# Matrixsubtraktion
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Subtrahiere Matrizen eintragsweise, deute die Subtraktion als Addition der Gegenmatrix und prüfe dein Verständnis an vollständig gelösten Aufgaben.
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## Was ist Matrixsubtraktion?
Bei der Matrixsubtraktion werden die Einträge zweier Matrizen voneinander abgezogen. Wie bei der Addition müssen beide Matrizen gleich viele Zeilen und Spalten haben.
Das Ergebnis ist eine Matrix desselben Formats. Jeder ihrer Einträge entsteht aus der Differenz der Einträge an derselben Position.
## Formale Definition der Matrixsubtraktion
Die Matrixsubtraktion lässt sich auf zwei gleichwertige Arten beschreiben.
**Subtraktion als Addition der Gegenmatrix**
Subtrahiert man die Matrix $$B$$ von der Matrix $$A$$, kann man stattdessen $$A$$ und die Gegenmatrix von $$B$$, also $$-B$$, addieren.
Visible text: Subtrahiert man die Matrix von der Matrix , kann man stattdessen und die Gegenmatrix von , also , addieren.
```math
A - B = A + (-B)
```
Die Matrix $$-B$$ entsteht, indem man jeden Eintrag von $$B$$ mit $$-1$$ multipliziert. Aus $$B = [b_{ij}]$$ wird daher $$-B = [-b_{ij}]$$.
Visible text: Die Matrix entsteht, indem man jeden Eintrag von mit multipliziert. Aus wird daher .
**Subtraktion entsprechender Elemente**
Haben die Matrizen $$A = [a_{ij}]$$ und $$B = [b_{ij}]$$ beide das Format $$m \times n$$, dann hat auch ihre Differenz $$C = A - B$$ das Format $$m \times n$$.
Visible text: Haben die Matrizen und beide das Format , dann hat auch ihre Differenz das Format .
Jeder Eintrag $$c_{ij}$$ der Matrix $$C$$ entsteht, indem man den Eintrag von $$B$$ vom Eintrag von $$A$$ an derselben Position abzieht:
Visible text: Jeder Eintrag der Matrix entsteht, indem man den Eintrag von vom Eintrag von an derselben Position abzieht:
```math
c_{ij} = a_{ij} - b_{ij}
```
Es werden also nur Einträge aus derselben Zeile und Spalte miteinander verrechnet.
Beide Definitionen sind gleichwertig und erzeugen dieselbe Differenzmatrix.
## So subtrahiert man Matrizen
Die Rechnung folgt drei Schritten:
1. **Format prüfen**: Beide Matrizen müssen gleich viele Zeilen und Spalten haben. Bei unterschiedlichen Formaten ist die Subtraktion nicht definiert.
2. **Zugehörige Einträge subtrahieren**: Ziehe jeden Eintrag der zweiten Matrix, den Subtrahenden, vom Eintrag an derselben Position in der ersten Matrix ab.
3. **Ergebnismatrix bilden**: Ordne die berechneten Differenzen an ihren ursprünglichen Positionen an. Die Ergebnismatrix hat dasselbe Format wie die Ausgangsmatrizen.
Visible text: 1. **Format prüfen**: Beide Matrizen müssen gleich viele Zeilen und Spalten haben. Bei unterschiedlichen Formaten ist die Subtraktion nicht definiert.
2. **Zugehörige Einträge subtrahieren**: Ziehe jeden Eintrag der zweiten Matrix, den Subtrahenden, vom Eintrag an derselben Position in der ersten Matrix ab.
3. **Ergebnismatrix bilden**: Ordne die berechneten Differenzen an ihren ursprünglichen Positionen an. Die Ergebnismatrix hat dasselbe Format wie die Ausgangsmatrizen.
