# Determinante einer Matrix > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/matrizen/determinante-einer-matrix Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/matrix/matrix-determinant/de.mdx Berechne Determinanten von 2-mal-2-Matrizen und löse lineare Gleichungssysteme mit der Cramerschen Regel Schritt für Schritt. --- ## Matrixdeterminanten verstehen Die Determinante ordnet jeder quadratischen Matrix genau eine Zahl zu. Sie zeigt unter anderem, ob die Matrix invertierbar ist, und hilft beim Lösen linearer Gleichungssysteme. ## Determinante einer 2-mal-2-Matrix Eine $$2 \times 2$$-Matrix besitzt zwei Zeilen und zwei Spalten. Betrachten wir die Matrix $$A$$: Visible text: Eine -Matrix besitzt zwei Zeilen und zwei Spalten. Betrachten wir die Matrix : ```math A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} ``` Die Determinante der Matrix $$A$$, geschrieben als $$\det(A)$$ oder $$|A|$$, ist das Produkt auf der Hauptdiagonalen minus das Produkt auf der anderen Diagonalen. Visible text: Die Determinante der Matrix , geschrieben als oder , ist das Produkt auf der Hauptdiagonalen minus das Produkt auf der anderen Diagonalen. Die Formel lautet: ```math \det(A) = |A| = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc ``` Senkrechte Striche wie in $$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$$ bezeichnen die Determinante. Eckige Klammern wie in $$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$$ bezeichnen dagegen die Matrix selbst. Visible text: Senkrechte Striche wie in bezeichnen die Determinante. Eckige Klammern wie in bezeichnen dagegen die Matrix selbst. ### Beispiel einer 2-mal-2-Determinante Gegeben ist die Matrix $$B$$: Visible text: Gegeben ist die Matrix : ```math B = \begin{bmatrix} -1 & 3 \\ -7 & -5 \end{bmatrix} ``` Für die Formel setzen wir $$a = -1$$, $$b = 3$$, $$c = -7$$ und $$d = -5$$ ein. Visible text: Für die Formel setzen wir , , und ein. Dann ist die Determinante der Matrix $$B$$: Visible text: Dann ist die Determinante der Matrix : Component: MathContainer Children: ```math \det(B) = (-1 \times -5) - (3 \times -7) ``` ```math \det(B) = 5 - (-21) ``` ```math \det(B) = 5 + 21 ``` ```math \det(B) = 26 ``` Die Determinante der Matrix $$B$$ ist also $$26$$. Visible text: Die Determinante der Matrix ist also . ## Lineare Gleichungssysteme mit Determinanten lösen Mit der Cramerschen Regel lassen sich lineare Gleichungssysteme mithilfe von Determinanten lösen. Betrachten wir das folgende System aus zwei linearen Gleichungen: Component: MathContainer Children: ```math a_{11}x + a_{12}y = b_1 ``` ```math a_{21}x + a_{22}y = b_2 ``` In diesem System sind $$x$$ und $$y$$ die Variablen, deren Werte wir finden wollen. Die Koeffizienten $$a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22}$$ und Konstanten $$b_1, b_2$$ sind bekannte Zahlen. Visible text: In diesem System sind und die Variablen, deren Werte wir finden wollen. Die Koeffizienten und Konstanten sind bekannte Zahlen. Dieses Gleichungssystem kann in eine Matrixmultiplikationsform umgewandelt werden: ```math \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix} ``` Der erste Schritt besteht darin, die Determinante der Koeffizientenmatrix zu berechnen, die wir $$D$$ nennen: Visible text: Der erste Schritt besteht darin, die Determinante der Koeffizientenmatrix zu berechnen, die wir nennen: ```math D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} ``` Ein System linearer Gleichungen hat genau dann eine eindeutige Lösung, wenn $$D \neq 0$$. Visible text: Ein System linearer Gleichungen hat genau dann eine eindeutige Lösung, wenn . Danach werden zwei weitere Determinanten benötigt: 1. $$D_x$$ ist die Determinante der Koeffizientenmatrix, in der die erste Spalte mit den Koeffizienten von $$x$$ durch die Konstantenspalte $$b_1, b_2$$ ersetzt wird: ```math D_x = \begin{vmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{vmatrix} = b_1a_{22} - a_{12}b_2 ``` 2. $$D_y$$ ist die Determinante der Koeffizientenmatrix, in der die zweite Spalte mit den Koeffizienten von $$y$$ durch die Konstantenspalte $$b_1, b_2$$ ersetzt wird: ```math D_y = \begin{vmatrix} a_{11} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{vmatrix} = a_{11}b_2 - b_1a_{21} ``` Visible text: 1. ist die Determinante der Koeffizientenmatrix, in der die erste Spalte mit den Koeffizienten von durch die Konstantenspalte ersetzt wird: 2. ist die Determinante der Koeffizientenmatrix, in