# Skalarmultiplikation von Matrizen
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Multipliziere jeden Matrixeintrag mit einem Skalar und nutze die Rechengesetze in Beispielen, Übungen und vollständigen Lösungen.
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## Skalarmultiplikation verstehen
Matrizen lassen sich nicht nur miteinander verknüpfen, sondern auch mit einer einzigen Zahl skalieren. Eine solche Zahl heißt **Skalar**.
Sind beispielsweise alle Einträge einer Messmatrix in Metern angegeben, werden beim Umrechnen der gesamten Tabelle in Zentimeter alle Einträge mit $$100$$ multipliziert. Die Skalarmultiplikation beschreibt diese einheitliche Änderung, ohne jede Rechnung einzeln neu anzusetzen.
Visible text: Sind beispielsweise alle Einträge einer Messmatrix in Metern angegeben, werden beim Umrechnen der gesamten Tabelle in Zentimeter alle Einträge mit multipliziert. Die Skalarmultiplikation beschreibt diese einheitliche Änderung, ohne jede Rechnung einzeln neu anzusetzen.
## Was ist eine Skalarmultiplikation?
Bei der Skalarmultiplikation wird jeder Eintrag einer Matrix mit einem Skalar multipliziert.
Für eine Matrix $$A$$ und einen Skalar $$k$$ bezeichnet $$k$$ mal $$A$$, geschrieben als $$kA$$, die Matrix, deren Einträge aus den entsprechenden Einträgen von $$A$$ mal $$k$$ entstehen.
Visible text: Für eine Matrix und einen Skalar bezeichnet mal , geschrieben als , die Matrix, deren Einträge aus den entsprechenden Einträgen von mal entstehen.
Hat $$A$$ das Format $$m \times n$$:
Visible text: Hat das Format :
```math
A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}
```
Dann ist die Multiplikation der Matrix $$A$$ mit dem Skalar $$k$$:
Visible text: Dann ist die Multiplikation der Matrix mit dem Skalar :
```math
kA = k \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k \cdot a_{11} & k \cdot a_{12} & \cdots & k \cdot a_{1n} \\ k \cdot a_{21} & k \cdot a_{22} & \cdots & k \cdot a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k \cdot a_{m1} & k \cdot a_{m2} & \cdots & k \cdot a_{mn} \end{bmatrix}
```
Die Ergebnismatrix $$kA$$ hat dasselbe Format wie $$A$$.
Visible text: Die Ergebnismatrix hat dasselbe Format wie .
Für eine positive ganze Zahl $$k$$ kann man die Skalarmultiplikation als wiederholte Addition deuten. So ist $$2A$$ dasselbe wie $$A + A$$. Addiert man $$A$$ genau $$k\text{-mal}$$, erhält man $$kA$$.
Visible text: Für eine positive ganze Zahl kann man die Skalarmultiplikation als wiederholte Addition deuten. So ist dasselbe wie . Addiert man genau , erhält man .
```math
\underbrace{A + A + \cdots + A}_{k\text{-mal}} = kA
```
## Beispiele zur Skalarmultiplikation
Zwei Beispiele zeigen die Rechnung Schritt für Schritt.
**Beispiel** $$1$$:
Visible text: **Beispiel** :
Gegeben ist die Matrix $$P$$:
Visible text: Gegeben ist die Matrix :
```math
P = \begin{bmatrix} 9 & 7 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}
```
Bestimme $$2P$$.
Visible text: Bestimme .
**Lösung:**
Um $$2P$$ zu berechnen, multiplizieren wir jedes Element der Matrix $$P$$ mit dem Skalar $$2$$.
Visible text: Um zu berechnen, multiplizieren wir jedes Element der Matrix mit dem Skalar .
```math
2P = 2 \begin{bmatrix} 9 & 7 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \times 9 & 2 \times 7 \\ 2 \times 3 & 2 \times 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 18 & 14 \\ 6 & 2 \end{bmatrix}
```
Das Ergebnis von $$2P$$ ist also $$\begin{bmatrix} 18 & 14 \\ 6 & 2 \end{bmatrix}$$.
Visible text: Das Ergebnis von ist also .
