# Addition und Subtraktion von Polynomen

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Addiere und subtrahiere Polynome mit gleichartigen Termen, übersichtlichen Rechenschemata und einer grafischen Deutung.

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## Grundlegende Konzepte

Bei der Addition und Subtraktion von Polynomen gilt dieselbe Grundidee wie bei anderen algebraischen Ausdrücken: Nur **gleichartige Terme** lassen sich zusammenfassen.

### Was sind gleichartige Terme?

**Gleichartige Terme** enthalten genau dieselben Variablen mit denselben Exponenten. Nur ihre Koeffizienten dürfen verschieden sein.

**Beispiele für gleichartige Terme:**

- $$3x, \space -7x, \space -\frac{1}{5}x$$ enthalten alle die Variable $$x$$ mit dem Exponenten $$1$$.
- $$\frac{1}{2}x^3, \space 4x^3, \space -2x^3$$ enthalten alle die Variable $$x$$ mit dem Exponenten $$3$$.
- $$2x^2yz^3, \space \frac{3}{4}x^2yz^3, \space -5z^3x^2y$$ enthalten alle $$x$$ mit dem Exponenten $$2$$, $$y$$ mit dem Exponenten $$1$$ und $$z$$ mit dem Exponenten $$3$$. Die Reihenfolge der Faktoren spielt dabei keine Rolle.

Visible text: - enthalten alle die Variable mit dem Exponenten .
- enthalten alle die Variable mit dem Exponenten .
- enthalten alle mit dem Exponenten , mit dem Exponenten und mit dem Exponenten . Die Reihenfolge der Faktoren spielt dabei keine Rolle.

**Beispiele für nicht gleichartige Terme:**

- $$11x$$ und $$4x^2$$ haben unterschiedliche Exponenten von $$x$$.
- $$4x^3$$ und $$-2x^4$$ haben unterschiedliche Exponenten von $$x$$.
- $$4x^2$$ und $$-x^5$$ haben unterschiedliche Exponenten von $$x$$.
- In $$\frac{3}{4}x^2yz^3$$ und $$2x^2y$$ fehlt im zweiten Term der Faktor $$z^3$$.
- $$\frac{3}{4}x^2yz^3$$ und $$-7xy^2z^3$$ haben unterschiedliche Exponenten von $$x$$ und $$y$$.

Visible text: - und haben unterschiedliche Exponenten von .
- und haben unterschiedliche Exponenten von .
- und haben unterschiedliche Exponenten von .
- In und fehlt im zweiten Term der Faktor .
- und haben unterschiedliche Exponenten von und .

## Polynomaddition

Bei der Addition zweier Polynome werden **die Koeffizienten gleichartiger Terme addiert**, während ihre Variablenteile unverändert bleiben.

**Horizontale Methode:**

1.  Schreibe beide Polynome in Klammern und setze ein Pluszeichen dazwischen.
2.  Löse die Klammern auf.
3.  Ordne die gleichartigen Terme.
4.  Addiere ihre Koeffizienten mithilfe des Distributivgesetzes.

Visible text: 1. Schreibe beide Polynome in Klammern und setze ein Pluszeichen dazwischen.
2. Löse die Klammern auf.
3. Ordne die gleichartigen Terme.
4. Addiere ihre Koeffizienten mithilfe des Distributivgesetzes.

**Beispiel:**

Bestimme die Summe $$(2x^3 + 7x^2 + 3x + 5) + (6x^3 + 2x^2 + 4x + 1)$$.

Visible text: Bestimme die Summe .