der die zweite Spalte mit den Koeffizienten von durch die Konstantenspalte ersetzt wird: Nachdem wir die Werte von $$D$$, $$D_x$$ und $$D_y$$ erhalten haben, können wir die Werte von $$x$$ und $$y$$ mithilfe der Formeln ermitteln: Visible text: Nachdem wir die Werte von , und erhalten haben, können wir die Werte von und mithilfe der Formeln ermitteln: Component: MathContainer Children: ```math x = \frac{D_x}{D} ``` ```math y = \frac{D_y}{D} ``` Diese Formeln sind nur gültig, wenn $$D \neq 0$$. Visible text: Diese Formeln sind nur gültig, wenn . Für $$D=0$$ sind die Brüche der Cramerschen Regel nicht definiert. Daraus allein folgt noch nicht, ob das System keine oder unendlich viele Lösungen hat. Diese Fälle müssen durch Elimination oder Zeilenreduktion unterschieden werden. Visible text: Für sind die Brüche der Cramerschen Regel nicht definiert. Daraus allein folgt noch nicht, ob das System keine oder unendlich viele Lösungen hat. Diese Fälle müssen durch Elimination oder Zeilenreduktion unterschieden werden. ### Beispiel mit der Cramerschen Regel Gesucht ist die Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems: Component: MathContainer Children: ```math 2x - y = 7 ``` ```math x - 4y = 14 ``` Aus dem obigen System erhalten wir: $$a_{11} = 2$$, $$a_{12} = -1$$, $$b_1 = 7$$ Visible text: , , $$a_{21} = 1$$, $$a_{22} = -4$$, $$b_2 = 14$$ Visible text: , , **Schritt** $$1$$: Berechne die Determinante $$D$$. Visible text: **Schritt** : Berechne die Determinante . ```math D = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} = (2 \times -4) - (-1 \times 1) = -8 - (-1) = -8 + 1 = -7 ``` Da $$D = -7 \neq 0$$ gilt, besitzt das System genau eine Lösung. Visible text: Da gilt, besitzt das System genau eine Lösung. **Schritt** $$2$$: Berechne die Determinante $$D_x$$. Visible text: **Schritt** : Berechne die Determinante . ```math D_x = \begin{vmatrix} 7 & -1 \\ 14 & -4 \end{vmatrix} = (7 \times -4) - (-1 \times 14) = -28 - (-14) = -28 + 14 = -14 ``` **Schritt** $$3$$: Berechne die Determinante $$D_y$$. Visible text: **Schritt** : Berechne die Determinante . ```math D_y = \begin{vmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 14 \end{vmatrix} = (2 \times 14) - (7 \times 1) = 28 - 7 = 21 ``` **Schritt** $$4$$: Berechne $$x$$ und $$y$$. Visible text: **Schritt** : Berechne und . Component: MathContainer Children: ```math x = \frac{D_x}{D} = \frac{-14}{-7} = 2 ``` ```math y = \frac{D_y}{D} = \frac{21}{-7} = -3 ``` Die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems ist also $$x=2$$ und $$y=-3$$ oder kann als geordnetes Paar $$(2, -3)$$ geschrieben werden. Visible text: Die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems ist also und oder kann als geordnetes Paar geschrieben werden. ## Übungen 1. Gegeben sind die Matrix $$M = \begin{bmatrix} 9 & x \\ 8 & -7 \end{bmatrix}$$ und $$\det(M) = 9$$. Bestimme $$x$$. 2. Löse das folgende lineare Gleichungssystem: ```math \begin{cases} 2x - y = 8 \\ x + 3y = -10 \end{cases} ``` Visible text: 1. Gegeben sind die Matrix und . Bestimme . 2. Löse das folgende lineare Gleichungssystem: ### Ausführliche Lösungen 1. Für die Matrix $$M = \begin{bmatrix} 9 & x \\ 8 & -7 \end{bmatrix}$$ ist ihre Determinante: ```math \det(M) = (9 \times -7) - (x \times 8) = -63 - 8x ``` Mit $$\det(M) = 9$$ folgt: ```math -63 - 8x = 9 ``` ```math -8x = 9 + 63 ``` ```math -8x = 72 ``` ```math x = \frac{72}{-8} ``` ```math x = -9 ``` Der Wert von $$x$$ ist also $$-9$$. 2. System linearer Gleichungen: ```math 2x - y = 8 ``` ```math x + 3y = -10 ``` Wir ermitteln $$D, D_x,$$ und $$D_y$$. ```math D = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = (2 \times 3) - (-1 \times 1) = 6 - (-1) = 6 + 1 = 7 ``` ```math D_x = \begin{vmatrix} 8 & -1 \\ -10 & 3 \end{vmatrix} = (8 \times 3) - (-1 \times -10) = 24 - 10 = 14 ``` ```math D_y = \begin{vmatrix} 2 & 8 \\ 1 & -10 \end{vmatrix} = (2 \times -10) - (8 \times 1) = -20 - 8 = -28 ``` Dann sind die Werte von $$x$$ und $$y$$: ```math x = \frac{D_x}{D} = \frac{14}{7} = 2 ``` ```math y = \frac{D_y}{D} = \frac{-28}{7} = -4 ``` Die Lösung des linearen Gleichungssystems ist also $$x=2$$ und $$y=-4$$ oder das geordnete Paar $$(2, -4)$$. Visible text: 1. Für die Matrix ist ihre Determinante: Mit folgt: Der Wert von ist also . 2. System linearer Gleichungen: Wir ermitteln und . Dann sind die Werte von und : Die Lösung des linearen Gleichungssystems ist also und oder das geordnete Paar .