# Matrizen verstehen

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URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/matrizen/grundidee-von-matrizen
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Matrizen anhand von Zeilen, Spalten, Einträgen, Formaten und zwei vertrauten Datentabellen verstehen.

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## Was ist eine Matrix?

Tabellen ordnen Informationen häufig in Zeilen und Spalten. Eine Notenübersicht kann zum Beispiel für jede Person eine Zeile und für jedes Fach eine Spalte verwenden. Eine **Matrix** nutzt dieselbe rechteckige Anordnung, um Zahlen mathematisch zu verarbeiten.

Die Zahlen in einer Matrix heißen **Elemente** oder **Einträge**. Meist stehen sie zwischen runden Klammern $$()$$ oder eckigen Klammern $$[]$$. Ihre Position ist wichtig: Ein Wechsel der Zeile oder Spalte verändert die Bedeutung eines Eintrags.

Visible text: Die Zahlen in einer Matrix heißen **Elemente** oder **Einträge**. Meist stehen sie zwischen runden Klammern oder eckigen Klammern . Ihre Position ist wichtig: Ein Wechsel der Zeile oder Spalte verändert die Bedeutung eines Eintrags.

Betrachten wir die Mathematik- und Englischnoten von drei Personen:

| Name   | Mathematik | Englisch |
| :----- | :--------- | :------- |
| Aisyah | $$80$$ | $$75$$ |
| Alex   | $$70$$ | $$95$$ |
| Wayan  | $$95$$ | $$75$$ |

Visible text: | Name | Mathematik | Englisch |
| :----- | :--------- | :------- |
| Aisyah | | |
| Alex | | |
| Wayan | | |

Beschränken wir uns auf die Zahlen, erhalten wir die Matrix:

```math
A = \begin{bmatrix} 80 & 75 \\ 70 & 95 \\ 95 & 75 \end{bmatrix}
```

Dieselbe Matrix lässt sich auch mit runden Klammern schreiben:

```math
A = \begin{pmatrix} 80 & 75 \\ 70 & 95 \\ 95 & 75 \end{pmatrix}
```

Damit sind $$80, 75, 70, 95, 95, 75$$ die Elemente der Matrix $$A$$.

Visible text: Damit sind die Elemente der Matrix .

## Zeilen, Spalten und Elemente

Drei Begriffe beschreiben den Aufbau einer Matrix:

1.  Eine **Zeile** ist eine waagerechte Folge von Elementen.
2.  Eine **Spalte** ist eine senkrechte Folge von Elementen.
3.  Ein **Element** ist ein Eintrag an einer bestimmten Zeilen- und Spaltenposition.

Visible text: 1. Eine **Zeile** ist eine waagerechte Folge von Elementen.
2. Eine **Spalte** ist eine senkrechte Folge von Elementen.
3. Ein **Element** ist ein Eintrag an einer bestimmten Zeilen- und Spaltenposition.

Für die Matrix $$A$$ gilt:

Visible text: Für die Matrix gilt:

```math
A = \begin{bmatrix} 80 & 75 \\ 70 & 95 \\ 95 & 75 \end{bmatrix}
```

- **Zeile** $$1$$ ist $$[80 \ 75]$$
- **Zeile** $$2$$ ist $$[70 \ 95]$$
- **Zeile** $$3$$ ist $$[95 \ 75]$$

- **Spalte** $$1$$ ist $$\begin{bmatrix} 80 \\ 70 \\ 95 \end{bmatrix}$$
- **Spalte** $$2$$ ist $$\begin{bmatrix} 75 \\ 95 \\ 75 \end{bmatrix}$$

Visible text: - **Zeile** ist 
- **Zeile** ist 
- **Zeile** ist 

- **Spalte** ist 
- **Spalte** ist

Ein Element der Matrix $$A$$ wird als $$a_{ij}$$ geschrieben. Der erste Index $$i$$ gibt die Zeile an, der zweite Index $$j$$ die Spalte.

Visible text: Ein Element der Matrix wird als geschrieben. Der erste Index gibt die Zeile an, der zweite Index die Spalte.

```math
A=[a_{ij}]_{m\times n},\qquad 1\le i\le m,\qquad 1\le j\le n
```

Die Schreibweise zeigt zugleich den zulässigen Indexbereich: Der Zeilenindex darf $$m$$ und der Spaltenindex $$n$$ nicht überschreiten.

Visible text: Die Schreibweise zeigt zugleich den zulässigen Indexbereich: Der Zeilenindex darf und der Spaltenindex nicht überschreiten.

Für die Matrix oben bedeutet das:

- $$a_{11}$$ steht in Zeile $$1$$, Spalte $$1$$, also $$a_{11}=80$$.
- $$a_{12}$$ steht in Zeile $$1$$, Spalte $$2$$, also $$a_{12}=75$$.
- $$a_{21}$$ steht in Zeile $$2$$, Spalte $$1$$, also $$a_{21}=70$$.
- $$a_{22}$$ steht in Zeile $$2$$, Spalte $$2$$, also $$a_{22}=95$$.
- $$a_{31}$$ steht in Zeile $$3$$, Spalte $$1$$, also $$a_{31}=95$$.
- $$a_{32}$$ steht in Zeile $$3$$, Spalte $$2$$, also $$a_{32}=75$$.

