# Matrixmultiplikation
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Multipliziere Matrizen nach dem Zeile-mal-Spalte-Prinzip und nutze Dimensionen, Rechengesetze und vollständig gelöste Anwendungen sicher.
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## Die Multiplikation zweier Matrizen verstehen
Bei der Matrixaddition werden Einträge an derselben Position verrechnet. Die Matrixmultiplikation funktioniert anders: Jede Zeile der ersten Matrix wird mit jeder Spalte der zweiten Matrix kombiniert.
### Bedingung für die Matrixmultiplikation
Die Matrizen $$A$$ und $$B$$ können in dieser Reihenfolge nur multipliziert werden ($$A \times B$$), wenn **die Spaltenzahl von $$A$$ mit der Zeilenzahl von $$B$$ übereinstimmt**.
Visible text: Die Matrizen und können in dieser Reihenfolge nur multipliziert werden (), wenn **die Spaltenzahl von mit der Zeilenzahl von übereinstimmt**.
Hat $$A$$ das Format $$m \times n$$, also $$m$$ Zeilen und $$n$$ Spalten, und $$B$$ das Format $$n \times p$$, also $$n$$ Zeilen und $$p$$ Spalten, dann stimmen die inneren Dimensionen überein.
Visible text: Hat das Format , also Zeilen und Spalten, und das Format , also Zeilen und Spalten, dann stimmen die inneren Dimensionen überein.
Die Spaltenzahl der Matrix $$A$$ ist $$n$$, die Zeilenzahl der Matrix $$B$$ ebenfalls $$n$$. Deshalb können $$A$$ und $$B$$ in dieser Reihenfolge multipliziert werden.
Visible text: Die Spaltenzahl der Matrix ist , die Zeilenzahl der Matrix ebenfalls . Deshalb können und in dieser Reihenfolge multipliziert werden.
Die Ergebnismatrix $$C = AB$$ hat das Format $$m \times p$$. Ihre äußeren Dimensionen stammen also von den Zeilen der ersten und den Spalten der zweiten Matrix.
Visible text: Die Ergebnismatrix hat das Format . Ihre äußeren Dimensionen stammen also von den Zeilen der ersten und den Spalten der zweiten Matrix.
Die Formatprüfung passt in eine Zeile: Aus $$A\in\mathbb{R}^{m\times n}$$ und $$B\in\mathbb{R}^{n\times p}$$ folgt $$AB\in\mathbb{R}^{m\times p}$$. Die gemeinsame innere Dimension $$n$$ geht in jedes Skalarprodukt ein, während die äußeren Dimensionen $$m$$ und $$p$$ das Ergebnisformat festlegen.
Visible text: Die Formatprüfung passt in eine Zeile: Aus und folgt . Die gemeinsame innere Dimension geht in jedes Skalarprodukt ein, während die äußeren Dimensionen und das Ergebnisformat festlegen.
### Einträge der Ergebnismatrix berechnen
Für den Eintrag $$c_{ij}$$ der Matrix $$C$$, also den Eintrag in Zeile $$i$$ und Spalte $$j$$, multipliziert man die Einträge der $$i$$-ten Zeile von $$A$$ mit den zugehörigen Einträgen der $$j$$-ten Spalte von $$B$$ und addiert die Produkte.
Visible text: Für den Eintrag der Matrix , also den Eintrag in Zeile und Spalte , multipliziert man die Einträge der -ten Zeile von mit den zugehörigen Einträgen der -ten Spalte von und addiert die Produkte.
Für $$A = [a_{ik}]$$ und $$B = [b_{kj}]$$ lautet der Eintrag $$c_{ij}$$ der Matrix $$C = AB$$ daher:
Visible text: Für und lautet der Eintrag der Matrix daher:
```math
c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \dots + a_{in}b_{nj}
```
Das Zeichen $$\sum$$ steht für eine Summe.
Visible text: Das Zeichen steht für eine Summe.
In der Formel werden die Produkte $$a_{ik}b_{kj}$$ für alle Werte von $$k$$ zwischen $$1$$ und $$n$$ addiert.
Visible text: In der Formel werden die Produkte für alle Werte von zwischen und addiert.
## Schritte zum Multiplizieren von Matrizen
Ein allgemeines Beispiel macht das Zeile-mal-Spalte-Prinzip sichtbar.
Gegeben sind die Matrizen $$P = \begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} \\ p_{21} & p_{22} \end{bmatrix}$$ und $$Q = \begin{bmatrix} q_{11} & q_{12} \\ q_{21} & q_{22} \end{bmatrix}$$.
