleichungssysteme

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Löse lineare Gleichungssysteme durch Substitution und Elimination und deute ausgearbeitete Beispiele sowie grafische Modelle.

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## Lineare Gleichungssysteme verstehen

Ein Gesamtpreis kann durch verschiedene Warenkombinationen entstehen. Eine zweite Beziehung, etwa die Gesamtzahl der Waren, schränkt die Möglichkeiten ein. Ein lineares Gleichungssystem hält diese Beziehungen zusammen, sodass seine Lösung jede Gleichung gleichzeitig erfüllen muss.

### Was ist ein lineares Gleichungssystem?

Ein lineares Gleichungssystem ist eine Sammlung von zwei oder mehr linearen Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen. Jede lineare Gleichung hat die Form:

```math
a_1x_1 + a_2x_2 + \ldots + a_nx_n = b
```

Dabei sind $$a_1, a_2, \ldots, a_n$$ Koeffizienten, $$x_1, x_2, \ldots, x_n$$ Variablen und $$b$$ eine Konstante.

Visible text: Dabei sind Koeffizienten, Variablen und eine Konstante.

### Zweivariable lineare Gleichungssysteme

Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen besteht aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen (normalerweise $$x$$ und $$y$$). Die allgemeine Form ist:

Visible text: Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen besteht aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen (normalerweise und ). Die allgemeine Form ist:

```math
\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}
```

**Beispiel**:

```math
\begin{cases} 2x + 3y = 21 & \ldots (1) \\ x + y = 10 & \ldots (2) \end{cases}
```

Die Lösung dieses Systems ist das Wertepaar $$(x,y)$$, das beide Gleichungen erfüllt.

Visible text: Die Lösung dieses Systems ist das Wertepaar , das beide Gleichungen erfüllt.

### Dreivariable lineare Gleichungssysteme

Ein System kann beliebig viele Gleichungen enthalten. Um jedoch eindeutige Werte für $$x,y,z$$ zu bestimmen, müssen die Gleichungen drei unabhängige Bedingungen liefern. Eine übliche quadratische Form ist:

Visible text: Ein System kann beliebig viele Gleichungen enthalten. Um jedoch eindeutige Werte für zu bestimmen, müssen die Gleichungen drei unabhängige Bedingungen liefern. Eine übliche quadratische Form ist:

```math
\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \end{cases}
```

**Beispiel**:

```math
\begin{cases} x + 2y + 3z = 27 \\ x + y + z = 16 \\ x = 6 \end{cases}
```

## Lösen linearer Gleichungssysteme

### Substitutionsmethode

Bei der Substitutionsmethode wird eine Variable durch eine andere ersetzt. Lösen wir das folgende Beispiel:

```math
\begin{cases} 2x + 3y = 21 & \ldots (1) \\ x + y = 10 & \ldots (2) \end{cases}
```

**Schritt** $$1$$: Drücke eine Variable mithilfe der einfacheren Gleichung aus.

Visible text: **Schritt** : Drücke eine Variable mithilfe der einfacheren Gleichung aus.

Aus der Gleichung ($$2$$): $$x + y = 10$$ drücken wir $$x$$ durch $$y$$ aus:

Visible text: Aus der Gleichung (): drücken wir durch aus:

```math
x = 10 - y \ldots (3)
```

**Schritt** $$2$$: In die andere Gleichung einsetzen.

Visible text: **Schritt** : In die andere Gleichung einsetzen.

Gleichung ($$3$$) in Gleichung ($$1$$) einfügen:

Visible text: Gleichung () in Gleichung () einfügen:

```math
2(10 - y) + 3y = 21
```

**Schritt** $$3$$: Löse die entstandene Gleichung.

Visible text: **Schritt** : Löse die entstandene Gleichung.

Component: MathContainer
Children:

```math
20 - 2y + 3y = 21
```

```math
20 + y = 21
```

```math
y = 1 \ldots (4)
```

**Schritt** $$4$$: Rückwärtsersetzen, um die andere Variable zu finden.

Visible text: **Schritt** : Rückwärtsersetzen, um die andere Variable zu finden.

Setze den Wert $$y = 1$$ aus Gleichung ($$4$$) in Gleichung ($$3$$) ein:

Visible text: Setze den Wert aus Gleichung () in Gleichung () ein:

```math
x = 10 - y = 10 - 1 = 9
```

Daher ist die Lösung $$x = 9$$ und $$y = 1$$.

Visible text: Daher ist die Lösung und .

### Eliminationsmethode

Bei der Eliminierungsmethode wird eine Variable eliminiert. Lösen wir das gleiche Beispiel:

```math
\begin{cases} 2x + 3y = 21 & \ldots (1) \\ x + y = 10 & \ldots (2) \end{cases}
```

**Schritt** $$1$$: Gleiche die Koeffizienten einer Variablen an.

Visible text: **Schritt** : Gleiche die Koeffizienten einer Variablen an.

