# Inverse einer Matrix
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Berechne inverse 2-mal-2- und 3-mal-3-Matrizen mit Determinanten und adjugierten Matrizen und löse damit lineare Gleichungssysteme.
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## Die inverse Matrix verstehen
In der Menge der reellen Zahlen hat jede von Null verschiedene Zahl $$a$$ einen Kehrwert, nämlich die Zahl $$a^{-1}$$, die die Eigenschaft $$a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1$$ erfüllt. Ein ähnliches Konzept gilt für Matrizen.
Visible text: In der Menge der reellen Zahlen hat jede von Null verschiedene Zahl einen Kehrwert, nämlich die Zahl , die die Eigenschaft erfüllt. Ein ähnliches Konzept gilt für Matrizen.
Ist $$A$$ eine quadratische Matrix, zum Beispiel eine $$n \times n$$-Matrix, und $$I$$ die gleich große Einheitsmatrix, dann heißt $$A^{-1}$$ die Inverse von $$A$$, wenn folgende Gleichung gilt:
Visible text: Ist eine quadratische Matrix, zum Beispiel eine -Matrix, und die gleich große Einheitsmatrix, dann heißt die Inverse von , wenn folgende Gleichung gilt:
```math
A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I
```
Die Einheitsmatrix $$I$$ ist eine quadratische Matrix, deren Hauptdiagonale nur aus $$1$$ besteht und deren übrige Einträge $$0$$ sind. Für das Format $$2 \times 2$$ gilt zum Beispiel $$I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$.
Visible text: Die Einheitsmatrix ist eine quadratische Matrix, deren Hauptdiagonale nur aus besteht und deren übrige Einträge sind. Für das Format gilt zum Beispiel .
## Nichtsinguläre und singuläre Matrizen
Nicht jede quadratische Matrix besitzt eine Inverse. Eine Matrix $$A$$ ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich null ist, also $$\det(A) \neq 0$$ beziehungsweise $$|A| \neq 0$$ gilt.
Visible text: Nicht jede quadratische Matrix besitzt eine Inverse. Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich null ist, also beziehungsweise gilt.
- Eine Matrix $$A$$ heißt **nichtsingulär**, wenn $$\det(A) \neq 0$$ gilt. Sie besitzt dann eine Inverse.
- Eine Matrix $$A$$ heißt **singulär**, wenn $$\det(A) = 0$$ gilt. Sie besitzt dann keine Inverse.
Visible text: - Eine Matrix heißt **nichtsingulär**, wenn gilt. Sie besitzt dann eine Inverse.
- Eine Matrix heißt **singulär**, wenn gilt. Sie besitzt dann keine Inverse.
## Inverse einer 2-mal-2-Matrix
Für eine $$2 \times 2$$-Matrix $$A$$ sei:
Visible text: Für eine -Matrix sei:
```math
A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}
```
Wenn $$\det(A) \neq 0$$ gilt, lässt sich die Inverse von $$A$$ mit der folgenden Formel berechnen:
Visible text: Wenn gilt, lässt sich die Inverse von mit der folgenden Formel berechnen:
```math
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{Adj}(A)
```
Sehen wir uns die beiden Bestandteile der Formel an:
1. **Determinante der Matrix $$A$$ ($$\det(A)$$ oder $$|A|$$)**:
Berechnet als:
```math
|A| = ad - bc
```
2. **Adjugierte Matrix zu $$A$$ ($$\text{Adj}(A)$$)**:
Sie entsteht, indem man die beiden Hauptdiagonaleinträge vertauscht und die Vorzeichen der beiden übrigen Einträge wechselt:
```math
\text{Adj}(A) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}
```
Visible text: 1. **Determinante der Matrix ( oder )**:
Berechnet als:
2. **Adjugierte Matrix zu ()**:
Sie entsteht, indem man die beiden Hauptdiagonaleinträge vertauscht und die Vorzeichen der beiden übrigen Einträge wechselt:
Damit lautet die vollständige Formel für die Inverse einer $$2 \times 2$$-Matrix:
Visible text: Damit lautet die vollständige Formel für die Inverse einer -Matrix:
```math
A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}
```
### Beispiel für eine inverse 2-mal-2-Matrix
Bestimme die Inverse der Matrix $$P = \begin{bmatrix} 3 & -7 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$$.
Visible text: Bestimme die Inverse der Matrix .
