# Matrixgleichheit
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Die Gleichheit zweier Matrizen über ihr Format und ihre entsprechenden Elemente prüfen und unbekannte Einträge bestimmen.
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## Definition der Matrixgleichheit
Bei der Matrixgleichheit werden Aufbau und Inhalt zugleich verglichen. Gleiche Zahlen reichen nicht aus, wenn sie an verschiedenen Positionen stehen oder die Matrizen unterschiedliche Formate haben.
Die Matrizen $$A$$ und $$B$$ sind genau dann **gleich**, geschrieben $$A=B$$, wenn beide Bedingungen erfüllt sind:
Visible text: Die Matrizen und sind genau dann **gleich**, geschrieben , wenn beide Bedingungen erfüllt sind:
1. **Gleiches Format**: Matrix $$A$$ und Matrix $$B$$ müssen gleich viele Zeilen und Spalten haben. Hat $$A$$ das Format $$m \times n$$, dann muss auch $$B$$ das Format $$m \times n$$ haben.
2. **Entsprechende Elemente sind gleich**: Jedes entsprechende Element (an derselben Zeilen- und Spaltenposition) in der Matrix $$A$$ und der Matrix $$B$$ muss den gleichen Wert haben. Wenn $$A = [a_{ij}]$$ und $$B = [b_{ij}]$$, dann $$a_{ij} = b_{ij}$$ für alle Werte von $$i$$ (Zeilenindex) und $$j$$ (Spaltenindex).
Visible text: 1. **Gleiches Format**: Matrix und Matrix müssen gleich viele Zeilen und Spalten haben. Hat das Format , dann muss auch das Format haben.
2. **Entsprechende Elemente sind gleich**: Jedes entsprechende Element (an derselben Zeilen- und Spaltenposition) in der Matrix und der Matrix muss den gleichen Wert haben. Wenn und , dann für alle Werte von (Zeilenindex) und (Spaltenindex).
Wenn eine dieser beiden Bedingungen nicht erfüllt ist, ist die Matrix $$A$$ nicht gleich der Matrix $$B$$ (geschrieben als $$A \neq B$$).
Visible text: Wenn eine dieser beiden Bedingungen nicht erfüllt ist, ist die Matrix nicht gleich der Matrix (geschrieben als ).
## Beispiele für Matrixgleichheit
### Gleiche Matrizen
Gegeben sind zwei Matrizen:
```math
P = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \quad \text{und} \quad Q = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}
```
Matrix $$P$$ und Matrix $$Q$$ sind gleich ($$P=Q$$), weil:
Visible text: Matrix und Matrix sind gleich (), weil:
- Beide haben das Format $$2 \times 2$$.
- Entsprechende Elemente haben den gleichen Wert:
$$p_{11} = q_{11} = 1$$, $$p_{12} = q_{12} = 2$$
, $$p_{21} = q_{21} = 3$$, $$p_{22} = q_{22} = 4$$
.
Visible text: - Beide haben das Format .
- Entsprechende Elemente haben den gleichen Wert:
,
, ,
.
### Ungleiche Matrizen mit unterschiedlichem Format
Gegeben sind zwei Matrizen:
```math
R = \begin{bmatrix} 4 & -9 \\ 7 & 1 \end{bmatrix} \quad \text{und} \quad C = \begin{bmatrix} 4 & -9 \\ 7 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
```
Matrix $$R$$ ist nicht gleich Matrix $$C$$ ($$R \neq C$$), weil $$R$$ das Format $$2 \times 2$$ und $$C$$ das Format $$3 \times 2$$ hat.
Visible text: Matrix ist nicht gleich Matrix (), weil das Format und das Format hat.
### Ungleiche Matrizen (verschiedene korrespondierende Elemente)
Gegeben sind zwei Matrizen:
```math
S = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ -2 & 8 \end{bmatrix} \quad \text{und} \quad T = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 2 & 8 \end{bmatrix}
```
Obwohl $$S$$ und $$T$$ dasselbe Format $$2 \times 2$$ haben, sind sie nicht gleich ($$S \neq T$$). In Zeile $$2$$, Spalte $$1$$ gilt $$s_{21} = -2$$, aber $$t_{21} = 2$$.
Visible text: Obwohl und dasselbe Format haben, sind sie nicht gleich (). In Zeile , Spalte gilt , aber .
### Variablenwerte aus Matrixgleichheit ermitteln
Gegeben sind die Matrizen $$A = \begin{bmatrix} -x & 2 \\ -3y & z^2 \end{bmatrix}$$ und $$B = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 6 & 9 \end{bmatrix}$$.
Visible text: Gegeben sind die Matrizen und .