**Beispiel** $$2$$:
Visible text: **Beispiel** :
Gegeben sind die Matrix $$Q = \begin{bmatrix} -1 & \frac{1}{2} & 1 \\ 4 & -\frac{1}{4} & 2 \\ -6 & 1 & -4 \end{bmatrix}$$ und der Skalar $$k=4$$. Bestimme $$4Q$$.
Visible text: Gegeben sind die Matrix und der Skalar . Bestimme .
**Lösung:**
Wir multiplizieren jeden Eintrag von $$Q$$ mit $$4$$.
Visible text: Wir multiplizieren jeden Eintrag von mit .
Component: MathContainer
Children:
```math
4Q = 4 \begin{bmatrix} -1 & \frac{1}{2} & 1 \\ 4 & -\frac{1}{4} & 2 \\ -6 & 1 & -4 \end{bmatrix}
```
```math
= \begin{bmatrix} 4 \times (-1) & 4 \times \frac{1}{2} & 4 \times 1 \\ 4 \times 4 & 4 \times (-\frac{1}{4}) & 4 \times 2 \\ 4 \times (-6) & 4 \times 1 & 4 \times (-4) \end{bmatrix}
```
```math
= \begin{bmatrix} -4 & 2 & 4 \\ 16 & -1 & 8 \\ -24 & 4 & -16 \end{bmatrix}
```
Also $$4Q = \begin{bmatrix} -4 & 2 & 4 \\ 16 & -1 & 8 \\ -24 & 4 & -16 \end{bmatrix}$$.
Visible text: Also .
## Eigenschaften der Matrix-Skalarmultiplikation
Für Matrizen $$A$$ und $$B$$ desselben Formats, Skalare $$h$$ und $$k$$ sowie die Nullmatrix $$O$$ gelten folgende Rechenregeln.
Visible text: Für Matrizen und desselben Formats, Skalare und sowie die Nullmatrix gelten folgende Rechenregeln.
1. **Distributiv über Matrixaddition:**
```math
k(A + B) = kA + kB
```
Multipliziert man einen Skalar mit einer Summe von Matrizen, erhält man dasselbe Ergebnis wie beim Addieren
der beiden Skalarprodukte.
2. **Distributiv über Skalaraddition:**
```math
(h + k)A = hA + kA
```
Multipliziert man die Summe zweier Skalare mit einer Matrix, erhält man dasselbe Ergebnis wie beim
Addieren der beiden Skalarmultiplikationen.
3. **Assoziativ mit Skalarmultiplikation:**
```math
(hk)A = h(kA) = k(hA)
```
Das Produkt der beiden Skalare kann zuerst berechnet werden. Alternativ wird die Matrix nacheinander
mit beiden Skalaren multipliziert.
4. **Skalare Multiplikationsidentität:**
```math
1A = A
```
Die Multiplikation einer Matrix mit dem Skalar $$1$$ verändert die Matrix nicht.
5. **Multiplikation mit Nullskalar:**
```math
0A = O
```
Die Multiplikation einer Matrix mit dem Skalar $$0$$ führt zur Nullmatrix ($$O$$), einer Matrix, in der alle Elemente $$0$$ sind.
6. **Multiplikation der Nullmatrix mit einem Skalar:**
```math
kO = O
```
Die Multiplikation der Nullmatrix mit einem beliebigen Skalar ergibt die Nullmatrix.
7. **Multiplikation mit Skalar $$-1$$:**
```math
(-1)A = -A
```
Die Multiplikation einer Matrix mit dem Skalar $$-1$$ ergibt ihre Gegenmatrix.
Visible text: 1. **Distributiv über Matrixaddition:**
Multipliziert man einen Skalar mit einer Summe von Matrizen, erhält man dasselbe Ergebnis wie beim Addieren
der beiden Skalarprodukte.
2. **Distributiv über Skalaraddition:**
Multipliziert man die Summe zweier Skalare mit einer Matrix, erhält man dasselbe Ergebnis wie beim
Addieren der beiden Skalarmultiplikationen.
3. **Assoziativ mit Skalarmultiplikation:**
Das Produkt der beiden Skalare kann zuerst berechnet werden. Alternativ wird die Matrix nacheinander
mit beiden Skalaren multipliziert.
