# Sarrus-Methode > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/matrizen/satz-von-sarrus Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/matrix/sarrus-method/de.mdx So berechnest du die Determinante einer 3-mal-3-Matrix mit den positiven und negativen Diagonalen der Sarrus-Methode. --- ## Grundkonzept der Sarrus-Methode Die Sarrus-Methode ist ein schnelles Verfahren für die Determinante einer $$3 \times 3$$-Matrix. Um ihr Vorzeichenmuster zu verstehen, erinnern wir uns zunächst an die Determinante einer $$2 \times 2$$-Matrix. Visible text: Die Sarrus-Methode ist ein schnelles Verfahren für die Determinante einer -Matrix. Um ihr Vorzeichenmuster zu verstehen, erinnern wir uns zunächst an die Determinante einer -Matrix. Für eine $$2 \times 2$$-Matrix gilt: Visible text: Für eine -Matrix gilt: ```math M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} ``` Ihre Determinante $$\det(M)$$ oder $$|M|$$ wird so berechnet: Visible text: Ihre Determinante oder wird so berechnet: ```math \det(M) = ad - bc ``` Wir ziehen also das Produkt der Gegendiagonale ($$bc$$) vom Produkt der Hauptdiagonale ($$ad$$) ab. Die Sarrus-Methode überträgt dieses Vorzeichenmuster auf $$3 \times 3$$-Matrizen. Visible text: Wir ziehen also das Produkt der Gegendiagonale () vom Produkt der Hauptdiagonale () ab. Die Sarrus-Methode überträgt dieses Vorzeichenmuster auf -Matrizen. ## Determinante mit der Sarrus-Methode berechnen Wir beginnen mit einer $$3 \times 3$$-Matrix $$A$$: Visible text: Wir beginnen mit einer -Matrix : ```math A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} ``` Das Element $$a_{ij}$$ steht in der $$i$$-ten Zeile und $$j$$-ten Spalte. Visible text: Das Element steht in der -ten Zeile und -ten Spalte. **Schritt** $$1$$: Die ersten beiden Spalten wiederholen Visible text: **Schritt** : Die ersten beiden Spalten wiederholen Wir schreiben die ersten beiden Spalten der Matrix $$A$$ noch einmal rechts neben die dritte Spalte: Visible text: Wir schreiben die ersten beiden Spalten der Matrix noch einmal rechts neben die dritte Spalte: ```math \begin{array}{|ccc|cc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{31} & a_{32} \end{array} ``` Dadurch werden die sechs Diagonalen sichtbar, deren Elemente wir multiplizieren. **Schritt** $$2$$: Produkte der positiven Diagonalen addieren Visible text: **Schritt** : Produkte der positiven Diagonalen addieren Wir multiplizieren die Elemente auf den drei Diagonalen von links oben nach rechts unten und addieren die Produkte. Diese Summe nennen wir $$D_{\text{positiv}}$$. Visible text: Wir multiplizieren die Elemente auf den drei Diagonalen von links oben nach rechts unten und addieren die Produkte. Diese Summe nennen wir . Component: MathContainer Children: ```math D_{\text{positiv}} = (a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33}) + (a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31}) + (a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32}) ``` Der erste Term ist das Produkt der Hauptdiagonale. Der zweite und dritte Term sind Produkte paralleler Diagonalen mit Elementen aus den kopierten Spalten. **Schritt** $$3$$: Produkte der negativen Diagonalen addieren Visible text: **Schritt** : Produkte der negativen Diagonalen addieren Danach multiplizieren wir die Elemente auf den drei Diagonalen von rechts oben nach links unten und addieren diese Produkte. Die Summe heißt $$D_{\text{negativ}}$$. Visible text: Danach multiplizieren wir die Elemente auf den drei Diagonalen von rechts oben nach links unten und addieren diese Produkte. Die Summe heißt . Component: MathContainer Children: ```math D_{\text{negativ}} = (a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31}) + (a_{11} \cdot a_{23} \cdot a_{32}) + (a_{12} \cdot a_{21} \cdot a_{33}) ``` Der erste Term ist das Produkt der Gegendiagonale. Der zweite und dritte Term stammen von den parallelen Diagonalen, die durch die wiederholten