Component: MathContainer
Children:

```math
(2x^3 + 7x^2 + 3x + 5) + (6x^3 + 2x^2 + 4x + 1)
```

```math
= 2x^3 + 7x^2 + 3x + 5 + 6x^3 + 2x^2 + 4x + 1 \quad \text{(Klammern entfernen)}
```

```math
= (2x^3 + 6x^3) + (7x^2 + 2x^2) + (3x + 4x) + (5 + 1) \quad \text{(gleichartige Terme zusammenfassen)}
```

```math
= (2 + 6)x^3 + (7 + 2)x^2 + (3 + 4)x + (5 + 1) \quad \text{(Distributivgesetz)}
```

```math
= 8x^3 + 9x^2 + 7x + 6 \quad \text{(Endergebnis)}
```

## Polynomsubtraktion

Bei der Subtraktion **wechseln zuerst alle Terme des zweiten Polynoms ihr Vorzeichen**. Danach werden die gleichartigen Terme wie bei einer Addition zusammengefasst.

**Horizontale Methode:**

1.  Schreibe beide Polynome in Klammern und setze ein Minuszeichen dazwischen.
2.  Löse die Klammern auf. **Achte darauf:** Das Minus vor der zweiten Klammer ändert das Vorzeichen jedes Terms darin.
3.  Ordne die gleichartigen Terme.
4.  Fasse ihre Koeffizienten zusammen.

Visible text: 1. Schreibe beide Polynome in Klammern und setze ein Minuszeichen dazwischen.
2. Löse die Klammern auf. **Achte darauf:** Das Minus vor der zweiten Klammer ändert das Vorzeichen jedes Terms darin.
3. Ordne die gleichartigen Terme.
4. Fasse ihre Koeffizienten zusammen.

**Beispiel:**

Bestimme die Differenz $$(9x^3 + 4x^2 + 6x + 5) - (2x^3 + 3x^2 + 3x + 4)$$.

Visible text: Bestimme die Differenz .

Component: MathContainer
Children:

```math
(9x^3 + 4x^2 + 6x + 5) - (2x^3 + 3x^2 + 3x + 4)
```

```math
= 9x^3 + 4x^2 + 6x + 5 - 2x^3 - 3x^2 - 3x - 4 \quad \text{(Vorzeichen ändern \& Klammern entfernen)}
```

```math
= (9x^3 - 2x^3) + (4x^2 - 3x^2) + (6x - 3x) + (5 - 4) \quad \text{(gleichartige Terme zusammenfassen)}
```

```math
= (9 - 2)x^3 + (4 - 3)x^2 + (6 - 3)x + (5 - 4) \quad \text{(Distributivgesetz)}
```

```math
= 7x^3 + 1x^2 + 3x + 1 \quad \text{(Endergebnis)}
```

```math
= 7x^3 + x^2 + 3x + 1
```

Merke: Beim Subtrahieren ändert das Minus vor der Klammer das Vorzeichen _jedes_ Terms in dieser Klammer.

## Vertikale Methode

Polynome lassen sich auch untereinander schreiben, ähnlich wie bei der schriftlichen Addition und Subtraktion von Zahlen.

**Schritte:**

1.  Schreibe beide Polynome untereinander.
2.  Ordne gleichartige Terme in derselben Spalte an.
3.  Fehlt ein Term, lasse die Stelle frei oder ergänze den Koeffizienten $$0$$.
4.  Addiere oder subtrahiere die Koeffizienten spaltenweise.

Visible text: 1. Schreibe beide Polynome untereinander.
2. Ordne gleichartige Terme in derselben Spalte an.
3. Fehlt ein Term, lasse die Stelle frei oder ergänze den Koeffizienten .
4. Addiere oder subtrahiere die Koeffizienten spaltenweise.

**Beispiel für vertikale Addition:**

```math
\begin{array}{rrrrr}
& 2x^3 & +7x^2 & +3x & +5 \\
+ & 6x^3 & +2x^2 & +4x & +1 \\
\hline
& 8x^3 & +9x^2 & +7x & +6
\end{array}
```

**Beispiel für vertikale Subtraktion:**

```math
\begin{array}{rrrrr}
& 9x^3 & +4x^2 & +6x & +5 \\
- & 2x^3 & +3x^2 & +3x & +4 \\
\hline
& 7x^3 & +1x^2 & +3x & +1
\end{array}
```

Beide Methoden liefern dasselbe Ergebnis. Nutze die Darstellung, bei der du die gleichartigen Terme am sichersten im Blick behältst.