4. **Skalare Multiplikationsidentität:**
Die Multiplikation einer Matrix mit dem Skalar verändert die Matrix nicht.
5. **Multiplikation mit Nullskalar:**
Die Multiplikation einer Matrix mit dem Skalar führt zur Nullmatrix (), einer Matrix, in der alle Elemente sind.
6. **Multiplikation der Nullmatrix mit einem Skalar:**
Die Multiplikation der Nullmatrix mit einem beliebigen Skalar ergibt die Nullmatrix.
7. **Multiplikation mit Skalar :**
Die Multiplikation einer Matrix mit dem Skalar ergibt ihre Gegenmatrix.
Diese Eigenschaften tragen dazu bei, Berechnungen zu vereinfachen und ein tieferes Verständnis der Matrixalgebra zu ermöglichen.
## Übungen
1. Gegeben ist die Matrix $$X = \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ 0 & 4 \\ -1 & 7 \end{bmatrix}$$. Berechne $$3X$$.
2. Für $$Y = \begin{bmatrix} 10 & 20 \\ -30 & 0 \end{bmatrix}$$ soll $$\frac{1}{10}Y$$ bestimmt werden.
3. Gegeben sind die Matrizen $$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$ und $$B = \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 6 & -2 \end{bmatrix}$$. Zeige, dass $$3(A+B) = 3A + 3B$$ gilt.
Visible text: 1. Gegeben ist die Matrix . Berechne .
2. Für soll bestimmt werden.
3. Gegeben sind die Matrizen und . Zeige, dass gilt.
### Ausführliche Lösungen
1. Lösung:
```math
3X = 3 \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ 0 & 4 \\ -1 & 7 \end{bmatrix}
```
```math
= \begin{bmatrix} 3 \times 5 & 3 \times (-2) \\ 3 \times 0 & 3 \times 4 \\ 3 \times (-1) & 3 \times 7 \end{bmatrix}
```
```math
= \begin{bmatrix} 15 & -6 \\ 0 & 12 \\ -3 & 21 \end{bmatrix}
```
2. Lösung:
```math
\frac{1}{10}Y = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 10 & 20 \\ -30 & 0 \end{bmatrix}
```
```math
= \begin{bmatrix} \frac{1}{10} \times 10 & \frac{1}{10} \times 20 \\ \frac{1}{10} \times (-30) & \frac{1}{10} \times 0 \end{bmatrix}
```
```math
= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 0 \end{bmatrix}
```
3. Zum Nachweis von $$3(A+B) = 3A + 3B$$ berechnen wir beide Seiten:
Zunächst berechnen wir die linke Seite, $$3(A+B)$$.
```math
A+B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 6 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2+0 & 1+5 \\ 3+6 & 4+(-2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 9 & 2 \end{bmatrix}
```
Dann,
```math
3(A+B) = 3 \begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 9 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 18 \\ 27 & 6 \end{bmatrix}
```
Anschließend folgt die rechte Seite, $$3A + 3B$$.
```math
3A = 3 \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ 9 & 12 \end{bmatrix}
```
```math
3B = 3 \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 6 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 15 \\ 18 & -6 \end{bmatrix}
```
Dann,
```math
3A + 3B = \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ 9 & 12 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 15 \\ 18 & -6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6+0 & 3+15 \\ 9+18 & 12+(-6) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 18 \\ 27 & 6 \end{bmatrix}
```
Da das Ergebnis der Berechnung auf der linken Seite ($$\begin{bmatrix} 6 & 18 \\ 27 & 6 \end{bmatrix}$$) das gleiche ist wie das Ergebnis der Berechnung auf der rechten Seite ($$\begin{bmatrix} 6 & 18 \\ 27 & 6 \end{bmatrix}$$), ist bewiesen, dass $$3(A+B) = 3A + 3B$$.
Visible text: 1. Lösung:
2. Lösung:
3. Zum Nachweis von berechnen wir beide Seiten:
Zunächst berechnen wir die linke Seite, .
Dann,
Anschließend folgt die rechte Seite, .
Dann,
Da das Ergebnis der Berechnung auf der linken Seite () das gleiche ist wie das Ergebnis der Berechnung auf der rechten Seite (), ist bewiesen, dass .