# Lineare Ungleichungssysteme > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/lineare-gleichungs-und-ungleichungssysteme/lineare-ungleichungssysteme Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/linear-equation-inequality/system-linear-inequality/de.mdx Lineare Ungleichungssysteme grafisch lösen, Nebenbedingungen modellieren und zulässige Bereiche in interaktiven Darstellungen lesen. --- ## Lineare Ungleichungssysteme verstehen Ein Plan kann gleichzeitig ein Budget einhalten und eine Mindestteilnehmerzahl erreichen müssen. Jede Bedingung schließt einen Teil der Möglichkeiten aus. Ein lineares Ungleichungssystem beschreibt die Entscheidungen, die alle Bedingungen zugleich erfüllen. ### Was ist ein lineares Ungleichungssystem? Ein lineares Ungleichungssystem ist eine Sammlung von zwei oder mehr linearen Ungleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen. Lineare Ungleichungen haben die Form: ```math a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n \leq b \text{oder} a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n \geq b ``` Dabei sind $$a_1, a_2, ..., a_n$$ die Koeffizienten, $$x_1, x_2, ..., x_n$$ die Variablen und $$b$$ eine Konstante. Als Ungleichheitszeichen kommen $$\leq, \geq, <, >$$ infrage. Visible text: Dabei sind die Koeffizienten, die Variablen und eine Konstante. Als Ungleichheitszeichen kommen infrage. Der grundlegende Unterschied liegt in der Beziehung zwischen den beiden Seiten: - Eine lineare Gleichung setzt zwei Ausdrücke gleich ($$=$$) - Eine lineare Ungleichung vergleicht zwei Ausdrücke ($$\leq, \geq, <, >$$) Visible text: - Eine lineare Gleichung setzt zwei Ausdrücke gleich () - Eine lineare Ungleichung vergleicht zwei Ausdrücke () ### Lineare Ungleichungssysteme mit zwei Variablen Ein lineares Ungleichungssystem mit zwei Variablen enthält mindestens zwei Ungleichungen in den Variablen $$x$$ und $$y$$: Visible text: Ein lineares Ungleichungssystem mit zwei Variablen enthält mindestens zwei Ungleichungen in den Variablen und : ```math \begin{cases} a_1x + b_1y \leq c_1 \\ a_2x + b_2y \leq c_2 \end{cases} ``` **Beispiel**: ```math \begin{cases} 2x + 5y < 10 \\ 6x + 2y > 10 \end{cases} ``` Die Lösung dieses Systems ist die Menge geordneter Paare $$(x,y)$$, die alle Ungleichungen gleichzeitig erfüllen. Visible text: Die Lösung dieses Systems ist die Menge geordneter Paare , die alle Ungleichungen gleichzeitig erfüllen. ## Lineare Ungleichungssysteme lösen Bei zwei Variablen lässt sich die Lösungsmenge grafisch in drei Schritten bestimmen. ### Grenzgeraden zeichnen Ersetze in jeder Ungleichung das Ungleichheitszeichen durch ein Gleichheitszeichen und zeichne die entstehende Grenzgerade. **Beispiel**: Zum System: ```math \begin{cases} 2x + 5y < 10 \\ 6x + 2y > 10 \end{cases} ``` Zeichne die Geraden: ```math \begin{cases} 2x + 5y = 10 \\ 6x + 2y = 10 \end{cases} ``` ### Die richtige Halbebene bestimmen Für jede Ungleichung wird eine Seite der Grenzgeraden ausgewählt: 1. Wähle einen Testpunkt, etwa den Ursprung $$(0,0)$$, sofern er nicht auf der Geraden liegt 2. Setze seine Koordinaten in die Ungleichung ein 3. Ist die Aussage wahr, gehört die Halbebene mit dem Testpunkt zur Lösung 4. Ist sie falsch, gehört die gegenüberliegende Halbebene zur Lösung Visible text: 1. Wähle einen Testpunkt, etwa den Ursprung , sofern er nicht auf der Geraden liegt 2. Setze seine Koordinaten in die Ungleichung ein 3. Ist die Aussage wahr, gehört die Halbebene mit dem Testpunkt zur Lösung 4. Ist sie falsch, gehört die gegenüberliegende Halbebene zur Lösung **Beispiel**: Prüfe für $$2x + 5y < 10$$ den Punkt $$(0, 0)$$: Visible text: Prüfe für den Punkt : ```math 2(0) + 5(0) = 0 < 10 ``` _(wahr)_ Die Lösung ist die Halbebene mit dem Punkt $$(0, 0)$$, also die Fläche unterhalb der Geraden $$2x + 5y = 10$$. Visible text: Die Lösung ist die Halbebene mit dem Punkt , also die Fläche unterhalb der Geraden . Prüfe für $$6x + 2y > 10$$ wieder den Punkt $$(0, 0)$$: Visible text: Prüfe für wieder den Punkt : ```math 6(0) + 2(0) = 0 > 10 ``` _(falsch)_ Diesmal gehört die Halbebene ohne den Punkt $$(0, 0)$$ zur Lösung. Sie liegt oberhalb der Geraden $$6x + 2y = 10$$. Visible text: Diesmal gehört die Halbebene ohne den Punkt zur Lösung. Sie liegt oberhalb der Geraden . ### Die Lösungsbereiche schneiden Die Lösung des Systems ist die Schnittmenge aller Halbebenen, also die Fläche, in der jede Bedingung gleichzeitig erfüllt ist. ### Grafische Darstellung Für die Darstellung gilt: - Bei $$\leq$$ oder $$\geq$$ wird die Grenzgerade durchgezogen, weil ihre Punkte zur Lösung gehören - Bei $$<$$ oder $$>$$ wird sie gestrichelt, weil ihre Punkte nicht zur Lösung gehören - Die passende Halbebene wird schattiert Visible text: - Bei oder wird die Grenzgerade durchgezogen, weil ihre Punkte zur Lösung gehören - Bei oder wird sie gestrichelt, weil ihre Punkte nicht zur Lösung gehören - Die passende Halbebene wird schattiert ## Verständnis prüfen Betrachte das System: ```math \begin{cases} x+y\leq6 \\ 2x-y\geq0 \end{cases} ``` Prüfe, ob $$(2,3)$$ und $$(1,5)$$ zur Lösungsmenge gehören. Visible text: Prüfe, ob und zur Lösungsmenge gehören. ### Ausführliche Lösung Setze $$(2,3)$$ in beide Ungleichungen ein: Visible text: Setze in beide Ungleichungen ein: Component: MathContainer Children: ```math 2+3=5\leq6 ``` ```math 2(2)-3=1\geq0 ``` Beide Aussagen sind wahr, also ist $$(2,3)$$ eine Lösung. Visible text: Beide Aussagen sind wahr, also ist eine Lösung. Prüfe nun $$(1,5)$$: Visible text: Prüfe nun : Component: MathContainer Children: ```math 1+5=6\leq6 ``` ```math 2(1)-5=-3\not\geq0 ``` Die zweite Aussage ist falsch, also ist $$(1,5)$$ keine Lösung. Die beiden Grenzgeraden schneiden sich in $$(2,4)$$, doch dieser Punkt ist nur ein Teil der Lösung. Die vollständige Lösung ist der gesamte Überlappungsbereich einschließlich beider durchgezogenen Grenzen. Visible text: Die zweite Aussage ist falsch, also ist keine Lösung. Die beiden Grenzgeraden schneiden sich in , doch dieser Punkt ist nur ein Teil der Lösung. Die vollständige Lösung ist der gesamte Überlappungsbereich einschließlich beider durchgezogenen Grenzen. ## Anwendungen im Alltag ### Mathematische Modellierung Lineare Ungleichungssysteme beschreiben die zulässigen Entscheidungen in Optimierungsproblemen, etwa bei: - Produktionsprobleme mit Ressourcenbeschränkungen - Budgetplanung mit Kostenbeschränkungen - Ernährungsplanung mit Kalorienrestriktionen Ein Optimierungsmodell benötigt außerdem ein Ziel, etwa minimale Kosten oder maximale Produktion. Die Ungleichungen allein legen fest, welche Entscheidungen zulässig sind. ### Aktivitätsplanung Kiki organisiert in ihrer Nachbarschaft eine Feier zum Unabhängigkeitstag. Aus dem Gemeinschaftsfonds stehen $$\text{Rp}500{.