# Matrixaddition > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/matrizen/matrixaddition Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/matrix/matrix-addition/de.mdx Matrizen gleichen Formats eintragsweise addieren und dabei Kommutativität, Assoziativität, Nullmatrix und Gegenmatrix anwenden. --- ## Was ist Matrixaddition? Bei der Matrixaddition werden die Einträge mehrerer Matrizen positionsweise zusammengezählt. Das ist nur möglich, wenn alle beteiligten Matrizen gleich viele Zeilen und Spalten haben. Das Ergebnis ist eine neue Matrix desselben Formats. Jeder ihrer Einträge ist die Summe der Einträge an derselben Position in den Ausgangsmatrizen. ## Formale Definition der Matrixaddition Zwei Matrizen $$A$$ und $$B$$ können genau dann addiert werden, wenn sie dasselbe Format haben. Visible text: Zwei Matrizen und können genau dann addiert werden, wenn sie dasselbe Format haben. Matrix $$A$$ habe das Format $$m \times n$$ und die Einträge $$a_{ij}$$. Dabei bezeichnet $$i$$ die Zeile und $$j$$ die Spalte. Matrix $$B$$ habe ebenfalls das Format $$m \times n$$ und die Einträge $$b_{ij}$$. Visible text: Matrix habe das Format und die Einträge . Dabei bezeichnet die Zeile und die Spalte. Matrix habe ebenfalls das Format und die Einträge . Ihre Summe nennen wir Matrix $$C$$ und schreiben $$C = A + B$$. Matrix $$C$$ hat ebenfalls das Format $$m \times n$$. Ihre Einträge $$c_{ij}$$ sind definiert durch: Visible text: Ihre Summe nennen wir Matrix und schreiben . Matrix hat ebenfalls das Format . Ihre Einträge sind definiert durch: ```math c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} ``` Die Formel addiert also für jede Position den Eintrag aus $$A$$ und den entsprechenden Eintrag aus $$B$$. Visible text: Die Formel addiert also für jede Position den Eintrag aus und den entsprechenden Eintrag aus . Symbolisch folgt aus $$A\in\mathbb{R}^{m\times n}$$ und $$B\in\mathbb{R}^{m\times n}$$, dass $$A+B\in\mathbb{R}^{m\times n}$$ gilt. Zu jedem Ergebniseintrag $$c_{ij}$$ gehört daher in beiden Matrizen genau ein Eintrag an derselben Position. Visible text: Symbolisch folgt aus und , dass gilt. Zu jedem Ergebniseintrag gehört daher in beiden Matrizen genau ein Eintrag an derselben Position. ## Matrixaddition Schritt für Schritt So werden zwei Matrizen addiert: 1. **Format prüfen**: Beide Matrizen müssen gleich viele Zeilen und Spalten haben. Andernfalls ist ihre Summe nicht definiert. 2. **Entsprechende Einträge addieren**: Addiere jeweils die Einträge an derselben Zeilen- und Spaltenposition. 3. **Ergebnismatrix bilden**: Trage die Summen an ihren Positionen in eine neue Matrix desselben Formats ein. Visible text: 1. **Format prüfen**: Beide Matrizen müssen gleich viele Zeilen und Spalten haben. Andernfalls ist ihre Summe nicht definiert. 2. **Entsprechende Einträge addieren**: Addiere jeweils die Einträge an derselben Zeilen- und Spaltenposition. 