### Beispiel für Matrixsubtraktion
Betrachten wir die beiden Matrizen $$P$$ und $$Q$$:
Visible text: Betrachten wir die beiden Matrizen und :
Component: MathContainer
Children:
```math
P = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ 3 & 7 \end{bmatrix}
```
```math
Q = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}
```
Beide haben das Format $$2 \times 2$$ und können daher subtrahiert werden.
Visible text: Beide haben das Format und können daher subtrahiert werden.
Zuerst subtrahieren wir die zugehörigen Einträge:
Component: MathContainer
Children:
```math
P - Q = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ 3 & 7 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}
```
```math
= \begin{bmatrix} 8-2 & 5-1 \\ 3-(-1) & 7-4 \end{bmatrix}
```
```math
= \begin{bmatrix} 6 & 4 \\ 3+1 & 3 \end{bmatrix}
```
```math
= \begin{bmatrix} 6 & 4 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}
```
Dasselbe Ergebnis erhält man durch Addition der Gegenmatrix ($$P + (-Q)$$):
Visible text: Dasselbe Ergebnis erhält man durch Addition der Gegenmatrix ():
Zunächst bestimmen wir $$-Q$$:
Visible text: Zunächst bestimmen wir :
```math
-Q = \begin{bmatrix} -2 & -1 \\ -(-1) & -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & -1 \\ 1 & -4 \end{bmatrix}
```
Anschließend addieren wir $$P$$ und $$-Q$$:
Visible text: Anschließend addieren wir und :
Component: MathContainer
Children:
```math
P + (-Q) = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ 3 & 7 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 & -1 \\ 1 & -4 \end{bmatrix}
```
```math
= \begin{bmatrix} 8+(-2) & 5+(-1) \\ 3+1 & 7+(-4) \end{bmatrix}
```
```math
= \begin{bmatrix} 6 & 4 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}
```
Beide Methoden ergeben die gleiche Matrix.
### Beispiel für Matrizen, die nicht subtrahiert werden können
Betrachten wir die Matrix $$K = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 5 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$$ und die Matrix $$L = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 7 \end{bmatrix}$$.
Visible text: Betrachten wir die Matrix und die Matrix .
Die Matrix $$K$$ hat das Format $$3 \times 2$$, die Matrix $$L$$ dagegen $$2 \times 2$$. Wegen der unterschiedlichen Formate sind sowohl $$K-L$$ als auch $$L-K$$ nicht definiert.
Visible text: Die Matrix hat das Format , die Matrix dagegen . Wegen der unterschiedlichen Formate sind sowohl als auch nicht definiert.
## Eigenschaften der Matrixsubtraktion
Im Gegensatz zur Matrixaddition, die über mehrere wichtige Eigenschaften wie Kommutativität und Assoziativität verfügt, besitzt die Matrixsubtraktion diese Eigenschaften im Allgemeinen nicht.
1. **Nicht kommutativ**: Die Reihenfolge der Matrizen beeinflusst das Ergebnis. Im Allgemeinen ist $$A - B$$ nicht gleich $$B - A$$, außer in Sonderfällen wie $$A=B$$.
```math
A - B \neq B - A \quad (\text{im Allgemeinen})
```
Für die Matrizen $$P$$ und $$Q$$ aus dem Beispiel gilt:
$$P-Q = \begin{bmatrix} 6 & 4 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$$
In umgekehrter Reihenfolge ergibt sich:
```math
Q-P = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ 3 & 7 \end{bmatrix}
```
```math
= \begin{bmatrix} 2-8 & 1-5 \\ -1-3 & 4-7 \end{bmatrix}
```
```math
= \begin{bmatrix} -6 & -4 \\ -4 & -3 \end{bmatrix}
```
Es ist klar, dass $$P-Q \neq Q-P$$.
2. **Nicht assoziativ**: Auch die Klammerung verändert das Ergebnis. Im Allgemeinen ist $$(A - B) - C$$ nicht gleich $$A - (B - C)$$.
```math
(A - B) - C \neq A - (B - C) \quad (\text{im Allgemeinen})
```
Dies liegt daran, dass $$(A - B) - C = A - B - C$$, wohingegen $$A - (B - C) = A - B + C$$.