Visible text: - steht in Zeile , Spalte , also .
- steht in Zeile , Spalte , also .
- steht in Zeile , Spalte , also .
- steht in Zeile , Spalte , also .
- steht in Zeile , Spalte , also .
- steht in Zeile , Spalte , also .

## Format einer Matrix

Das **Format** einer Matrix nennt zuerst die Anzahl der Zeilen und dann die Anzahl der Spalten. Eine Matrix mit $$m$$ Zeilen und $$n$$ Spalten hat das Format $$m \times n$$, gelesen als „$$m$$ mal $$n$$“.

Visible text: Das **Format** einer Matrix nennt zuerst die Anzahl der Zeilen und dann die Anzahl der Spalten. Eine Matrix mit Zeilen und Spalten hat das Format , gelesen als „ mal “.

Für die Matrix $$A$$ gilt:

Visible text: Für die Matrix gilt:

```math
A = \underbrace{\begin{bmatrix} 80 & 75 \\ 70 & 95 \\ 95 & 75 \end{bmatrix}}_{\text{2 Spalten}} \hspace{0{,}1em} \left. \vphantom{\begin{bmatrix} 80 \\ 70 \\ 95 \end{bmatrix}} \right\} \hspace{0{,}1em} \text{3 Zeilen}
```

Matrix $$A$$ hat $$3$$ Zeilen und $$2$$ Spalten. Ihr Format ist daher $$3 \times 2$$ und kann als $$A_{3 \times 2}$$ notiert werden.

Visible text: Matrix hat Zeilen und Spalten. Ihr Format ist daher und kann als notiert werden.

**Ein weiteres Beispiel:**

Eine Anwesenheitstabelle für ein Semester erfasse entschuldigte, krankheitsbedingte und unentschuldigte Fehltage:

| Name   | Entschuldigt | Krank | Unentschuldigt |
| :----- | :----------- | :---- | :-------------- |
| Aisyah | $$2$$ | $$1$$ | $$0$$ |
| Alex   | $$3$$ | $$1$$ | $$1$$ |
| Wayan  | $$1$$ | $$2$$ | $$1$$ |

Visible text: | Name | Entschuldigt | Krank | Unentschuldigt |
| :----- | :----------- | :---- | :-------------- |
| Aisyah | | | |
| Alex | | | |
| Wayan | | | |

Die Zahlen bilden die Matrix $$B$$:

Visible text: Die Zahlen bilden die Matrix :

```math
B = \underbrace{\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}}_{\text{3 Spalten}} \hspace{0{,}1em} \left. \vphantom{\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}} \right\} \hspace{0{,}1em} \text{3 Zeilen}
```

Matrix $$B$$ hat $$3$$ Zeilen und $$3$$ Spalten. Ihr Format ist also $$3 \times 3$$, geschrieben $$B_{3 \times 3}$$.

Visible text: Matrix hat Zeilen und Spalten. Ihr Format ist also , geschrieben .

Zum Beispiel:

- $$b_{11} = 2$$ ist das Element in Zeile $$1$$, Spalte $$1$$.
- $$b_{23} = 1$$ ist das Element in Zeile $$2$$, Spalte $$3$$.
- $$b_{32} = 2$$ ist das Element in Zeile $$3$$, Spalte $$2$$.

Visible text: - ist das Element in Zeile , Spalte .
- ist das Element in Zeile , Spalte .
- ist das Element in Zeile , Spalte .

## Allgemeine Matrixnotation

Eine Matrix $$A$$ mit $$m$$ Zeilen und $$n$$ Spalten lässt sich so schreiben:

Visible text: Eine Matrix mit Zeilen und Spalten lässt sich so schreiben:

```math
A_{m \times n} = \underbrace{\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix}}_{\text{n Spalten}} \hspace{0{,}1em} \left. \vphantom{\begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{bmatrix}} \right\} \hspace{0{,}1em} \text{m Zeilen}
```

Die Notation bedeutet:

- $$A_{m \times n}$$ ist die Matrix $$A$$ mit dem Format $$m \times n$$.
- $$m$$ ist die Anzahl der Zeilen.
- $$n$$ ist die Anzahl der Spalten.
- $$a_{ij}$$ ist das Element in Zeile $$i$$ und Spalte $$j$$.

Visible text: - ist die Matrix mit dem Format .
- ist die Anzahl der Zeilen.
- ist die Anzahl der Spalten.
- ist das Element in Zeile und Spalte .

Diese Zeilen- und Spaltenstruktur ist die Grundlage für Matrixtypen, Matrixoperationen, Transformationen sowie Anwendungen in Mathematik, Naturwissenschaften, Informatik und Wirtschaft.