Spalten entstehen. **Schritt** $$4$$: Die Determinante bilden Visible text: **Schritt** : Die Determinante bilden Die Determinante der Matrix $$A$$, $$\det(A)$$, ist die Differenz zwischen $$D_{\text{positiv}}$$ und $$D_{\text{negativ}}$$: Visible text: Die Determinante der Matrix , , ist die Differenz zwischen und : ```math \det(A) = D_{\text{positiv}} - D_{\text{negativ}} ``` Wir setzen $$D_{\text{positiv}}$$ und $$D_{\text{negativ}}$$ ein: Visible text: Wir setzen und ein: ```math \det(A) = (a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}) - (a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33}) ``` Nach dem Auflösen der Klammer erhalten wir: ```math \det(A) = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} ``` ### Vollständig gerechnetes Zahlenbeispiel Berechne die Determinante der Matrix $$P$$: Visible text: Berechne die Determinante der Matrix : ```math P=\begin{bmatrix}1&3&2\\2&6&2\\5&9&4\end{bmatrix} ``` Wir halten die beiden Diagonalsummen bis zur letzten Subtraktion getrennt. So lässt sich das Vorzeichen leichter prüfen: Component: MathContainer Children: ```math D_+=(1)(6)(4)+(3)(2)(5)+(2)(2)(9)=24+30+36=90 ``` ```math D_-=(2)(6)(5)+(1)(2)(9)+(3)(2)(4)=60+18+24=102 ``` ```math \det(P)=D_+-D_-=90-102=-12 ``` Die Determinante ist $$-12$$. Eine Kofaktorentwicklung derselben Matrix liefert denselben Wert und dient als unabhängige Kontrolle. Visible text: Die Determinante ist . Eine Kofaktorentwicklung derselben Matrix liefert denselben Wert und dient als unabhängige Kontrolle. ### Das Diagonalmuster auf einen Blick Das vollständige Diagonalmuster lässt sich so darstellen: ```math \det(A) = \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right| ``` Wir wiederholen die ersten beiden Spalten und markieren die sechs Produkte: Component: MathContainer Children: ```math \begin{array}{ccc|cc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{31} & a_{32} \end{array} ``` ```math \begin{array}{l} \text{Positive Diagonalen} (\searrow): \\ \quad + (a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33}) \\ \quad + (a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31}) \\ \quad + (a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32}) \end{array} ``` ```math \begin{array}{l} \text{Negative Diagonalen} (\swarrow): \\ \quad - (a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31}) \\ \quad - (a_{11} \cdot a_{23} \cdot a_{32}) \quad (\text{aus } a_{11} \text{, Spalte 4}) \\ \quad - (a_{12} \cdot a_{21} \cdot a_{33}) \quad (\text{aus } a_{12} \text{, Spalte 5}) \end{array} ``` Damit lautet die vollständige Formel: ```math \det(A) = (a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}) - (a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33}) ``` ## Wichtige Einschränkung der Sarrus-Methode Die Sarrus-Methode gilt **nur für $$3 \times 3$$-Matrizen**. Die Rechnung für $$2 \times 2$$ oben erinnert lediglich an das Vorzeichenmuster der Diagonalen und ist kein weiterer Fall der Sarrus-Methode. Für größere Matrizen, etwa eine $$4 \times 4$$-Matrix, verwenden wir stattdessen die Kofaktorentwicklung oder eine Zeilenreduktion. Visible text: Die Sarrus-Methode gilt **nur für -Matrizen**. Die Rechnung für oben erinnert lediglich an das Vorzeichenmuster der Diagonalen und ist kein weiterer Fall der Sarrus-Methode. Für größere Matrizen, etwa eine -Matrix, verwenden wir stattdessen die Kofaktorentwicklung oder eine Zeilenreduktion. ## Übung mit vollständiger Lösung Berechne mit der Sarrus-Methode die Determinante von: ```math B=\begin{bmatrix}2&-1&3\\0&4&5\\1&2&-2\end{bmatrix} ``` Berechne zuerst beide Diagonalsummen und ziehe dann die negative von der positiven Diagonalsumme ab: Component: MathContainer Children: ```math D_+=(2)(4)(-2)+(-1)(5)(1)+(3)(0)(2)=-16-5+0=-21 ``` ```math D_-=(3)(4)(1)+(2)(5)(2)+(-1)(0)(-2)=12+20+0=32 ``` ```math \det(B)=D_+-D_-=-21-32=-53 ``` Damit gilt $$\det(B)=-53$$. Visible text: Damit gilt .