## Grafische Addition und Subtraktion von Polynomfunktionen

Addition und Subtraktion von Polynomfunktionen lassen sich nicht nur algebraisch, sondern auch an ihren Graphen verstehen.

Angenommen, wir haben drei Graphen von Polynomfunktionen:

Component: ContentStack
Children:
Component: LineEquation
Props:
- title: Diagramm von $$f(x) = x + 1$$
  Visible text: Diagramm von
- description: Lineare Funktion vom Grad $$1$$
  Visible text: Lineare Funktion vom Grad
- showZAxis: false
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 51 }, (_, i) => {
const x = -2.5 + i * 0.1;
return { x, y: x + 1, z: 0 };
}),
color: "#0284c7",
showPoints: false,
},
]

Component: LineEquation
Props:
- title: Diagramm von $$g(x) = 0{,}5x^4 - 2x^2 + 1$$
  Visible text: Diagramm von
- description: Funktion vom Grad $$4$$
  Visible text: Funktion vom Grad
- showZAxis: false
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 51 }, (_, i) => {
const x = -2.5 + i * 0.1;
return { x, y: 0.5 * x ** 4 - 2 * x ** 2 + 1, z: 0 };
}),
color: "#65a30d",
showPoints: false,
},
]

Component: LineEquation
Props:
- title: Diagramm von $$h(x) = -0{,}5x^3 + 1{,}5x$$
  Visible text: Diagramm von
- description: Funktion vom Grad $$3$$
  Visible text: Funktion vom Grad
- showZAxis: false
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 51 }, (_, i) => {
const x = -2.5 + i * 0.1;
return { x, y: -0.5 * x ** 3 + 1.5 * x, z: 0 };
}),
color: "#d97706",
showPoints: false,
},
]

### Skizzierung des Summen- und Differenzdiagramms

Auch ohne die exakten Gleichungen der Funktionen $$f$$, $$g$$ und $$h$$ lässt sich der Graph ihrer Summe, etwa $$f(x) + g(x)$$, oder ihrer Differenz, etwa $$f(x) - g(x)$$, punktweise skizzieren:

Visible text: Auch ohne die exakten Gleichungen der Funktionen , und lässt sich der Graph ihrer Summe, etwa , oder ihrer Differenz, etwa , punktweise skizzieren:

1.  Wähle in beiden Graphen dieselben $$x$$-Werte.
2.  Lies zu jedem $$x$$ die beiden $$y$$-Werte ab. Nenne sie $$y_f = f(x)$$ und $$y_g = g(x)$$.
3.  **Für die Summe $$f(x) + g(x)$$:** Berechne $$y_{\text{neu}} = y_f + y_g$$.
4.  **Für die Differenz $$f(x) - g(x)$$:** Berechne $$y_{\text{neu}} = y_f - y_g$$.
5.  Trage den neuen Punkt $$(x, y_{\text{neu}})$$ ein.
6.  Wiederhole das Verfahren für weitere $$x$$-Werte.
7.  Verbinde die neuen Punkte mit einer glatten Kurve.

Visible text: 1. Wähle in beiden Graphen dieselben -Werte.
2. Lies zu jedem die beiden -Werte ab. Nenne sie und .
3. **Für die Summe :** Berechne .
4. **Für die Differenz :** Berechne .
5. Trage den neuen Punkt ein.
6. Wiederhole das Verfahren für weitere -Werte.
7. Verbinde die neuen Punkte mit einer glatten Kurve.

**Warum funktioniert das?**

Bei der Addition oder Subtraktion von Funktionen werden für jeden gemeinsamen Eingabewert $$x$$ genau die zugehörigen Ausgabewerte $$y$$ addiert oder subtrahiert.

Visible text: Bei der Addition oder Subtraktion von Funktionen werden für jeden gemeinsamen Eingabewert genau die zugehörigen Ausgabewerte addiert oder subtrahiert.

