# Kofaktorentwicklung > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/matrizen/kofaktorentwicklung Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/matrix/cofactor-expansion-method/de.mdx So berechnest du Determinanten mit Minoren, Kofaktoren und einer geschickt gewählten Zeile oder Spalte. --- ## Was ist die Kofaktorentwicklung? Mit der Kofaktorentwicklung lässt sich die Determinante jeder quadratischen Matrix berechnen. Besonders nützlich ist sie bei Matrizen, die größer als $$2 \times 2$$ sind. Visible text: Mit der Kofaktorentwicklung lässt sich die Determinante jeder quadratischen Matrix berechnen. Besonders nützlich ist sie bei Matrizen, die größer als sind. Die Idee dahinter: Wir zerlegen die große Determinante in kleinere Determinanten. Dazu multiplizieren wir ausgewählte Matrixelemente mit ihren Kofaktoren und addieren die Ergebnisse. ## Minor eines Matrixelements Zu jedem Element einer quadratischen Matrix gehört eine Unterdeterminante, der sogenannte Minor. Für das Element $$a_{ij}$$ in der $$i$$-ten Zeile und $$j$$-ten Spalte schreiben wir den Minor als $$M_{ij}$$. Visible text: Zu jedem Element einer quadratischen Matrix gehört eine Unterdeterminante, der sogenannte Minor. Für das Element in der -ten Zeile und -ten Spalte schreiben wir den Minor als . Um $$M_{ij}$$ zu bestimmen, streichen wir in der ursprünglichen Matrix die gesamte $$i$$-te Zeile und die gesamte $$j$$-te Spalte. Die Determinante der übrig gebliebenen Untermatrix ist der Minor $$M_{ij}$$. Visible text: Um zu bestimmen, streichen wir in der ursprünglichen Matrix die gesamte -te Zeile und die gesamte -te Spalte. Die Determinante der übrig gebliebenen Untermatrix ist der Minor . ### Einen Minor bestimmen Betrachten wir die folgende $$3 \times 3$$-Matrix $$A$$: Visible text: Betrachten wir die folgende -Matrix : ```math A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} ``` Für den Minor des Elements $$a_{22}$$, also $$M_{22}$$, streichen wir die zweite Zeile und die zweite Spalte der Matrix $$A$$: Visible text: Für den Minor des Elements , also , streichen wir die zweite Zeile und die zweite Spalte der Matrix : Das sieht so aus: ```math A = \begin{bmatrix} a_{11} & \cancel{a_{12}} & a_{13} \\ \cancel{a_{21}} & \cancel{a_{22}} & \cancel{a_{23}} \\ a_{31} & \cancel{a_{32}} & a_{33} \end{bmatrix} ``` Übrig bleibt die folgende Untermatrix: ```math \begin{bmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{bmatrix} ``` Der Minor $$M_{22}$$ ist die Determinante dieser Untermatrix: Visible text: Der Minor ist die Determinante dieser Untermatrix: ```math M_{22} = \det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{pmatrix} = (a_{11} \times a_{33}) - (a_{13} \times a_{31}) ``` ## Kofaktor eines Matrixelements Aus dem Minor entsteht der Kofaktor. Den Kofaktor eines Elements $$a_{ij}$$ bezeichnen wir mit $$k_{ij}$$ oder $$C_{ij}$$. Er wird aus dem zugehörigen Minor berechnet: Visible text: Aus dem Minor entsteht der Kofaktor. Den Kofaktor eines Elements bezeichnen wir mit oder . Er wird aus dem zugehörigen Minor berechnet: ```math k_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} ``` Der Faktor $$(-1)^{i+j}$$ bestimmt das Vorzeichen des Kofaktors: Visible text: Der Faktor bestimmt das Vorzeichen des Kofaktors: - Ist $$i+j$$ gerade, gilt $$(-1)^{i+j} = 1$$. Dann ist $$k_{ij} = M_{ij}$$. - Ist $$i+j$$ ungerade, gilt $$(-1)^{i+j} = -1$$. Dann ist $$k_{ij} = -M_{ij}$$. Visible text: - Ist gerade, gilt . Dann ist . - Ist ungerade, gilt . Dann ist . Für eine $$3 \times 3$$-Matrix sieht das Vorzeichenmuster von $$(-1)^{i+j}$$ wie folgt aus: Visible text: Für eine -Matrix sieht das Vorzeichenmuster von wie folgt aus: ```math \begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{pmatrix} ``` Das Vorzeichen zeigt, ob der Kofaktor dem Minor entspricht (Vorzeichen $$+$$) oder sein Negatives ist (Vorzeichen $$-$$). Visible text: Das Vorzeichen zeigt, ob der Kofaktor dem Minor entspricht (Vorzeichen ) oder sein Negatives ist (Vorzeichen ). ### Einen Kofaktor bestimmen Wir setzen das Beispiel mit der Matrix $$A$$ und dem bereits bestimmten Minor $$M_{22}$$ fort. Visible text: Wir setzen das Beispiel mit der Matrix und dem bereits bestimmten Minor fort. Der Kofaktor des Elements $$a_{22}$$ ist $$k_{22}$$. Visible text: Der Kofaktor des Elements ist . Aus $$i=2$$ und $$j=2$$ folgt $$i+j = 2+2 = 4$$ (gerade). Visible text: Aus und folgt (gerade). ```math k_{22} = (-1)^{2+2} M_{22} = (1) M_{22} = M_{22} ``` Bestimmen wir nun den Kofaktor $$k_{12}$$ des Elements $$a_{12}$$. Visible text: Bestimmen wir nun den Kofaktor des Elements . Zuerst bestimmen wir den Minor $$M_{12}$$. Dazu streichen wir in der Matrix $$A$$ die erste Zeile und die zweite Spalte: Visible text: Zuerst bestimmen wir den Minor . Dazu streichen wir in der Matrix die erste Zeile und die zweite Spalte: ```math M_{12} = \det \begin{pmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{pmatrix} = (a_{21} \times a_{33}) - (a_{23} \times a_{31}) ``` Anschließend berücksichtigen wir das Vorzeichen. Für $$a_{12}$$ gelten $$i=1$$ und $$j=2$$, also ist $$i+j = 1+2 = 3$$ ungerade. Visible text: Anschließend berücksichtigen wir das Vorzeichen. Für gelten und , also ist ungerade. ```math k_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = (-1) M_{12} = -M_{12} ``` ## Berechnung der Determinante mithilfe der Kofaktorerweiterung Für die Kofaktorentwicklung wählen wir eine Zeile oder Spalte der Matrix $$A$$. Ihre Determinante schreiben wir als $$\det(A)$$ oder $$|A|$$. Visible text: Für die Kofaktorentwicklung wählen wir eine Zeile oder Spalte der Matrix . Ihre Determinante schreiben wir als oder . Jedes Element der gewählten Zeile oder Spalte wird mit seinem Kofaktor multipliziert. Danach addieren wir alle Produkte. **Kofaktorentwicklung entlang der $$i$$-ten Zeile:** Visible text: **Kofaktorentwicklung entlang der -ten Zeile:** ```math \det(A) = |A| = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}k_{ij} = a_{i1}k_{i1} + a_{i2}k_{i2} + \dots + a_{in}k_{in} ``` Wir wählen die $$i$$-te Zeile. Für jede Spalte $$j$$ multiplizieren wir das Element $$a_{ij}$$ mit seinem Kofaktor $$k_{ij}$$ und addieren die Produkte. Visible text: Wir wählen die -te Zeile. Für jede Spalte multiplizieren wir das Element mit seinem Kofaktor und addieren die Produkte. **Kofaktorentwicklung