3. **Ergebnismatrix bilden**: Trage die Summen an ihren Positionen in eine neue Matrix desselben Formats ein. ### Beispiel einer Matrixaddition Angenommen, wir haben zwei Matrizen, $$P$$ und $$Q$$, wie folgt: Visible text: Angenommen, wir haben zwei Matrizen, und , wie folgt: Component: MathContainer Children: ```math P = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 0 \\ 4 & 7 \end{bmatrix} ``` ```math Q = \begin{bmatrix} 6 & -3 \\ 8 & 1 \\ -2 & 9 \end{bmatrix} ``` Beide Matrizen haben das Format $$3 \times 2$$, also $$3$$ Zeilen und $$2$$ Spalten. Daher können sie addiert werden. Visible text: Beide Matrizen haben das Format , also Zeilen und Spalten. Daher können sie addiert werden. Dann ist $$P+Q$$: Visible text: Dann ist : Component: MathContainer Children: ```math P+Q = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 0 \\ 4 & 7 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 & -3 \\ 8 & 1 \\ -2 & 9 \end{bmatrix} ``` ```math = \begin{bmatrix} 1+6 & 5+(-3) \\ -2+8 & 0+1 \\ 4+(-2) & 7+9 \end{bmatrix} ``` ```math = \begin{bmatrix} 7 & 2 \\ 6 & 1 \\ 2 & 16 \end{bmatrix} ``` Somit ist die Summe aus Matrix $$P$$ und Matrix $$Q$$ die Matrix $$\begin{bmatrix} 7 & 2 \\ 6 & 1 \\ 2 & 16 \end{bmatrix}$$. Visible text: Somit ist die Summe aus Matrix und Matrix die Matrix . ### Matrizen, die nicht addiert werden können Angenommen, Matrix $$X = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$ und Matrix $$Y = \begin{bmatrix} 5 & 6 & 7 \\ 8 & 9 & 10 \end{bmatrix}$$. Visible text: Angenommen, Matrix und Matrix . Matrix $$X$$ hat das Format $$2 \times 2$$, Matrix $$Y$$ dagegen das Format $$2 \times 3$$. Wegen der unterschiedlichen Spaltenzahlen ist $$X+Y$$ nicht definiert. Visible text: Matrix hat das Format , Matrix dagegen das Format . Wegen der unterschiedlichen Spaltenzahlen ist nicht definiert. ## Eigenschaften der Matrixaddition Die Matrixaddition besitzt dieselben grundlegenden Rechengesetze wie die Addition reeller Zahlen. Seien $$A$$, $$B$$ und $$C$$ Matrizen desselben Formats. $$O$$ bezeichne die gleich große Nullmatrix, deren Einträge alle null sind. Visible text: Die Matrixaddition besitzt dieselben grundlegenden Rechengesetze wie die Addition reeller Zahlen. Seien , und Matrizen desselben Formats. bezeichne die gleich große Nullmatrix, deren Einträge alle null sind. 1. **Kommutative Eigenschaft**: Die Reihenfolge der Matrixaddition hat keinen Einfluss auf das Ergebnis. ```math A + B = B + A ``` Ob $$A$$ zu $$B$$ oder $$B$$ zu $$A$$ addiert wird, ändert das Ergebnis nicht. 2. **Assoziative Eigenschaft**: Die Gruppierung bei der Addition von drei oder mehr Matrizen hat keinen Einfluss auf das Ergebnis. ```math (A + B) + C = A + (B + C) ``` Man kann zuerst $$A$$ und $$B$$ addieren und danach $$C$$, oder zuerst $$B$$ und $$C$$ und danach $$A$$. Beide Gruppierungen liefern dieselbe Matrix. 3. **Neutrales Element (Nullmatrix)**: Für die Matrixaddition ist die Nullmatrix $$O$$ das neutrale Element. ```math A + O = O + A = A ``` Addiert man zu einer Matrix die gleich große Nullmatrix, bleibt die Matrix unverändert. Diese Nullmatrix spielt bei der Addition von Zahlen eine ähnliche Rolle wie die Zahl $$0$$. 4. **Additives Inverses (Gegenmatrix)**: Jede Matrix $$A$$ besitzt ein additives Inverses $$-A$$. Wird es zu $$A$$ addiert, ergibt sich die Nullmatrix $$O$$. ```math A + (-A) = O ``` In $$-A$$ hat jeder Eintrag das entgegengesetzte Vorzeichen des entsprechenden Eintrags in $$A$$. Wenn beispielsweise $$a_{ij}$$ ein Element von $$A$$ ist, dann ist $$-a_{ij}$$ ein Element von $$-A$$. Visible text: 1. **Kommutative Eigenschaft**: Die Reihenfolge der Matrixaddition hat keinen Einfluss auf das Ergebnis. Ob zu oder zu addiert wird, ändert das Ergebnis nicht. 