Visible text: Gegeben sind die Matrizen und .
Die Matrix $$P$$ hat das Format $$2 \times 2$$, ebenso die Matrix $$Q$$ mit $$2 \times 2$$. Die $$2$$ Spalten von $$P$$ passen zu den $$2$$ Zeilen von $$Q$$. Das Produkt $$R = PQ$$ hat deshalb das Format $$2 \times 2$$.
Visible text: Die Matrix hat das Format , ebenso die Matrix mit . Die Spalten von passen zu den Zeilen von . Das Produkt hat deshalb das Format .
```math
R = \begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} \\ r_{21} & r_{22} \end{bmatrix}
```
Die Elemente der Matrix $$R$$ werden wie folgt berechnet:
Visible text: Die Elemente der Matrix werden wie folgt berechnet:
Component: MathContainer
Children:
```math
r_{11} = (\text{Zeile 1 von} P) \cdot (\text{Spalte 1 von} Q) = p_{11}q_{11} + p_{12}q_{21}
```
```math
r_{12} = (\text{Zeile 1 von} P) \cdot (\text{Spalte 2 von} Q) = p_{11}q_{12} + p_{12}q_{22}
```
```math
r_{21} = (\text{Zeile 2 von} P) \cdot (\text{Spalte 1 von} Q) = p_{21}q_{11} + p_{22}q_{21}
```
```math
r_{22} = (\text{Zeile 2 von} P) \cdot (\text{Spalte 2 von} Q) = p_{21}q_{12} + p_{22}q_{22}
```
## Beispiel für die Multiplikation zweier Matrizen
Gegeben sind zwei Matrizen:
Component: MathContainer
Children:
```math
A = \begin{bmatrix} -7 & 2 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 2 & 3 & -1 \end{bmatrix}
```
```math
B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}
```
Die Matrix $$A$$ hat das Format $$3 \times 3$$, die Matrix $$B$$ das Format $$3 \times 2$$.
Visible text: Die Matrix hat das Format , die Matrix das Format .
Die Anzahl der Spalten in der Matrix $$A$$ (das ist $$3$$) ist gleich der Anzahl der Zeilen in der Matrix $$B$$ (das ist $$3$$).
Visible text: Die Anzahl der Spalten in der Matrix (das ist ) ist gleich der Anzahl der Zeilen in der Matrix (das ist ).
Somit ist $$AB$$ definiert und ergibt eine Matrix im Format $$3 \times 2$$.
Visible text: Somit ist definiert und ergibt eine Matrix im Format .
Berechnen wir $$C = AB$$:
Visible text: Berechnen wir :
Component: MathContainer
Children:
```math
C = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \\ c_{31} & c_{32} \end{bmatrix}
```
```math
c_{11} = (-7)(1) + (2)(-1) + (-2)(2) = -7 - 2 - 4 = -13
```
```math
c_{12} = (-7)(2) + (2)(3) + (-2)(0) = -14 + 6 + 0 = -8
```
```math
c_{21} = (1)(1) + (0)(-1) + (-1)(2) = 1 + 0 - 2 = -1
```
```math
c_{22} = (1)(2) + (0)(3) + (-1)(0) = 2 + 0 + 0 = 2
```
```math
c_{31} = (2)(1) + (3)(-1) + (-1)(2) = 2 - 3 - 2 = -3
```
```math
c_{32} = (2)(2) + (3)(3) + (-1)(0) = 4 + 9 + 0 = 13
```
Das Ergebnis der Matrixmultiplikation $$AB$$ ist also:
Visible text: Das Ergebnis der Matrixmultiplikation ist also:
```math
AB = \begin{bmatrix} -13 & -8 \\ -1 & 2 \\ -3 & 13 \end{bmatrix}
```
Was ist nun mit $$BA$$?
Visible text: Was ist nun mit ?
Die Matrix $$B$$ hat das Format $$3 \times 2$$, die Matrix $$A$$ das Format $$3 \times 3$$.
Visible text: Die Matrix hat das Format , die Matrix das Format .
Die Anzahl der Spalten in der Matrix $$B$$ (das ist $$2$$) ist **nicht gleich** der Anzahl der Zeilen in der Matrix $$A$$ (das ist $$3$$).
Visible text: Die Anzahl der Spalten in der Matrix (das ist ) ist **nicht gleich** der Anzahl der Zeilen in der Matrix (das ist ).