Wenn die Matrix $$A$$ gleich der Matrix $$B$$ ($$A=B$$) ist, bestimme die Werte von $$x$$, $$y$$ und $$z$$.
Visible text: Wenn die Matrix gleich der Matrix () ist, bestimme die Werte von , und .
**Lösung:**
Da $$A=B$$ müssen die entsprechenden Elemente gleich sein:
Visible text: Da müssen die entsprechenden Elemente gleich sein:
1. $$a_{11} = b_{11} \implies -x = -1 \implies x = 1$$
2. $$a_{12} = b_{12} \implies 2 = 2$$ (bereits gleich)
3. $$a_{21} = b_{21} \implies -3y = 6 \implies y = \frac{6}{-3} \implies y = -2$$
4. $$a_{22} = b_{22} \implies z^2 = 9 \implies z = \pm\sqrt{9} \implies z = 3 \text{oder} z = -3$$
Visible text: 1.
2. (bereits gleich)
3.
4.
Daher lauten die Werte $$x=1$$, $$y=-2$$ und $$z = \pm 3$$.
Visible text: Daher lauten die Werte , und .
## Übungen
Entscheide bei jeder Aussage, ob sie **wahr** oder **falsch** ist.
1. Das gleiche Format ist eine Bedingung, die zwei gleiche Matrizen erfüllen müssen.
2. Zwei ungleiche Matrizen haben immer unterschiedliche Formate.
3. Wenn die Matrix $$K = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$$ und die Matrix $$L = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$ gegeben sind, dann ist die Matrix $$K$$ gleich der Matrix $$L$$.
4. Gegeben sind die Matrizen $$P = \begin{bmatrix} 2x & 4 \\ -1 & y+3 \end{bmatrix}$$ und $$Q = \begin{bmatrix} -10 & 4 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$$. Wenn $$P=Q$$, bestimme die Werte von $$x$$ und $$y$$.
5. Matrix $$I$$ ist die Identitätsmatrix im Format $$2 \times 2$$, und $$A = \begin{bmatrix} -x-3y & 0 \\ (x-2y)^2 & 1 \end{bmatrix}$$. Wenn $$A = I$$, bestimme den Wert von $$x+y$$.
6. Berechne den Wert von $$a+b+c+d$$, der die folgende Matrixgleichung erfüllt:
```math
\begin{bmatrix} a+2b & 2a+b \\ c+d & 2c+d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -3 \\ 7 & 1 \end{bmatrix}
```
Visible text: 1. Das gleiche Format ist eine Bedingung, die zwei gleiche Matrizen erfüllen müssen.
2. Zwei ungleiche Matrizen haben immer unterschiedliche Formate.
3. Wenn die Matrix und die Matrix gegeben sind, dann ist die Matrix gleich der Matrix .
4. Gegeben sind die Matrizen und . Wenn , bestimme die Werte von und .
5. Matrix ist die Identitätsmatrix im Format , und . Wenn , bestimme den Wert von .
6. Berechne den Wert von , der die folgende Matrixgleichung erfüllt:
### Ausführliche Lösungen
1. **Wahr**. Gleiche Matrizen müssen dasselbe Format haben, auch wenn diese Bedingung allein noch nicht ausreicht.
2. **Falsch**. Zwei ungleiche Matrizen können dasselbe Format haben, sich aber in einem oder mehreren entsprechenden Einträgen unterscheiden, wie in Beispiel $$3$$.
3. **Falsch**. Matrix $$K$$ hat das Format $$2 \times 2$$, Matrix $$L$$ dagegen das Format $$3 \times 2$$. Matrizen mit unterschiedlichen Formaten können nicht gleich sein.
4. Gegeben $$P=Q$$:
```math
\begin{bmatrix} 2x & 4 \\ -1 & y+3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -10 & 4 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}
```
Aus der Gleichheit entsprechender Elemente:
- $$2x = -10 \implies x = -5$$
- $$y+3 = 2 \implies y = 2-3 \implies y = -1$$
Also $$x=-5$$ und $$y=-1$$.