2. **Assoziative Eigenschaft**: Die Gruppierung bei der Addition von drei oder mehr Matrizen hat keinen Einfluss auf das Ergebnis. Man kann zuerst und addieren und danach , oder zuerst und und danach . Beide Gruppierungen liefern dieselbe Matrix. 3. **Neutrales Element (Nullmatrix)**: Für die Matrixaddition ist die Nullmatrix das neutrale Element. Addiert man zu einer Matrix die gleich große Nullmatrix, bleibt die Matrix unverändert. Diese Nullmatrix spielt bei der Addition von Zahlen eine ähnliche Rolle wie die Zahl . 4. **Additives Inverses (Gegenmatrix)**: Jede Matrix besitzt ein additives Inverses . Wird es zu addiert, ergibt sich die Nullmatrix . In hat jeder Eintrag das entgegengesetzte Vorzeichen des entsprechenden Eintrags in . Wenn beispielsweise ein Element von ist, dann ist ein Element von . ## Übungen **Problem** $$1$$ Visible text: **Problem** Gegeben sind die folgenden Matrizen: Component: MathContainer Children: ```math A = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 7 \\ 0 & 5 & 2 \end{bmatrix} ``` ```math B = \begin{bmatrix} -2 & 9 & -4 \\ 6 & -3 & 1 \end{bmatrix} ``` ```math C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} ``` Berechne $$A+B$$ und $$B+A$$. Entscheide anschließend, ob $$A+C$$ definiert ist, und begründe die Entscheidung. Visible text: Berechne und . Entscheide anschließend, ob definiert ist, und begründe die Entscheidung. **Problem** $$2$$ Visible text: **Problem** Bestimme aus der folgenden Matrixgleichung die Werte von $$x, y,$$ und $$z$$: Visible text: Bestimme aus der folgenden Matrixgleichung die Werte von und : ```math \begin{bmatrix} 2x & 5 \\ -1 & 3y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ z & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 3 \\ 6 & 1 \end{bmatrix} ``` **Problem** $$3$$ Visible text: **Problem** Wenn $$P = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}$$ gilt, bestimme das additive Inverse $$-P$$ von $$P$$ und weise $$P + (-P) = O$$ nach. Dabei ist $$O$$ die gleich große Nullmatrix. Visible text: Wenn gilt, bestimme das additive Inverse von und weise nach. Dabei ist die gleich große Nullmatrix. ### Ausführliche Lösungen **Problem** $$1$$ Visible text: **Problem** Gegeben sind: Component: MathContainer Children: ```math A = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 7 \\ 0 & 5 & 2 \end{bmatrix} ``` ```math B = \begin{bmatrix} -2 & 9 & -4 \\ 6 & -3 & 1 \end{bmatrix} ``` ```math C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} ``` Zuerst berechnen wir $$A$$ plus $$B$$ ($$A+B$$): Visible text: Zuerst berechnen wir plus (): Component: MathContainer Children: ```math A+B = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 7 \\ 0 & 5 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 & 9 & -4 \\ 6 & -3 & 1 \end{bmatrix} ``` ```math = \begin{bmatrix} 3+(-2) & -1+9 & 7+(-4) \\ 0+6 & 5+(-3) & 2+1 \end{bmatrix} ``` ```math = \begin{bmatrix} 1 & 8 & 3 \\ 6 & 2 & 3 \end{bmatrix} ``` Danach vertauschen wir die Summanden und berechnen $$B$$ plus $$A$$ ($$B+A$$): Visible text: Danach vertauschen wir die Summanden und berechnen plus (): Component: MathContainer Children: ```math B+A = \begin{bmatrix} -2 & 9 & -4 \\ 6 & -3 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & -1 & 7 \\ 