Daher ist das Produkt $$BA$$ **nicht definiert**. Schon die Vertauschung der Faktoren kann also darüber entscheiden, ob ein Produkt überhaupt existiert.
Visible text: Daher ist das Produkt **nicht definiert**. Schon die Vertauschung der Faktoren kann also darüber entscheiden, ob ein Produkt überhaupt existiert.
## Eigenschaften der Matrixmultiplikation
Die Matrixmultiplikation hat mehrere wichtige Eigenschaften:
1. **Im Allgemeinen nicht kommutativ**:
Das bedeutet $$AB \neq BA$$. Wir haben oben bereits ein Beispiel gesehen, bei dem $$AB$$ definiert ist, $$BA$$ jedoch nicht. Selbst wenn beide definiert sind, sind die Ergebnisse nicht unbedingt dieselben.
2. **Assoziativ**:
Sind alle Produkte auf beiden Seiten definiert, gilt $$(AB)C = A(BC)$$. Die Klammerung verändert das Ergebnis nicht.
3. **Verteilend**:
Die Matrixmultiplikation ist distributiv gegenüber der Matrixaddition oder -subtraktion:
```math
A(B + C) = AB + AC
```
```math
(A + B)C = AC + BC
```
Dies gilt, wenn alle beteiligten Additions- und Multiplikationsoperationen definiert sind.
4. **Multiplikation mit der Einheitsmatrix ($$I$$)**:
Hat $$A$$ das Format $$m \times n$$, dann hat die linke Einheitsmatrix $$I_m$$ das Format $$m \times m$$ und die rechte Einheitsmatrix $$I_n$$ das Format $$n \times n$$:
```math
I_mA=A=AI_n
```
Die Einheitsmatrix übernimmt dieselbe Rolle wie die Zahl $$1$$ bei der gewöhnlichen Multiplikation.
5. **Multiplikation mit einem Skalar ($$k$$)**:
Wenn $$k$$ ein Skalar (reelle Zahl) ist, dann:
```math
k(AB) = (kA)B = A(kB)
```
Visible text: 1. **Im Allgemeinen nicht kommutativ**:
Das bedeutet . Wir haben oben bereits ein Beispiel gesehen, bei dem definiert ist, jedoch nicht. Selbst wenn beide definiert sind, sind die Ergebnisse nicht unbedingt dieselben.
2. **Assoziativ**:
Sind alle Produkte auf beiden Seiten definiert, gilt . Die Klammerung verändert das Ergebnis nicht.
3. **Verteilend**:
Die Matrixmultiplikation ist distributiv gegenüber der Matrixaddition oder -subtraktion:
Dies gilt, wenn alle beteiligten Additions- und Multiplikationsoperationen definiert sind.
4. **Multiplikation mit der Einheitsmatrix ()**:
Hat das Format , dann hat die linke Einheitsmatrix das Format und die rechte Einheitsmatrix das Format :
Die Einheitsmatrix übernimmt dieselbe Rolle wie die Zahl bei der gewöhnlichen Multiplikation.
5. **Multiplikation mit einem Skalar ()**:
Wenn ein Skalar (reelle Zahl) ist, dann:
## Ertragsberechnung
Mit einer Matrixmultiplikation lassen sich Mengentabellen und passende Preistabellen verbinden. Dabei sind die Bezeichnungen der Zeilen und Spalten ebenso wichtig wie ihre numerischen Formate.
Ein kleiner Betrieb verkauft Tempeh-Chips, Bananenchips und Kartoffelchips an den Standorten A, B und C.
In der Absatzmatrix $$P$$ stehen die Produkte in den Zeilen und die Standorte in den Spalten. Jeder Eintrag von $$P$$ gibt also an, wie viele Gläser eines Produkts an einem Standort verkauft wurden.
Visible text: In der Absatzmatrix stehen die Produkte in den Zeilen und die Standorte in den Spalten. Jeder Eintrag von gibt also an, wie viele Gläser eines Produkts an einem Standort verkauft wurden.
```math
P = \begin{bmatrix} 15 & 12 & 20 \\ 25 & 10 & 15 \\ 15 & 15 & 20 \end{bmatrix} \begin{matrix} \text{Tempeh-Chips} \\ \text{Bananenchips} \\ \text{Kartoffelchips} \end{matrix}
```
Die erste Zeile ($$\begin{bmatrix} 15 & 12 & 20 \end{bmatrix}$$) bedeutet, dass $$15$$ Gläser Tempeh-Chips an Standort A, $$12$$ an Standort B und $$20$$ an Standort C verkauft wurden.