Multipliziere Gleichung ($$2$$) mit $$2$$, damit beide Gleichungen denselben Koeffizienten vor $$x$$ haben:

Visible text: Multipliziere Gleichung () mit , damit beide Gleichungen denselben Koeffizienten vor haben:

```math
\begin{cases} 2x + 3y = 21 & \ldots (1) \\ 2x + 2y = 20 & \ldots (3) \end{cases}
```

**Schritt** $$2$$: Eliminiere die Variable, indem du die Gleichungen subtrahierst.

Visible text: **Schritt** : Eliminiere die Variable, indem du die Gleichungen subtrahierst.

Component: MathContainer
Children:

```math
(1) - (3): (2x + 3y) - (2x + 2y) = 21 - 20
```

```math
y = 1 \ldots (4)
```

**Schritt** $$3$$: Bestimme mit dem Wert von $$y$$ nun $$x$$.

Visible text: **Schritt** : Bestimme mit dem Wert von nun .

Setze den Wert $$y = 1$$ aus Gleichung ($$4$$) in Gleichung ($$2$$) ein:

Visible text: Setze den Wert aus Gleichung () in Gleichung () ein:

Component: MathContainer
Children:

```math
x + 1 = 10
```

```math
x = 9
```

Daher ist die Lösung $$x = 9$$ und $$y = 1$$.

Visible text: Daher ist die Lösung und .

Probe:

- Gleichung ($$1$$): $$2(9) + 3(1) = 18 + 3 = 21$$ ✓
- Gleichung ($$2$$): $$9 + 1 = 10$$ ✓

Visible text: - Gleichung (): ✓
- Gleichung (): ✓

## Verständnis prüfen

Löse das System:

```math
\begin{cases} 3x+2y=16 \\ x-y=2 \end{cases}
```

### Ausführliche Lösung

Aus der zweiten Gleichung folgt $$x=y+2$$. Setze diesen Ausdruck in die erste Gleichung ein:

Visible text: Aus der zweiten Gleichung folgt . Setze diesen Ausdruck in die erste Gleichung ein:

Component: MathContainer
Children:

```math
3(y+2)+2y=16
```

```math
5y+6=16
```

```math
5y=10
```

```math
y=2
```

Setze das Ergebnis wieder in $$x=y+2$$ ein:

Visible text: Setze das Ergebnis wieder in ein:

```math
x=2+2=4
```

Beide Ausgangsgleichungen bestätigen das Ergebnis:

Component: MathContainer
Children:

```math
3(4)+2(2)=16
```

```math
4-2=2
```

Die Lösung ist also $$(x,y)=(4,2)$$.

Visible text: Die Lösung ist also .

## Anwendungen im Alltag

### Mathematische Modellierung

Mathematische Modellierung ist der Prozess der Umwandlung realer Probleme in mathematische Form. Für lineare Gleichungssysteme gilt:

1. Lege die gesuchten Größen als Variablen fest
2. Übersetze die gegebenen Beziehungen in Gleichungen
3. Prüfe, ob ein lineares Gleichungssystem entstanden ist
4. Löse das System mit einer geeigneten Methode
5. Deute die Lösung im Kontext der ursprünglichen Aufgabe

### Basketball-Punktzahl

Im Basketball gibt es drei Arten von Schüssen mit unterschiedlichen Punktwerten: Freiwürfe ($$1$$-Punkt), Zweipunktschüsse ($$2$$-Punkte) und Dreipunktschüsse ($$3$$-Punkte).

Visible text: Im Basketball gibt es drei Arten von Schüssen mit unterschiedlichen Punktwerten: Freiwürfe (-Punkt), Zweipunktschüsse (-Punkte) und Dreipunktschüsse (-Punkte).

Definieren wir:

- $$a$$ = Anzahl der $$1$$-Punkt-Schüsse
- $$b$$ = Anzahl der $$2$$-Punkt-Schüsse
- $$c$$ = Anzahl der $$3$$-Punkt-Schüsse

Visible text: - = Anzahl der -Punkt-Schüsse
- = Anzahl der -Punkt-Schüsse
- = Anzahl der -Punkt-Schüsse

Wenn Wijaya $$27$$ Punkte erzielte, insgesamt $$16$$ Schüsse machte, davon $$6$$ Freiwürfe, dann:

Visible text: Wenn Wijaya Punkte erzielte, insgesamt Schüsse machte, davon Freiwürfe, dann:

```math
\begin{cases} a + 2b + 3c = 27 & \text{(Gesamtpunktzahl)} \\ a + b + c = 16 & \text{(Gesamtschüsse)} \\ a = 6 & \text{(Freiwürfe)} \end{cases}
```

Setze $$a = 6$$ in die zweite Gleichung ein:

Visible text: Setze in die zweite Gleichung ein:

Component: MathContainer
Children:

```math
6 + b + c = 16
```

```math
b + c = 10
```

Setze den Wert auch in die erste Gleichung ein:

Component: MathContainer
Children:

```math
6 + 2b + 3c = 27
```

```math
2b + 3c = 21
```

Aus diesen beiden Gleichungen:

```math
\begin{cases} 2b + 3c = 21 \\ b + c = 10 \end{cases}
```

Durch Eliminierung oder Substitution erhalten wir $$b = 9$$ und $$c = 1$$.