5. Die Identitätsmatrix $$I$$ im Format $$2 \times 2$$ ist $$I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$.
Gegeben $$A=I$$:
```math
\begin{bmatrix} -x-3y & 0 \\ (x-2y)^2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
```
Aus der Gleichheit entsprechender Elemente erhalten wir ein Gleichungssystem:
1. $$-x-3y = 1$$ (Gleichung $$1$$)
2. $$(x-2y)^2 = 0$$ (Gleichung $$2$$)
Löse zuerst Gleichung $$2$$:
```math
(x-2y)^2 = 0
```
```math
x-2y = \sqrt{0}
```
```math
x-2y = 0
```
Setze Gleichung in Gleichung $$1$$ ein:
```math
-(2y)-3y = 1
```
```math
-2y-3y = 1
```
```math
-5y = 1
```
```math
y = -\frac{1}{5}
```
Setze $$y = -\frac{1}{5}$$ in Gleichung ein:
```math
x = 2\left(-\frac{1}{5}\right)
```
```math
x = -\frac{2}{5}
```
Dann ist der Wert von $$x+y$$:
```math
x+y = \left(-\frac{2}{5}\right) + \left(-\frac{1}{5}\right)
```
```math
= -\frac{2}{5} - \frac{1}{5}
```
```math
= \frac{-2-1}{5}
```
```math
= -\frac{3}{5}
```
6. Für die Matrixgleichung:
```math
\begin{bmatrix} a+2b & 2a+b \\ c+d & 2c+d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -3 \\ 7 & 1 \end{bmatrix}
```
Aus der Gleichheit entsprechender Elemente erhalten wir ein Gleichungssystem:
1. $$a+2b = 3$$
2. $$2a+b = -3$$
3. $$c+d = 7$$
4. $$2c+d = 1$$
Löse zunächst Gleichungen $$1$$ und $$2$$ nach $$a$$ und $$b$$ auf:
Ausgangsgleichungen:
```math
a+2b = 3 \quad \text{(1)}
```
```math
2a+b = -3 \quad \text{(2)}
```
Multipliziere Gleichung $$2$$ mit $$2$$, damit sich $$b$$ beim Subtrahieren aufhebt:
```math
2(2a+b) = 2(-3)
```
Subtrahiere Gleichung $$1$$ von Gleichung :
```math
(4a+2b) - (a+2b) = -6 - 3
```
```math
4a - a + 2b - 2b = -9
```
```math
3a = -9
```
```math
a = \frac{-9}{3}
```
```math
a = -3
```
Setze $$a=-3$$ in Gleichung $$1$$ ein:
```math
-3+2b=3
```
```math
2b=3+3
```
```math
2b=6
```
```math
b = \frac{6}{2}
```
```math
b = 3
```
Löse nun Gleichungen $$3$$ und $$4$$ nach $$c$$ und $$d$$ auf:
Ausgangsgleichungen:
```math
c+d = 7 \quad \text{(3)}
```
```math
2c+d = 1 \quad \text{(4)}
```
Subtrahiere Gleichung $$3$$ von Gleichung $$4$$, damit $$d$$ wegfällt:
```math
(2c+d) - (c+d) = 1 - 7
```
```math
2c - c + d - d = -6
```
```math
c = -6
```
Setze $$c=-6$$ in Gleichung $$3$$ ein:
```math
-6+d=7
```
```math
d=7+6
```
```math
d=13
```
Dann ist der Wert von $$a+b+c+d$$:
```math
a+b+c+d = (-3) + 3 + (-6) + 13
```
```math
= 0 - 6 + 13
```
```math
= 7
```
Visible text: 1. **Wahr**. Gleiche Matrizen müssen dasselbe Format haben, auch wenn diese Bedingung allein noch nicht ausreicht.
2. **Falsch**. Zwei ungleiche Matrizen können dasselbe Format haben, sich aber in einem oder mehreren entsprechenden Einträgen unterscheiden, wie in Beispiel .
3. **Falsch**. Matrix hat das Format , Matrix dagegen das Format . Matrizen mit unterschiedlichen Formaten können nicht gleich sein.
4. Gegeben :
Aus der Gleichheit entsprechender Elemente:
-
-
Also und .
5. Die Identitätsmatrix im Format ist .
Gegeben :
Aus der Gleichheit entsprechender Elemente erhalten wir ein Gleichungssystem:
1. (Gleichung )
2. (Gleichung )
Löse zuerst Gleichung :
Setze Gleichung in Gleichung ein:
Setze in Gleichung ein:
Dann ist der Wert von :
6. Für die Matrixgleichung:
Aus der Gleichheit entsprechender Elemente erhalten wir ein Gleichungssystem:
1.
2.
3.
4.
Löse zunächst Gleichungen und nach und auf:
Ausgangsgleichungen:
Multipliziere Gleichung mit , damit sich beim Subtrahieren aufhebt:
Subtrahiere Gleichung von Gleichung :
Setze in Gleichung ein:
Löse nun Gleichungen und nach und auf:
Ausgangsgleichungen:
Subtrahiere Gleichung von Gleichung , damit wegfällt:
Setze in Gleichung ein:
Dann ist der Wert von :