Visible text: Die erste Zeile () bedeutet, dass Gläser Tempeh-Chips an Standort A, an Standort B und an Standort C verkauft wurden.
Der Preis je Glas in Rupiah steht in der Spaltenmatrix $$Q$$ mit derselben Produktreihenfolge:
Visible text: Der Preis je Glas in Rupiah steht in der Spaltenmatrix mit derselben Produktreihenfolge:
```math
Q = \begin{bmatrix} 20{.}000 \\ 15{.}000 \\ 30{.}000 \end{bmatrix} \begin{matrix} \text{Preis für Tempeh-Chips} \\ \text{Preis für Bananenchips} \\ \text{Preis für Kartoffelchips} \end{matrix}
```
Das Produkt $$PQ$$ ist zwar numerisch definiert, weil beide inneren Dimensionen $$3$$ sind, für dieses Modell ist es aber bedeutungslos. Die Spalten von $$P$$ stehen für Standorte, die Zeilen von $$Q$$ dagegen für Produkte. Diese Bezeichnungen passen nicht zusammen.
Visible text: Das Produkt ist zwar numerisch definiert, weil beide inneren Dimensionen sind, für dieses Modell ist es aber bedeutungslos. Die Spalten von stehen für Standorte, die Zeilen von dagegen für Produkte. Diese Bezeichnungen passen nicht zusammen.
Für den Umsatz je Standort transponieren wir den Preisvektor und multiplizieren $$Q^T$$ mit $$P$$. Das Produkt $$S = Q^T P$$ verbindet jeden Produktpreis mit den Verkaufszahlen desselben Produkts.
Visible text: Für den Umsatz je Standort transponieren wir den Preisvektor und multiplizieren mit . Das Produkt verbindet jeden Produktpreis mit den Verkaufszahlen desselben Produkts.
Die Matrix $$Q^T$$ hat das Format $$1 \times 3$$, die Matrix $$P$$ das Format $$3 \times 3$$. Daher hat $$S$$ das Format $$1 \times 3$$ mit einem Eintrag für jeden Standort.
Visible text: Die Matrix hat das Format , die Matrix das Format . Daher hat das Format mit einem Eintrag für jeden Standort.
Component: MathContainer
Children:
```math
S = \begin{bmatrix} 20{.}000 & 15{.}000 & 30{.}000 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 15 & 12 & 20 \\ 25 & 10 & 15 \\ 15 & 15 & 20 \end{bmatrix}
```
```math
s_{11} = (20{.}000)(15) + (15{.}000)(25) + (30{.}000)(15) = 300{.}000 + 375{.}000 + 450{.}000 = 1{.}125{.}000
```
```math
s_{12} = (20{.}000)(12) + (15{.}000)(10) + (30{.}000)(15) = 240{.}000 + 150{.}000 + 450{.}000 = 840{.}000
```
```math
s_{13} = (20{.}000)(20) + (15{.}000)(15) + (30{.}000)(20) = 400{.}000 + 225{.}000 + 600{.}000 = 1{.}225{.}000
```
Damit ist $$S = \begin{bmatrix} 1{.}125{.}000 & 840{.}000 & 1{.}225{.}000 \end{bmatrix}$$.
Visible text: Damit ist .
Der Gesamtumsatz beträgt somit $$\text{Rp }1{.}125{.}000$$ an Standort A, $$\text{Rp }840{.}000$$ an Standort B und $$\text{Rp }1{.}225{.}000$$ an Standort C.
Visible text: Der Gesamtumsatz beträgt somit an Standort A, an Standort B und an Standort C.
Für den Umsatz je Produkt ist eine andere Multiplikation nötig. Zuerst summiert ein Einsvektor $$U$$ jede Zeile von $$P$$. Anschließend werden die Summen mit der aus $$Q$$ gebildeten diagonalen Preismatrix multipliziert.
Visible text: Für den Umsatz je Produkt ist eine andere Multiplikation nötig. Zuerst summiert ein Einsvektor jede Zeile von . Anschließend werden die Summen mit der aus gebildeten diagonalen Preismatrix multipliziert.