Visible text: Durch Eliminierung oder Substitution erhalten wir und .

Daher machte Wijaya $$6$$ Freiwürfe, $$9$$ $$2$$-Punktwürfe und $$1$$ $$3$$-Punktwürfe.

Visible text: Daher machte Wijaya Freiwürfe, -Punktwürfe und -Punktwürfe.

## Lösungen interpretieren

Lineare Gleichungssysteme haben drei mögliche Lösungstypen:

1. **Genau eine Lösung**: Wenn sich die Linien in einem einzigen Punkt schneiden (oder sich Ebenen in einem einzigen Punkt schneiden)
2. **Keine Lösung**: Wenn die Linien parallel sind (oder Ebenen sich nicht schneiden)
3. **Unendlich viele Lösungen**: Wenn die Linien zusammenfallen (oder sich Ebenen entlang einer Linie oder Ebene schneiden)

In drei Dimensionen stellt eine lineare Gleichung eine Ebene dar. Zwei verschiedene, nicht parallele Ebenen schneiden sich in einer Geraden. Bei drei oder mehr Ebenen kann die gemeinsame Lösungsmenge ein Punkt, eine Gerade, eine Ebene oder leer sein.

### Visualisierung linearer Gleichungssysteme

Component: ContentStack
Children:
Component: LineEquation
Props:
- title: Lineares Gleichungssystem mit einer Lösung
- description: Zwei Geraden, die sich in einem Punkt schneiden.
- data: [
{
points: [
{ x: -3, y: 9, z: 0 },
{ x: 3, y: 5, z: 0 },
{ x: 9, y: 1, z: 0 },
],
labels: [{ text: $$2x+3y=21$$, offset: [-1, -1, 0] }],
color: "#ea580c",
},
{
points: [
{ x: -5, y: 15, z: 0 },
{ x: 5, y: 5, z: 0 },
{ x: 15, y: -5, z: 0 },
],
labels: [{ text: $$x+y=10$$, offset: [1, 1, 0] }],
color: "#9333ea",
},
]
  Visible text: [
{
points: [
{ x: -3, y: 9, z: 0 },
{ x: 3, y: 5, z: 0 },
{ x: 9, y: 1, z: 0 },
],
labels: [{ text: , offset: [-1, -1, 0] }],
color: "#ea580c",
},
{
points: [
{ x: -5, y: 15, z: 0 },
{ x: 5, y: 5, z: 0 },
{ x: 15, y: -5, z: 0 },
],
labels: [{ text: , offset: [1, 1, 0] }],
color: "#9333ea",
},
]

Component: LineEquation
Props:
- title: Lineares Gleichungssystem ohne Lösung
- description: Zwei parallele Linien (kein Schnittpunkt).
- data: [
{
points: [
{ x: -3, y: -4, z: 0 },
{ x: 1, y: 2, z: 0 },
{ x: 5, y: 8, z: 0 },
],
labels: [{ text: $$3x-2y=-1$$, offset: [-2, 0, 0] }],
color: "#db2777",
},
{
points: [
{ x: -3, y: -5, z: 0 },
{ x: 1, y: 1, z: 0 },
{ x: 5, y: 7, z: 0 },
],
labels: [{ text: $$6x-4y=2$$, offset: [2, 0, 0] }],
color: "#ca8a04",
},
]
  Visible text: [
{
points: [
{ x: -3, y: -4, z: 0 },
{ x: 1, y: 2, z: 0 },
{ x: 5, y: 8, z: 0 },
],
labels: [{ text: , offset: [-2, 0, 0] }],
color: "#db2777",
},
{
points: [
{ x: -3, y: -5, z: 0 },
{ x: 1, y: 1, z: 0 },
{ x: 5, y: 7, z: 0 },
],
labels: [{ text: , offset: [2, 0, 0] }],
color: "#ca8a04",
},
]

Component: LineEquation
Props:
- title: Lineares Gleichungssystem mit unendlich vielen Lösungen
- description: Zwei zusammenfallende Linien (identische Linien).
- data: [
{
points: [
{ x: -1, y: 1, z: 0 },
{ x: 2, y: -1, z: 0 },
{ x: 5, y: -3, z: 0 },
],
labels: [{ text: $$2x+3y=1$$, offset: [-2, -1, 0] }],
color: "#7c3aed",
},
{
points: [
{ x: -1, y: 1, z: 0 },
{ x: 2, y: -1, z: 0 },
{ x: 5, y: -3, z: 0 },
],
labels: [{ text: $$4x+6y=2$$, offset: [2, 1, 0] }],
color: "#0891b2",
},
]
  Visible text: [
{
points: [
{ x: -1, y: 1, z: 0 },
{ x: 2, y: -1, z: 0 },
{ x: 5, y: -3, z: 0 },
],
labels: [{ text: , offset: [-2, -1, 0] }],
colo ... [truncated; 2392 chars]