# Eigenschaften der Matrixdeterminante > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/matrizen/eigenschaften-von-determinanten Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/matrix/properties-determinant-matrix/de.mdx Untersuche anhand ausgearbeiteter Beispiele, wie sich Determinanten bei Matrixprodukten und Skalarmultiplikationen verhalten. --- ## Zwei wichtige Determinanteneigenschaften Wir betrachten die beiden Matrizen $$A$$ und $$B$$: Visible text: Wir betrachten die beiden Matrizen und : Component: MathContainer Children: ```math A = \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} ``` ```math B = \begin{bmatrix} 9 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} ``` ### Determinante des Produkts zweier Matrizen Zuerst vergleichen wir die Determinante des Matrixprodukts $$|AB|$$ mit dem Produkt der beiden Determinanten $$|A||B|$$. Visible text: Zuerst vergleichen wir die Determinante des Matrixprodukts mit dem Produkt der beiden Determinanten . **Schritt $$1$$: Determinante der Matrix $$A$$ ($$|A|$$)** Visible text: **Schritt : Determinante der Matrix ()** Die Determinante der Matrix $$A$$ ist: Visible text: Die Determinante der Matrix ist: ```math |A| = (-5 \cdot -3) - (2 \cdot 1) = 15 - 2 = 13 ``` **Schritt $$2$$: Determinante der Matrix $$B$$ ($$|B|$$)** Visible text: **Schritt : Determinante der Matrix ()** Die Determinante der Matrix $$B$$ ist: Visible text: Die Determinante der Matrix ist: ```math |B| = (9 \cdot -1) - (-4 \cdot 1) = -9 - (-4) = -9 + 4 = -5 ``` **Schritt $$3$$: Matrixprodukt $$A$$ mal $$B$$ ($$AB$$)** Visible text: **Schritt : Matrixprodukt mal ()** Für die Matrix $$AB$$ multiplizieren wir die Matrix $$A$$ mit $$B$$: Visible text: Für die Matrix multiplizieren wir die Matrix mit : Component: MathContainer Children: ```math AB = \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 9 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} ``` ```math AB = \begin{bmatrix} (-5)(9) + (2)(1) & (-5)(-4) + (2)(-1) \\ (1)(9) + (-3)(1) & (1)(-4) + (-3)(-1) \end{bmatrix} ``` ```math AB = \begin{bmatrix} -45 + 2 & 20 - 2 \\ 9 - 3 & -4 + 3 \end{bmatrix} ``` ```math AB = \begin{bmatrix} -43 & 18 \\ 6 & -1 \end{bmatrix} ``` **Schritt $$4$$: Determinante der Matrix $$AB$$ ($$|AB|$$)** Visible text: **Schritt : Determinante der Matrix ()** Berechnen wir nun die Determinante der Produktmatrix $$AB$$: Visible text: Berechnen wir nun die Determinante der Produktmatrix : ```math |AB| = (-43 \cdot -1) - (18 \cdot 6) = 43 - 108 = -65 ``` **Schritt $$5$$: Vergleich von $$|AB|$$ und $$|A||B|$$** Visible text: **Schritt : Vergleich von und ** Wir haben $$|A| = 13$$, $$|B| = -5$$ und $$|AB| = -65$$ erhalten. Visible text: Wir haben , und erhalten. Berechnen wir $$|A||B|$$: Visible text: Berechnen wir : ```math |A||B| = 13 \cdot (-5) = -65 ``` Beide Rechnungen liefern denselben Wert: $$|AB|$$ ist gleich $$|A||B|$$. Visible text: Beide Rechnungen liefern denselben Wert: ist gleich . **Formel für die Eigenschaft der Determinante des Matrixprodukts** Für zwei quadratische Matrizen $$A$$ und $$B$$ desselben Formats gilt: Die Determinante des Produkts von $$A$$ und $$B$$ ist gleich dem Produkt der einzelnen Determinanten. Visible text: Für zwei quadratische Matrizen und desselben Formats gilt: Die Determinante des Produkts von und ist gleich dem Produkt der einzelnen Determinanten. ```math |AB| = |A||B| ``` ### Determinante einer Matrix mit Skalarmultiplikation Als Nächstes untersuchen wir, wie sich die Determinante verändert, wenn jedes Matrixelement mit derselben Zahl multipliziert wird. Dazu verwenden wir erneut die Matrix $$A$$ und den Skalar $$k=2$$. Visible text: Dazu verwenden wir erneut die Matrix und den Skalar . ```math A = \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} ``` Wir wissen bereits, dass $$|A| = 13$$. Die Matrix $$A$$ hat das Format $$2 \times 2$$, also ist $$n=2$$. Visible text: Wir wissen bereits, dass . Die Matrix hat das Format , also ist . **Schritt $$1$$: Matrix $$kA$$ bestimmen** Visible text: **Schritt : Matrix bestimmen** Wir multiplizieren jedes Element der Matrix $$A$$ mit $$k=2$$: Visible text: Wir multiplizieren jedes Element der Matrix mit : ```math kA = 2A = 2\begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2(-5) & 2(2) \\ 2(1) & 