Component: MathContainer
Children:
```math
U = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}
```
```math
T = PU = \begin{bmatrix} 15+12+20 \\ 25+10+15 \\ 15+15+20 \end{bmatrix}
```
```math
T = \begin{bmatrix} 47 \\ 50 \\ 50 \end{bmatrix} \begin{matrix} \text{Gläser Tempeh-Chips} \\ \text{Gläser Bananenchips} \\ \text{Gläser Kartoffelchips} \end{matrix}
```
```math
D = \operatorname{diag}(Q) = \begin{bmatrix} 20{.}000 & 0 & 0 \\ 0 & 15{.}000 & 0 \\ 0 & 0 & 30{.}000 \end{bmatrix}
```
```math
R = DT = \begin{bmatrix} 940{.}000 \\ 750{.}000 \\ 1{.}500{.}000 \end{bmatrix}
```
Die Matrix $$R$$ enthält damit den Umsatz je Produkt: $$\text{Rp }940{.}000$$ für Tempeh-Chips, $$\text{Rp }750{.}000$$ für Bananenchips und $$\text{Rp }1{.}500{.}000$$ für Kartoffelchips.
Visible text: Die Matrix enthält damit den Umsatz je Produkt: für Tempeh-Chips, für Bananenchips und für Kartoffelchips.
Es reicht also nicht, nur die Dimensionen abzugleichen. Bei einem sinnvollen Matrixprodukt müssen auch die Größen in den inneren Dimensionen dieselben Kategorien in derselben Reihenfolge beschreiben.
Hier liefern $$Q^T$$ und $$P$$ den Ertrag je Standort in $$S$$, während die diagonale Preismatrix und die Produktsummen den Ertrag je Produkt in $$R$$ ergeben. Das sind verschiedene Fragen und deshalb verschiedene Produkte.
Visible text: Hier liefern und den Ertrag je Standort in , während die diagonale Preismatrix und die Produktsummen den Ertrag je Produkt in ergeben. Das sind verschiedene Fragen und deshalb verschiedene Produkte.
## Übungen
Gegeben sind die folgenden Matrizen:
Component: MathContainer
Children:
```math
C = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}
```
```math
D = \begin{bmatrix} 1 & -4 \\ 8 & 2 \end{bmatrix}
```
Bestimme die Matrizen $$CD$$ und $$DC$$.
Visible text: Bestimme die Matrizen und .
Ist $$CD = DC$$?
Visible text: Ist ?
### Ausführliche Lösungen
1. Berechnung von $$CD$$:
Die Matrix $$C$$ hat das Format $$2 \times 2$$, ebenso $$D$$ mit $$2 \times 2$$. Das Ergebnis hat das Format $$2 \times 2$$.
```math
CD = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -4 \\ 8 & 2 \end{bmatrix}
```
```math
CD = \begin{bmatrix} (1)(1) + (-3)(8) & (1)(-4) + (-3)(2) \\ (1)(1) + (2)(8) & (1)(-4) + (2)(2) \end{bmatrix}
```
```math
CD = \begin{bmatrix} 1 - 24 & -4 - 6 \\ 1 + 16 & -4 + 4 \end{bmatrix}
```
```math
CD = \begin{bmatrix} -23 & -10 \\ 17 & 0 \end{bmatrix}
```
2. Berechnung von $$DC$$:
Die Matrix $$D$$ hat das Format $$2 \times 2$$, ebenso $$C$$ mit $$2 \times 2$$. Das Ergebnis hat das Format $$2 \times 2$$.
```math
DC = \begin{bmatrix} 1 & -4 \\ 8 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}
```
```math
DC = \begin{bmatrix} (1)(1) + (-4)(1) & (1)(-3) + (-4)(2) \\ (8)(1) + (2)(1) & (8)(-3) + (2)(2) \end{bmatrix}
```
```math
DC = \begin{bmatrix} 1 - 4 & -3 - 8 \\ 8 + 2 & -24 + 4 \end{bmatrix}
```
```math
DC = \begin{bmatrix} -3 & -11 \\ 10 & -20 \end{bmatrix}
```
Visible text: 1. Berechnung von :
Die Matrix hat das Format , ebenso mit . Das Ergebnis hat das Format .
2. Berechnung von :
Die Matrix hat das Format , ebenso mit . Das Ergebnis hat das Format .
Aus den obigen Ergebnissen geht klar hervor, dass $$CD = \begin{bmatrix} -23 & -10 \\ 17 & 0 \end{bmatrix}$$ und $$DC = \begin{bmatrix} -3 & -11 \\ 10 & -20 \end{bmatrix}$$.
Visible text: Aus den obigen Ergebnissen geht klar hervor, dass und .
Also $$CD \neq DC$$. Dies ist ein weiteres Beispiel dafür, dass die Matrixmultiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ ist.
Visible text: Also . Dies ist ein weiteres Beispiel dafür, dass die Matrixmultiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ ist.