}000{,}00$$ zur Verfügung. Die Organisation von Wettbewerben kostet $$\text{Rp}20{.}000{,}00$$ pro Kind. Die Preise für die Gewinner sind für jede Wettbewerbsart mit $$\text{Rp}40{.}000{,}00$$ veranschlagt. Es wird erwartet, dass mehr als $$13$$ Kinder teilnehmen werden. Visible text: Kiki organisiert in ihrer Nachbarschaft eine Feier zum Unabhängigkeitstag. Aus dem Gemeinschaftsfonds stehen zur Verfügung. Die Organisation von Wettbewerben kostet pro Kind. Die Preise für die Gewinner sind für jede Wettbewerbsart mit veranschlagt. Es wird erwartet, dass mehr als Kinder teilnehmen werden. Definieren wir: - $$x$$ = Anzahl der Teilnehmer - $$y$$ = Anzahl der Wettbewerbe Visible text: - = Anzahl der Teilnehmer - = Anzahl der Wettbewerbe Das mathematische Modell ist: ```math \begin{cases} 20{.}000x + 40{.}000y \leq 500{.}000 \\ x > 13 \\ x,y \in \mathbb{Z}_{>0} \end{cases} ``` Wenn wir vereinfachen: ```math \begin{cases} 20x + 40y \leq 500 \\ x > 13 \\ x,y \in \mathbb{Z}_{>0} \end{cases} ``` Die Grafik zeigt den zusammenhängenden zulässigen Bereich. Da Teilnehmer und Wettbewerbe nur in ganzen Zahlen gezählt werden können, sind die gültigen Pläne genau die positiven ganzzahligen Punkte in diesem Bereich. ## Strategie für Sachaufgaben Gehe bei einer Sachaufgabe in dieser Reihenfolge vor: 1. Lege die Variablen und ihre Einheiten fest 2. Übersetze jede Bedingung in eine Ungleichung 3. Bestimme die gemeinsame Lösungsmenge grafisch 4. Prüfe zusätzliche Bedingungen wie Ganzzahligkeit und deute die Lösung im Ausgangskontext ## Gleichungssystem und Ungleichungssystem im Vergleich | Aspekt | Lineare Gleichungssysteme | Lineare Ungleichungssysteme | | ------------- | --------------------------------------------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------------ | | **Operationszeichen** | Verwendet Gleichheitszeichen ($$=$$) | Verwendet Ungleichheitszeichen ($$<, >, \leq, \geq$$) | | **Lösungsform** | Gemeinsame Punkte aller Gleichungen | Die gemeinsame zulässige Menge aller Ungleichungen | | **Grafische Darstellung** | Gemeinsame Punkte der Geraden | Schnitt der schattierten Halbebenen | | **Lösungsmethoden** | Substitution, Eliminierung, Determinanten | Grafik, Zulässigkeitsprüfung und lineare Optimierung bei vorhandener Zielfunktion | | **Anzahl der Lösungen** | Keine, eine oder unendlich viele | Leer, ein Punkt oder Randstück, oder ein Bereich mit unendlich vielen reellen Lösungen | | **Zeichnung** | Verwendet immer durchgezogene Linien | Durchgezogene Linien für $$\leq, \geq$$ und gestrichelte Linien für $$<, >$$ | Visible text: | Aspekt | Lineare Gleichungssysteme | Lineare Ungleichungssysteme | | ------------- | --------------------------------------------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------------ | | **Operationszeichen** | Verwendet Gleichheitszeichen () | Verwendet Ungleichheitszeichen () | | **Lösungsform** | Gemeinsame Punkte aller Gleichungen | Die gemeinsame zulässige Menge aller Ungleichungen | | **Grafische Darstellung** | Gemeinsame Punkte der Geraden | Schnitt der schattierten Halbebenen | | **Lösungsmethoden** | Substitution, Eliminierung, Determinanten | Grafik, Zulässigkeitsprüfung und lineare