### Beispielskizzen

Hier sind Beispielskizzen der Diagramme, die sich aus der Summe $$f(x) + g(x)$$ und der Differenz $$f(x) - g(x)$$ ergeben, die durch vertikales Addieren oder Subtrahieren der $$y$$-Werte für jedes $$x$$ erhalten werden.

Visible text: Hier sind Beispielskizzen der Diagramme, die sich aus der Summe und der Differenz ergeben, die durch vertikales Addieren oder Subtrahieren der -Werte für jedes erhalten werden.

Component: ContentStack
Children:
Component: LineEquation
Props:
- title: Diagramm von $$f(x) + g(x)$$,{" "}
$$f(x) = x + 1$$, und{" "}
$$g(x) = 0{,}5x^4 - 2x^2 + 1$$
  Visible text: Diagramm von , 
, und
- description: Das Ergebnis von $$f(x) + g(x)$$ ist{" "}
$$x + 1 + 0{,}5x^4 - 2x^2 + 1$$
  Visible text: Das Ergebnis von ist
- showZAxis: false
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 51 }, (_, i) => {
const x = -2.5 + i * 0.1;
return { x, y: x + 1 + (0.5 * x ** 4 - 2 * x ** 2 + 1), z: 0 };
}),
color: "#7c3aed",
showPoints: false,
},
]

Component: LineEquation
Props:
- title: Diagramm von $$f(x) - g(x)$$,{" "}
$$f(x) = x + 1$$, und{" "}
$$g(x) = 0{,}5x^4 - 2x^2 + 1$$
  Visible text: Diagramm von , 
, und
- description: Das Ergebnis von $$f(x) - g(x)$$ ist{" "}
$$x + 1 - (0{,}5x^4 - 2x^2 + 1)$$
  Visible text: Das Ergebnis von ist
- showZAxis: false
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 51 }, (_, i) => {
const x = -2.5 + i * 0.1;
return { x, y: x + 1 - (0.5 * x ** 4 - 2 * x ** 2 + 1), z: 0 };
}),
color: "#db2777",
showPoints: false,
},
]

Auf dieselbe Weise kannst du die Graphen von $$f(x) + h(x), \space g(x) + h(x), \space f(x) - h(x), \space \text{und} \space g(x) - h(x)$$ skizzieren. Entscheidend ist, die Höhen, also die $$y$$-Werte, bei demselben $$x$$ zu addieren oder zu subtrahieren.

Visible text: Auf dieselbe Weise kannst du die Graphen von skizzieren. Entscheidend ist, die Höhen, also die -Werte, bei demselben zu addieren oder zu subtrahieren.

## Übung

Gegeben sind

Component: MathContainer
Children:

```math
A(x)=3x^3-2x^2+5x-4
```

```math
B(x)=-x^3+6x^2-3x+7
```

Bestimme $$A(x)+B(x)$$ und $$A(x)-B(x)$$.

Visible text: Bestimme und .

### Ausführliche Lösung

Bei der Addition fassen wir die Koeffizienten gleicher Potenzen zusammen:

Component: MathContainer
Children:

```math
A(x)+B(x)
```

```math
=(3-1)x^3+(-2+6)x^2+(5-3)x+(-4+7)
```

```math
=2x^3+4x^2+2x+3
```

Bei der Subtraktion verteilen wir zuerst das Minuszeichen auf jeden Term von $$B(x)$$ und fassen danach gleichartige Terme zusammen:

Visible text: Bei der Subtraktion verteilen wir zuerst das Minuszeichen auf jeden Term von und fassen danach gleichartige Terme zusammen:

Component: MathContainer
Children:

```math
A(x)-B(x)
```

```math
=3x^3-2x^2+5x-4-(-x^3+6x^2-3x+7)
```

```math
=(3+1)x^3+(-2-6)x^2+(5+3)x+(-4-7)
```

```math
=4x^3-8x^2+8x-11
```