# Transponierte einer Matrix > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/matrizen/transponierte-matrix Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/matrix/matrix-transpose/de.mdx Vertausche Zeilen und Spalten einer Matrix und nutze die Eigenschaften der Transponierten in vollständig gelösten Beispielen. --- ## Was ist die Transponierte einer Matrix? Die Transponierte entsteht, wenn man die Zeilen und Spalten einer Matrix vertauscht. Jede Zeile der ursprünglichen Matrix wird zu einer Spalte der neuen Matrix und jede Spalte zu einer Zeile. Wenn wir eine Matrix $$A$$ haben, dann wird die Transponierte der Matrix $$A$$ normalerweise mit $$A^T$$ oder bezeichnet. Visible text: Wenn wir eine Matrix haben, dann wird die Transponierte der Matrix normalerweise mit oder bezeichnet. Hat die Matrix $$A$$ das Format $$m \times n$$ und steht $$a_{ij}$$ in der $$i$$-ten Zeile und $$j$$-ten Spalte, dann hat $$A^T$$ das Format $$n \times m$$ und es gilt $$(A^T)_{ji} = a_{ij}$$. Visible text: Hat die Matrix das Format und steht in der -ten Zeile und -ten Spalte, dann hat das Format und es gilt . Dies bedeutet, dass das Element in der $$j$$-ten Zeile und $$i$$-ten Spalte von $$A^T$$ das gleiche ist wie das Element in der $$i$$-ten Zeile und $$j$$-ten Spalte von $$A$$. Visible text: Dies bedeutet, dass das Element in der -ten Zeile und -ten Spalte von das gleiche ist wie das Element in der -ten Zeile und -ten Spalte von . ## So wird eine Matrix transponiert So entsteht die transponierte Matrix: 1. Schreibe die erste Zeile der ursprünglichen Matrix als erste Spalte der Transponierten. 2. Schreibe die zweite Zeile als zweite Spalte. 3. Wiederhole den Vorgang für alle übrigen Zeilen. Visible text: 1. Schreibe die erste Zeile der ursprünglichen Matrix als erste Spalte der Transponierten. 2. Schreibe die zweite Zeile als zweite Spalte. 3. Wiederhole den Vorgang für alle übrigen Zeilen. ### Allgemeine Matrix Angenommen, wir haben die Matrix $$A$$: Visible text: Angenommen, wir haben die Matrix : ```math A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} ``` Dann ist die Transponierte der Matrix $$A$$: Visible text: Dann ist die Transponierte der Matrix : ```math A^T = \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} ``` Die erste Zeile $$\begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix}$$ wird zur ersten Spalte $$\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$$. Entsprechend wird die zweite Zeile $$\begin{bmatrix} c & d \end{bmatrix}$$ zur zweiten Spalte $$\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}$$. Visible text: Die erste Zeile wird zur ersten Spalte . Entsprechend wird die zweite Zeile zur zweiten Spalte . ### Matrix mit anderem Format Gegeben ist die Matrix $$B$$ im Format $$2 \times 3$$: Visible text: Gegeben ist die Matrix im Format : ```math B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} ``` Die Transponierte der Matrix $$B$$, also $$B^T$$, hat das Format $$3 \times 2$$: Visible text: Die Transponierte der Matrix , also , hat das Format : ```math B^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} ``` - Die erste Zeile von $$B$$ ($$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$$) wird zur ersten Spalte von $$B^T$$. - Die zweite Zeile von $$B$$ ($$\begin{bmatrix} 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$$) wird zur zweiten Spalte von $$B^T$$. Visible text: - Die erste