Optimierung bei vorhandener Zielfunktion | | **Anzahl der Lösungen** | Keine, eine oder unendlich viele | Leer, ein Punkt oder Randstück, oder ein Bereich mit unendlich vielen reellen Lösungen | | **Zeichnung** | Verwendet immer durchgezogene Linien | Durchgezogene Linien für und gestrichelte Linien für | ## Interaktive Visualisierung linearer Ungleichungssysteme Jede Ungleichung legt eine zulässige Halbebene fest. Bei mehreren Ungleichungen erfüllt nur der Schnitt dieser Halbebenen alle Bedingungen. Die interaktive Darstellung zeigt genau diese Überlagerung. ### Beispiel eines Ungleichheitssystems Betrachte das folgende System: ```math \begin{cases} x + y \leq 10 \\ 15x + 9y \geq 120 \end{cases} ``` Der blaue Bereich erfüllt $$x + y \leq 10$$. Er enthält alle Punkte unterhalb oder auf der Geraden $$x + y = 10$$. Visible text: Der blaue Bereich erfüllt . Er enthält alle Punkte unterhalb oder auf der Geraden . Der rote Bereich erfüllt $$15x + 9y \geq 120$$. Er enthält alle Punkte oberhalb oder auf der Geraden $$15x + 9y = 120$$. Visible text: Der rote Bereich erfüllt . Er enthält alle Punkte oberhalb oder auf der Geraden . Der violette Überlappungsbereich erfüllt beide Bedingungen und ist damit die Lösung des Systems. Component: Inequality Props: - title: Lineares Ungleichungssystem - description: Visualisierung des Systems der Ungleichungen{" "} $$x + y \leq 10$$ und{" "} $$15x + 9y \geq 120$$. Visible text: Visualisierung des Systems der Ungleichungen und . - data: [ { is2D: true, boundaryLine2D: [1, 1, -10], xRange: [-15, 15], yRange: [-15, 15], zRange: [-0.05, 0.05], color: "#0891b2", boundaryColor: "#2563eb", label: { text: $$x + y \le 10$$, position: [3, 3, 0.15], }, }, { is2D: true, boundaryLine2D: [-15, -9, 120], xRange: [-15, 15], yRange: [-15, 15], zRange: [-0.05, 0.05], color: "#e11d48", boundaryColor: "#dc2626", label: { text: $$15x + 9y \ge 120$$, position: [6, 8, 0.15], }, }, ] Visible text: [ { is2D: true, boundaryLine2D: [1, 1, -10], xRange: [-15, 15], yRange: [-15, 15], zRange: [-0.05, 0.05], color: "#0891b2", boundaryColor: "#2563eb", label: { text: , position: [3, 3, 0.15], }, }, { is2D: true, boundaryLine2D: [-15, -9, 120], xRange: [-15, 15], yRange: [-15, 15], zRange: [-0.05, 0.05], color: "#e11d48", boundaryColor: "#dc2626", label: { text: , position: [6, 8, 0.15], }, }, ] ### Die Visualisierung lesen Achte auf drei Elemente: 1. **Grenzlinien** zeigen die Gleichungen (z. B. $$x + y = 10$$ und $$15x + 9y = 120$$) 2. **Farbige Bereiche** zeigen die Lösung für jede Ungleichung 3. **Schnittbereich** (der Bereich, der alle Ungleichungen erfüllt) ist die Lösung des Ungleichheitssystems Visible text: 1. **Grenzlinien** zeigen die Gleichungen (z. B. und ) 2. **Farbige Bereiche** zeigen die Lösung für jede Ungleichung 3. **Schnittbereich** (der Bereich, der alle Ungleichungen erfüllt) ist die Lösung des Ungleichheitssystems Die beiden Grenzgeraden schneiden sich in $$(5,5)$$. Dieser Punkt ist ein Randpunkt der zulässigen Menge, nicht die gesamte Lösung. Visible text: Die beiden Grenzgeraden schneiden sich in . Dieser Punkt ist ein Randpunkt der zulässigen Menge, nicht die gesamte Lösung. Dasselbe Vorgehen lässt sich auf Sachaufgaben übertragen: Jede Bedingung erzeugt einen Bereich, und nur ihre Schnittmenge erfüllt alle Bedingungen gleichzeitig.