Visible text: 1. **Nicht kommutativ**: Die Reihenfolge der Matrizen beeinflusst das Ergebnis. Im Allgemeinen ist nicht gleich , außer in Sonderfällen wie .
Für die Matrizen und aus dem Beispiel gilt:
In umgekehrter Reihenfolge ergibt sich:
Es ist klar, dass .
2. **Nicht assoziativ**: Auch die Klammerung verändert das Ergebnis. Im Allgemeinen ist nicht gleich .
Dies liegt daran, dass , wohingegen .
Entscheidend ist deshalb die Beziehung zur Addition: $$A - B = A + (-B)$$.
Visible text: Entscheidend ist deshalb die Beziehung zur Addition: .
Schreibt man die Subtraktion als Addition der Gegenmatrix, lassen sich die bekannten Additionsregeln anwenden.
## Übungen
**Problem** $$1$$
Visible text: **Problem**
Gegeben sind die folgenden Matrizen:
Component: MathContainer
Children:
```math
M = \begin{bmatrix} 4 & -2 & 0 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix}
```
```math
N = \begin{bmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 6 & 0 & 7 \end{bmatrix}
```
Bestimme $$M-N$$.
Visible text: Bestimme .
**Problem** $$2$$
Visible text: **Problem**
Bestimme $$x, y,$$ und $$z$$ aus der folgenden Matrixgleichung:
Visible text: Bestimme und aus der folgenden Matrixgleichung:
```math
\begin{bmatrix} 2x & 7 \\ y-1 & 5 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & z \\ 4 & -2x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 10 \\ -3 & 13 \end{bmatrix}
```
**Problem** $$3$$
Visible text: **Problem**
Gegeben sind drei Matrizen:
Component: MathContainer
Children:
```math
A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
```
```math
B = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}
```
```math
C = \begin{bmatrix} -4 & 0 \\ 2 & -3 \end{bmatrix}
```
Berechne $$(A-B)-C$$ und $$A-(B-C)$$. Sind die Ergebnisse gleich?
Visible text: Berechne und . Sind die Ergebnisse gleich?
### Ausführliche Lösungen
**Problem** $$1$$
Visible text: **Problem**
Gegeben:
Component: MathContainer
Children:
```math
M = \begin{bmatrix} 4 & -2 & 0 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix}
```
```math
N = \begin{bmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 6 & 0 & 7 \end{bmatrix}
```
Dann ist $$M-N$$:
Visible text: Dann ist :
Component: MathContainer
Children:
```math
M-N = \begin{bmatrix} 4 & -2 & 0 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 6 & 0 & 7 \end{bmatrix}
```
```math
= \begin{bmatrix} 4-(-1) & -2-1 & 0-(-2) \\ 1-6 & 5-0 & 3-7 \end{bmatrix}
```
```math
= \begin{bmatrix} 4+1 & -3 & 0+2 \\ -5 & 5 & -4 \end{bmatrix}
```
```math
= \begin{bmatrix} 5 & -3 & 2 \\ -5 & 5 & -4 \end{bmatrix}
```
**Problem** $$2$$
Visible text: **Problem**
Gegeben sei die Matrixgleichung:
```math
\begin{bmatrix} 2x & 7 \\ y-1 & 5 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & z \\ 4 & -2x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 10 \\ -3 & 13 \end{bmatrix}
```
Auf der linken Seite wird eintragsweise subtrahiert:
Component: MathContainer
Children:
```math
\begin{bmatrix} 2x-3 & 7-z \\ (y-1)-4 & 5-(-2x) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 10 \\ -3 & 13 \end{bmatrix}
```
```math
\begin{bmatrix} 2x-3 & 7-z \\ y-5 & 5+2x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 10 \\ -3 & 13 \end{bmatrix}
```
Aus der Gleichheit zweier Matrizen folgt, dass die entsprechenden Einträge übereinstimmen müssen:
Aus dem Element in Zeile $$1$$, Spalte $$1$$: $$2x-3 = 5$$
Visible text: Aus dem Element in Zeile , Spalte :
Component: MathContainer
Children:
```math
2x = 5+3
```
```math
2x = 8
```
```math
x = 4
```
Aus dem Element in Zeile $$1$$, Spalte $$2$$: $$7-z = 10$$
Visible text: Aus dem Element in Zeile , Spalte :
Component: MathContainer
Children:
```math
-z = 10-7
```
```math
-z = 3
```
```math
z = -3
```
Aus dem Element in Zeile $$2$$, Spalte $$1$$: $$y-5 = -3$$
Visible text: Aus dem Element in Zeile , Spalte :
Component: MathContainer
Children:
```math
y = -3+5
```
```math
y = 2
```
Aus dem Element in Zeile $$2$$, Spalte $$2$$: $$5+2x = 13$$.