**Lösung:**
Schritt $$1$$: Lies die Einträge der Matrix $$P$$ ab.
Visible text: Schritt : Lies die Einträge der Matrix ab.
$$a=3, b=-7, c=-1, d=2$$
Schritt $$2$$: Berechne die Determinante von $$P$$.
Visible text: Schritt : Berechne die Determinante von .
```math
\det(P) = (3)(2) - (-7)(-1) = 6 - 7 = -1
```
Da $$\det(P) \neq 0$$ gilt, ist $$P$$ invertierbar.
Visible text: Da gilt, ist invertierbar.
Schritt $$3$$: Bestimme die adjugierte Matrix zu $$P$$.
Visible text: Schritt : Bestimme die adjugierte Matrix zu .
```math
\text{Adj}(P) = \begin{bmatrix} 2 & -(-7) \\ -(-1) & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}
```
Schritt $$4$$: Berechne die Inverse von $$P$$.
Visible text: Schritt : Berechne die Inverse von .
Component: MathContainer
Children:
```math
P^{-1} = \frac{1}{\det(P)} \text{Adj}(P)
```
```math
P^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}
```
```math
P^{-1} = -1 \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}
```
```math
P^{-1} = \begin{bmatrix} -2 & -7 \\ -1 & -3 \end{bmatrix}
```
Damit ist $$P^{-1} = \begin{bmatrix} -2 & -7 \\ -1 & -3 \end{bmatrix}$$ die Inverse von $$P$$.
Visible text: Damit ist die Inverse von .
Wir prüfen das Ergebnis, statt uns nur auf die Formel zu verlassen:
```math
PP^{-1}=\begin{bmatrix}3&-7\\-1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-2&-7\\-1&-3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}=I_2
```
## Inverse einer 3-mal-3-Matrix
Für eine $$3 \times 3$$-Matrix gilt dasselbe Grundprinzip wie für eine $$2 \times 2$$-Matrix:
Visible text: Für eine -Matrix gilt dasselbe Grundprinzip wie für eine -Matrix:
```math
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{Adj}(A)
```
Allerdings sind die Determinante $$\det(A)$$ und die adjugierte Matrix $$\text{Adj}(A)$$ bei einer $$3 \times 3$$-Matrix aufwendiger zu berechnen.
Visible text: Allerdings sind die Determinante und die adjugierte Matrix bei einer -Matrix aufwendiger zu berechnen.
- **Die Determinante einer $$3 \times 3$$-Matrix** lässt sich mit der Regel von Sarrus oder einer Kofaktorentwicklung berechnen.
- **Die adjugierte Matrix einer $$3 \times 3$$-Matrix** ist die Transponierte ihrer Kofaktormatrix.
Visible text: - **Die Determinante einer -Matrix** lässt sich mit der Regel von Sarrus oder einer Kofaktorentwicklung berechnen.
- **Die adjugierte Matrix einer -Matrix** ist die Transponierte ihrer Kofaktormatrix.
Die Berechnung beider Größen für eine $$3 \times 3$$-Matrix umfasst mehr Schritte und wird deshalb in eigenen Lektionen ausführlicher behandelt.
Visible text: Die Berechnung beider Größen für eine -Matrix umfasst mehr Schritte und wird deshalb in eigenen Lektionen ausführlicher behandelt.
## Lineare Gleichungssysteme mit Inversen lösen
Eine wichtige Anwendung der Matrixinversen ist das Lösen linearer Gleichungssysteme. Ein solches System lässt sich in Matrixform schreiben als
```math
AX = B
```
Dabei ist $$A$$ die Koeffizientenmatrix, $$X$$ die Matrix der Unbekannten und $$B$$ die rechte Seite. Ist $$A$$ invertierbar, multiplizieren wir beide Seiten von links mit $$A^{-1}$$. Die Seite ist wichtig, weil die Matrixmultiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ ist:
Visible text: Dabei ist die Koeffizientenmatrix, die Matrix der Unbekannten und die rechte Seite. Ist invertierbar, multiplizieren wir beide Seiten von links mit . Die Seite ist wichtig, weil die Matrixmultiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ ist:
Component: MathContainer
Children:
```math
A^{-1}(AX)=A^{-1}B
```
```math
(A^{-1}A)X=A^{-1}B
```
```math
IX=A^{-1}B
```
```math
X=A^{-1}B
```
Das ist das Gegenstück zur Division bei Matrizen: Sobald $$A^{-1}$$ bekannt ist, lässt sich die unbekannte Matrix isolieren, ohne jede Gleichung einzeln zu lösen.