0 & 5 & 2 \end{bmatrix} ``` ```math = \begin{bmatrix} -2+3 & 9+(-1) & -4+7 \\ 6+0 & -3+5 & 1+2 \end{bmatrix} ``` ```math = \begin{bmatrix} 1 & 8 & 3 \\ 6 & 2 & 3 \end{bmatrix} ``` Damit bestätigt das Beispiel das Kommutativgesetz: $$A+B = B+A$$. Visible text: Damit bestätigt das Beispiel das Kommutativgesetz: . Für $$A$$ plus $$C$$ ($$A+C$$) prüfen wir zuerst die Formate: Visible text: Für plus () prüfen wir zuerst die Formate: Die Summe ist nicht definiert. Matrix $$A$$ hat das Format $$2 \times 3$$, Matrix $$C$$ dagegen das Format $$2 \times 2$$. Wegen der unterschiedlichen Spaltenzahlen kann $$A+C$$ nicht gebildet werden. Visible text: Die Summe ist nicht definiert. Matrix hat das Format , Matrix dagegen das Format . Wegen der unterschiedlichen Spaltenzahlen kann nicht gebildet werden. **Problem** $$2$$ Visible text: **Problem** Gegeben sei die Matrixaddition: ```math \begin{bmatrix} 2x & 5 \\ -1 & 3y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ z & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 3 \\ 6 & 1 \end{bmatrix} ``` Wir addieren zunächst die Matrizen auf der linken Seite: Component: MathContainer Children: ```math \begin{bmatrix} 2x+4 & 5+(-2) \\ -1+z & 3y+7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 3 \\ 6 & 1 \end{bmatrix} ``` ```math \begin{bmatrix} 2x+4 & 3 \\ -1+z & 3y+7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 3 \\ 6 & 1 \end{bmatrix} ``` Aus der Gleichheit zweier Matrizen folgt, dass die entsprechenden Einträge übereinstimmen müssen: Für das Element in Zeile $$1$$, Spalte $$1$$: $$2x+4 = 10$$ Visible text: Für das Element in Zeile , Spalte : Component: MathContainer Children: ```math 2x = 10-4 ``` ```math 2x = 6 ``` ```math x = 3 ``` Für das Element in Zeile $$1$$, Spalte $$2$$: $$3 = 3$$ (bereits konsistent). Visible text: Für das Element in Zeile , Spalte : (bereits konsistent). Für das Element in Zeile $$2$$, Spalte $$1$$: $$-1+z = 6$$ Visible text: Für das Element in Zeile , Spalte : Component: MathContainer Children: ```math z = 6+1 ``` ```math z = 7 ``` Für das Element in Zeile $$2$$, Spalte $$2$$: $$3y+7 = 1$$ Visible text: Für das Element in Zeile , Spalte : Component: MathContainer Children: ```math 3y = 1-7 ``` ```math 3y = -6 ``` ```math y = -2 ``` Somit sind die Werte $$x=3$$, $$y=-2$$ und $$z=7$$. Visible text: Somit sind die Werte , und . **Problem** $$3$$ Visible text: **Problem** Gegeben ist die Matrix $$P = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}$$. Visible text: Gegeben ist die Matrix . Das additive Inverse von $$P$$, also $$-P$$, ist: Visible text: Das additive Inverse von , also , ist: ```math -P = \begin{bmatrix} -1 & -(-2) \\ -3 & -0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -3 & 0 \end{bmatrix} ``` Zur Kontrolle addieren wir $$P + (-P) = O$$: Visible text: Zur Kontrolle addieren wir : Component: MathContainer Children: ```math P + (-P) = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -3 & 0 \end{bmatrix} ``` ```math = \begin{bmatrix} 1+(-1) & -2+2 \\ 3+(-3) & 0+0 \end{bmatrix} ``` ```math = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} ``` Das Ergebnis ist die Nullmatrix $$O$$ im Format $$2 \times 2$$. Damit ist die Behauptung gezeigt. Visible text: Das Ergebnis ist die Nullmatrix im Format . Damit ist die Behauptung gezeigt.