Visible text: Aus dem Element in Zeile , Spalte : .
Setzt man $$x=4$$ aus der ersten Gleichung ein, erhält man $$5+2(4) = 13$$.
Visible text: Setzt man aus der ersten Gleichung ein, erhält man .
Der gemeinsame Wert $$13$$ unten rechts bestätigt damit den Wert von $$x$$, statt eine weitere Unbekannte zu liefern.
Visible text: Der gemeinsame Wert unten rechts bestätigt damit den Wert von , statt eine weitere Unbekannte zu liefern.
Die Lösung lautet also $$x=4$$, $$y=2$$ und $$z=-3$$.
Visible text: Die Lösung lautet also , und .
Durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung lassen sich alle vier zugehörigen Einträge überprüfen.
**Problem** $$3$$
Visible text: **Problem**
Gegeben:
Component: MathContainer
Children:
```math
A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
```
```math
B = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}
```
```math
C = \begin{bmatrix} -4 & 0 \\ 2 & -3 \end{bmatrix}
```
Berechne zuerst $$(A-B)-C$$:
Visible text: Berechne zuerst :
Zuerst $$A-B$$:
Visible text: Zuerst :
Component: MathContainer
Children:
```math
A-B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}
```
```math
= \begin{bmatrix} 1-3 & 0-(-2) \\ 0-5 & 1-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ -5 & 0 \end{bmatrix}
```
Dann $$(A-B)-C$$:
Visible text: Dann :
Component: MathContainer
Children:
```math
(A-B)-C = \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ -5 & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -4 & 0 \\ 2 & -3 \end{bmatrix}
```
```math
= \begin{bmatrix} -2-(-4) & 2-0 \\ -5-2 & 0-(-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2+4 & 2 \\ -7 & 0+3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ -7 & 3 \end{bmatrix}
```
Berechne danach $$A-(B-C)$$:
Visible text: Berechne danach :
Zuerst $$B-C$$:
Visible text: Zuerst :
Component: MathContainer
Children:
```math
B-C = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 5 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -4 & 0 \\ 2 & -3 \end{bmatrix}
```
```math
= \begin{bmatrix} 3-(-4) & -2-0 \\ 5-2 & 1-(-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3+4 & -2 \\ 3 & 1+3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & -2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}
```
Dann $$A-(B-C)$$:
Visible text: Dann :
Component: MathContainer
Children:
```math
A-(B-C) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 7 & -2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}
```
```math
= \begin{bmatrix} 1-7 & 0-(-2) \\ 0-3 & 1-4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 & 2 \\ -3 & -3 \end{bmatrix}
```
Die Ergebnisse sind nicht die gleichen: $$\begin{bmatrix} 2 & 2 \\ -7 & 3 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} -6 & 2 \\ -3 & -3 \end{bmatrix}$$.
Visible text: Die Ergebnisse sind nicht die gleichen: .
Dies zeigt, dass die Matrixsubtraktion nicht assoziativ ist.