entlang der $$j$$-ten Spalte:** Visible text: **Kofaktorentwicklung entlang der -ten Spalte:** ```math \det(A) = |A| = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}k_{ij} = a_{1j}k_{1j} + a_{2j}k_{2j} + \dots + a_{nj}k_{nj} ``` Wir wählen die $$j$$-te Spalte. Für jede Zeile $$i$$ multiplizieren wir das Element $$a_{ij}$$ mit seinem Kofaktor $$k_{ij}$$ und addieren die Produkte. Visible text: Wir wählen die -te Spalte. Für jede Zeile multiplizieren wir das Element mit seinem Kofaktor und addieren die Produkte. Welche Zeile oder Spalte wir wählen, ändert das Ergebnis nicht. Am einfachsten wird die Rechnung mit einer Zeile oder Spalte, die viele Nullen enthält. Die zugehörigen Produkte verschwinden sofort, sodass weniger Terme berechnet werden müssen. ## Beispiel für die Determinantenberechnung Berechnen wir die Determinante der folgenden Matrix $$P$$ mit der Kofaktorentwicklung: Visible text: Berechnen wir die Determinante der folgenden Matrix mit der Kofaktorentwicklung: ```math P = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 6 & 2 \\ 5 & 9 & 4 \end{bmatrix} ``` Wir entwickeln entlang der ersten Zeile, also für $$i=1$$. Visible text: Wir entwickeln entlang der ersten Zeile, also für . Damit lautet die Formel für die Determinante von $$P$$: Visible text: Damit lautet die Formel für die Determinante von : ```math \det(P) = a_{11}k_{11} + a_{12}k_{12} + a_{13}k_{13} ``` Die Elemente der ersten Zeile von $$P$$ sind: Visible text: Die Elemente der ersten Zeile von sind: - $$a_{11} = 1$$ - $$a_{12} = 3$$ - $$a_{13} = 2$$ Visible text: - - - Nun bestimmen wir die Kofaktoren $$k_{11}$$, $$k_{12}$$ und $$k_{13}$$. Visible text: Nun bestimmen wir die Kofaktoren , und . 1. **Berechnung von $$k_{11}$$** ($$i=1, j=1$$, also ist $$i+j=2$$ gerade): ```math M_{11} = \det \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ 9 & 4 \end{pmatrix} = (6 \times 4) - (2 \times 9) = 24 - 18 = 6 ``` ```math k_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = (1)(6) = 6 ``` 2. **Berechnung von $$k_{12}$$** ($$i=1, j=2$$, also ist $$i+j=3$$ ungerade): ```math M_{12} = \det \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 5 & 4 \end{pmatrix} = (2 \times 4) - (2 \times 5) = 8 - 10 = -2 ``` ```math k_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = (-1)(-2) = 2 ``` 3. **Berechnung von $$k_{13}$$** ($$i=1, j=3$$, also ist $$i+j=4$$ gerade): ```math M_{13} = \det \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 5 & 9 \end{pmatrix} = (2 \times 9) - (6 \times 5) = 18 - 30 = -12 ``` ```math k_{13} = (-1)^{1+3} M_{13} = (1)(-12) = -12 ``` Visible text: 1. **Berechnung von ** (, also ist gerade): 2. **Berechnung von ** (, also ist ungerade): 3. **Berechnung von ** (, also ist gerade): Zum Schluss setzen wir die drei Kofaktoren in die Determinantenformel ein: Component: MathContainer Children: ```math \det(P) = a_{11}k_{11} + a_{12}k_{12} + a_{13}k_{13} ``` ```math \det(P) = (1)(6) + (3)(2) + (2)(-12) ``` ```math \det(P) = 6 + 6 - 24 ``` ```math \det(P) = 12 - 24 ``` ```math \det(P) = -12 ``` Die Determinante der Matrix $$P$$ ist also $$-12$$. Visible text: Die Determinante der Matrix ist also .