2(-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -10 & 4 \\ 2 & -6 \end{bmatrix} ``` **Schritt $$2$$: Determinante der Matrix $$kA$$ ($$|kA|$$)** Visible text: **Schritt : Determinante der Matrix ()** Die Determinante der Matrix $$kA$$ ist: Visible text: Die Determinante der Matrix ist: ```math |kA| = (-10 \cdot -6) - (4 \cdot 2) = 60 - 8 = 52 ``` **Schritt $$3$$: Vergleich von $$|kA|$$ und $$k^n|A|$$** Visible text: **Schritt : Vergleich von und ** Wir haben $$|kA| = 52$$. Für die Vergleichsrechnung verwenden wir $$k=2$$, $$n=2$$ und $$|A|=13$$. Visible text: Wir haben . Für die Vergleichsrechnung verwenden wir , und . Berechnen wir $$k^n|A|$$: Visible text: Berechnen wir : ```math k^n|A| = 2^2 \cdot 13 = 4 \cdot 13 = 52 ``` Auch hier stimmen beide Werte überein: $$|kA|$$ ist gleich $$k^n|A|$$. Visible text: Auch hier stimmen beide Werte überein: ist gleich . **Formel für die Eigenschaft der Determinante der Skalarmultiplikation** Ist $$A$$ eine quadratische Matrix im Format $$n \times n$$ und $$k$$ ein Skalar, dann ist die Determinante von $$kA$$ gleich $$k^n$$ mal der Determinante von $$A$$. Visible text: Ist eine quadratische Matrix im Format und ein Skalar, dann ist die Determinante von gleich mal der Determinante von . ```math |kA| = k^n |A| ``` Dabei ist $$n$$ die Anzahl der Zeilen beziehungsweise Spalten der quadratischen Matrix $$A$$. Visible text: Dabei ist die Anzahl der Zeilen beziehungsweise Spalten der quadratischen Matrix . ## Weitere Determinanteneigenschaften Die Produktregel und die Skalierung der gesamten Matrix gehören zu einer größeren Gruppe nützlicher Regeln. In der Tabelle ist $$A$$ quadratisch, und jede Zeilenoperation erzeugt eine neue Matrix $$B$$. Visible text: Die Produktregel und die Skalierung der gesamten Matrix gehören zu einer größeren Gruppe nützlicher Regeln. In der Tabelle ist quadratisch, und jede Zeilenoperation erzeugt eine neue Matrix . | Änderung oder Matrixform | Auswirkung auf die Determinante | | :-------------------------- | :------------------------------ | | Transponieren | $$\det(A^T)=\det(A)$$ | | Inverse, falls $$\det(A)\neq0$$ | $$\det(A^{-1})=1/\det(A)$$ | | Dreiecksmatrix $$U$$ | $$\det(U)=\prod_{i=1}^{n}u_{ii}$$ | | Zwei Zeilen vertauschen, $$R_i\leftrightarrow R_j$$ | $$\det(B)=-\det(A)$$ | | Eine Zeile mit $$k$$ multiplizieren | $$\det(B)=k\det(A)$$ | | Ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren, $$R_i\leftarrow R_i+kR_j$$ | $$\det(B)=\det(A)$$ | | Zwei gleiche Zeilen oder eine Nullzeile | $$\det(A)=0$$ | Visible text: | Änderung oder Matrixform | Auswirkung auf die Determinante | | :-------------------------- | :------------------------------ | | Transponieren | | | Inverse, falls | | | Dreiecksmatrix | | | Zwei Zeilen vertauschen, | | | Eine Zeile mit multiplizieren | | | Ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren, | | | Zwei gleiche Zeilen oder eine Nullzeile | | Die Skalierung einer Zeile darf nicht mit der Skalierung der gesamten Matrix verwechselt werden. Bei einer $$n\times n$$-Matrix skaliert $$kA$$ alle $$n$$ Zeilen mit $$k$$. Deshalb tritt der Faktor $$k$$ genau $$n$$-mal auf und ergibt $$k^n$$. Visible text: Die Skalierung einer Zeile darf nicht mit der Skalierung der gesamten Matrix verwechselt werden. Bei einer -Matrix skaliert alle Zeilen mit . Deshalb tritt der Faktor genau -mal auf und ergibt . ## Verständnis prüfen Ausgangspunkt ist: ```math A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix},\qquad \det(A)=-2 ``` Mit den Determinantenregeln lassen sich die Ergebnisse vor jeder vollständigen Entwicklung vorhersagen: Component: MathContainer Children: ```math B=\begin{bmatrix}3&4\\1&2\end{bmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\det(B)=2 ``` ```math C=\begin{bmatrix}5&10\\3&4\end{bmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\det(C)=5\det(A)=-10 ``` ```math D=\begin{bmatrix}1&2\\6&10\end{bmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\det(D)=\det(A)=-2 ``` Matrix $$B$$ vertauscht die Zeilen, Matrix $$C$$ multipliziert die erste Zeile mit $$5$$, und Matrix $$D$$ führt $$R_2\leftarrow R_2+3R_1$$ aus. Eine direkte Rechnung bestätigt alle drei Vorhersagen. Visible text: Matrix vertauscht die Zeilen, Matrix multipliziert die erste Zeile mit , und Matrix führt aus. Eine direkte Rechnung bestätigt alle drei Vorhersagen.