Zeile von () wird zur ersten Spalte von . - Die zweite Zeile von () wird zur zweiten Spalte von . ### Spaltenmatrix zur Zeilenmatrix Wenn $$C$$ eine Spaltenmatrix ist: Visible text: Wenn eine Spaltenmatrix ist: ```math C = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} ``` Dann ist ihre Transponierte, $$C^T$$, eine Zeilenmatrix: Visible text: Dann ist ihre Transponierte, , eine Zeilenmatrix: ```math C^T = \begin{bmatrix} 2 & 3 \end{bmatrix} ``` ### Transponierte einer Quadratmatrix Gegeben sei eine quadratische Matrix $$D$$: Visible text: Gegeben sei eine quadratische Matrix : ```math D = \begin{bmatrix} -7 & 8 & 1 & 3 \\ 5 & 9 & 7 & 2 \\ 2 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & -6 & 0 & 1 \end{bmatrix} ``` Dann ist ihre Transponierte, $$D^T$$, ebenfalls eine quadratische Matrix: Visible text: Dann ist ihre Transponierte, , ebenfalls eine quadratische Matrix: ```math D^T = \begin{bmatrix} -7 & 5 & 2 & 1 \\ 8 & 9 & 2 & -6 \\ 1 & 7 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 3 & 1 \end{bmatrix} ``` ## Eigenschaften der Matrixtransponierung Einige wichtige Eigenschaften der Matrixtransponierung sind: 1. $$(A^T)^T = A$$ (Wird eine Matrix zweimal transponiert, erhält man die ursprüngliche Matrix.) 2. $$(A + B)^T = A^T + B^T$$ (Transponierte der Summe zweier Matrizen) 3. $$(A - B)^T = A^T - B^T$$ (Transponierte der Differenz zweier Matrizen) 4. $$(kA)^T = kA^T$$, wobei $$k$$ ein Skalar ist 5. $$(AB)^T = B^T A^T$$ (Beim Transponieren eines Produkts kehrt sich die Reihenfolge der Faktoren um.) Visible text: 1. (Wird eine Matrix zweimal transponiert, erhält man die ursprüngliche Matrix.) 2. (Transponierte der Summe zweier Matrizen) 3. (Transponierte der Differenz zweier Matrizen) 4. , wobei ein Skalar ist 5. (Beim Transponieren eines Produkts kehrt sich die Reihenfolge der Faktoren um.) ## Übungen Bestimme die Transponierte der folgenden Matrizen und gib den Typ der Ergebnismatrix an, zum Beispiel Zeilenmatrix, Spaltenmatrix oder Quadratmatrix. 1. $$A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & -5 \end{bmatrix}$$ 2. $$B = \begin{bmatrix} 9 & -1 \\ 3 & 0 \\ 1 & 5 \end{bmatrix}$$ 3. $$C = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 6 & -2 \\ 4 & 5 & -7 \end{bmatrix}$$ Visible text: 1. 2. 3. ### Ausführliche Lösungen 1. $$A^T = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ -5 \end{bmatrix}$$ Die einzige Zeile von $$A$$ wird zu einer Spalte. Somit hat $$A^T$$ das Format $$3 \times 1$$ und ist eine Spaltenmatrix. 2. $$B^T = \begin{bmatrix} 9 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 5 \end{bmatrix}$$ Jede Zeile von $$B$$ wird zu einer Spalte von $$B^T$$. Das Format ändert sich von $$3 \times 2$$ zu $$2 \times 3$$. Das Ergebnis ist daher eine rechteckige Matrix. 3. $$C^T = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 3 & 6 & 5 \\ 1 & -2 & -7 \end{bmatrix}$$ Liest man die Spalten von $$C$$ als Zeilen von $$C^T$$, entsteht die oben angegebene Matrix. Ihr Format bleibt $$3 \times 3$$, daher ist sie weiterhin quadratisch. Visible text: 1. Die einzige Zeile von wird zu einer Spalte. Somit hat das Format und ist eine Spaltenmatrix. 2. Jede Zeile von wird zu einer Spalte von . Das Format ändert sich von zu . Das Ergebnis ist daher eine rechteckige Matrix. 3. Liest man die Spalten von als Zeilen von , entsteht die oben angegebene Matrix. Ihr Format bleibt , daher ist sie weiterhin quadratisch.