Visible text: Das ist das Gegenstück zur Division bei Matrizen: Sobald bekannt ist, lässt sich die unbekannte Matrix isolieren, ohne jede Gleichung einzeln zu lösen.
## Übungen
Gegeben sind die Matrizen $$X = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$$ und $$Y = \begin{bmatrix} -4 & 2 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}$$.
Visible text: Gegeben sind die Matrizen und .
1. Bestimme die Matrizen $$X^{-1}$$ und $$Y^{-1}$$.
2. Bestimme die Matrix $$X^{-1} + Y^{-1}$$.
3. Bestimme die Matrix $$(X+Y)^{-1}$$.
4. Ist die Matrix $$X^{-1} + Y^{-1}$$ gleich der Matrix $$(X+Y)^{-1}$$? Begründe deine Antwort.
Visible text: 1. Bestimme die Matrizen und .
2. Bestimme die Matrix .
3. Bestimme die Matrix .
4. Ist die Matrix gleich der Matrix ? Begründe deine Antwort.
### Ausführliche Lösungen
1. **Bestimmen von $$X^{-1}$$:**
```math
X = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}
```
```math
\det(X) = (1)(4) - (-3)(-1) = 4 - 3 = 1
```
```math
\text{Adj}(X) = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}
```
```math
X^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}
```
**Bestimmen von $$Y^{-1}$$:**
```math
Y = \begin{bmatrix} -4 & 2 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}
```
```math
\det(Y) = (-4)(-2) - (2)(3) = 8 - 6 = 2
```
```math
\text{Adj}(Y) = \begin{bmatrix} -2 & -2 \\ -3 & -4 \end{bmatrix}
```
```math
Y^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} -2 & -2 \\ -3 & -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -3/2 & -2 \end{bmatrix}
```
2. **Bestimmen von $$X^{-1} + Y^{-1}$$:**
```math
X^{-1} + Y^{-1} = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -3/2 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4-1 & 3-1 \\ 1-3/2 & 1-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -1/2 & -1 \end{bmatrix}
```
3. **Bestimmen von $$(X+Y)^{-1}$$:**
Berechne zunächst $$X+Y$$:
```math
X+Y = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -4 & 2 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-4 & -3+2 \\ -1+3 & 4-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & -1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}
```
Setze $$Z = X+Y = \begin{bmatrix} -3 & -1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$$. Berechne nun $$Z^{-1}$$:
```math
\det(Z) = (-3)(2) - (-1)(2) = -6 - (-2) = -6 + 2 = -4
```
```math
\text{Adj}(Z) = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix}
```
```math
(X+Y)^{-1} = Z^{-1} = \frac{1}{-4} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2/4 & -1/4 \\ 2/4 & 3/4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1/2 & -1/4 \\ 1/2 & 3/4 \end{bmatrix}
```
4. **Vergleich von $$X^{-1} + Y^{-1}$$ und $$(X+Y)^{-1}$$:**
Aus den Berechnungen:
```math
X^{-1} + Y^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -1/2 & -1 \end{bmatrix}
```
```math
(X+Y)^{-1} = \begin{bmatrix} -1/2 & -1/4 \\ 1/2 & 3/4 \end{bmatrix}
```
Es gilt also $$X^{-1} + Y^{-1} \neq (X+Y)^{-1}$$. Die Inverse einer Summe ist im Allgemeinen nicht die Summe der einzelnen Inversen.
Die Inversenbildung lässt sich also nicht über eine Summe verteilen. Dieselbe Warnung gilt schon für gewöhnliche Kehrwerte: Im Allgemeinen ist $$1/x+1/y\neq1/(x+y)$$.
Visible text: 1. **Bestimmen von :**
**Bestimmen von :**
2. **Bestimmen von :**
3. **Bestimmen von :**
Berechne zunächst :
Setze . Berechne nun :
4. **Vergleich von und :**
Aus den Berechnungen:
Es gilt also . Die Inverse einer Summe ist im Allgemeinen nicht die Summe der einzelnen Inversen.
Die Inversenbildung lässt sich also nicht über eine Summe verteilen. Dieselbe Warnung gilt schon für gewöhnliche Kehrwerte: Im Allgemeinen ist .