# Vollständige Polynomfaktorisierung
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Faktorisiere Polynome mithilfe reeller und komplexer Nullstellen vollständig und wende dabei den Fundamentalsatz der Algebra an.
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## Die vollständige Faktorisierung verstehen
Mit dem [Faktorsatz](/de/fächer/mathematik/polynome/faktorsatz) können wir Polynome schrittweise zerlegen. Manchmal bleibt dabei ein nichtlinearer Faktor zurück, etwa ein quadratischer Faktor ohne reelle Nullstellen. Über den komplexen Zahlen lässt auch er sich weiter zerlegen.
Bei einer **vollständigen Faktorisierung** schreiben wir ein Polynom als Produkt linearer Faktoren. Die zugehörigen Nullstellen dürfen dabei komplex sein.
Grundlage ist der Fundamentalsatz der Algebra: Jedes Polynom vom Grad $$n \ge 1$$ besitzt in den komplexen Zahlen genau $$n$$ Nullstellen, wenn ihre Vielfachheiten mitgezählt werden. Reelle Nullstellen sind darin enthalten.
Visible text: Grundlage ist der Fundamentalsatz der Algebra: Jedes Polynom vom Grad besitzt in den komplexen Zahlen genau Nullstellen, wenn ihre Vielfachheiten mitgezählt werden. Reelle Nullstellen sind darin enthalten.
### Vollständige Faktorisierungseigenschaft von Polynomen
Wenn $$P(x)$$ ein Polynom vom Grad $$n \ge 1$$ mit dem führenden Koeffizienten $$a_n \neq 0$$ ist, dann gibt es komplexe Zahlen $$c_1, c_2, \dots, c_n$$ (die die Wurzeln von $$P(x)$$ sind), so dass:
Visible text: Wenn ein Polynom vom Grad mit dem führenden Koeffizienten ist, dann gibt es komplexe Zahlen (die die Wurzeln von sind), so dass:
```math
P(x) = a_n(x - c_1)(x - c_2)\dots(x - c_n)
```
Damit lässt sich jedes Polynom vom Grad $$n$$ in genau $$n$$ lineare Faktoren der Form $$(x - \text{Wurzel})$$ zerlegen und mit seinem Leitkoeffizienten multiplizieren.
Visible text: Damit lässt sich jedes Polynom vom Grad in genau lineare Faktoren der Form zerlegen und mit seinem Leitkoeffizienten multiplizieren.
## Schritte zur vollständigen Faktorisierung
So gehst du bei der vollständigen Faktorisierung eines Polynoms $$P(x)$$ vor:
Visible text: So gehst du bei der vollständigen Faktorisierung eines Polynoms vor:
1. **Alle komplexen Nullstellen bestimmen:** Finde sämtliche $$n$$ Nullstellen von $$P(x) = 0$$. Dafür kommen mehrere Verfahren infrage:
- Direkte Faktorisierung (Gruppierung usw.).
- der Satz über rationale Nullstellen,
- das Horner-Schema oder die Polynomdivision, sobald eine Nullstelle bekannt ist,
- die Lösungsformel für quadratische Gleichungen, auch wenn komplexe Nullstellen $$a \pm bi$$ entstehen.
2. **Faktorsatz anwenden:** Zu jeder Nullstelle $$c_i$$ gehört der lineare Faktor $$(x - c_i)$$.
3. **Vollständige Faktorisierung notieren:** Multipliziere alle linearen Faktoren mit dem Leitkoeffizienten $$a_n$$ von $$P(x)$$.
```math
P(x) = a_n(x - c_1)(x - c_2)\dots(x - c_n)
```
Visible text: 1. **Alle komplexen Nullstellen bestimmen:** Finde sämtliche Nullstellen von . Dafür kommen mehrere Verfahren infrage:
- Direkte Faktorisierung (Gruppierung usw.).
- der Satz über rationale Nullstellen,
- das Horner-Schema oder die Polynomdivision, sobald eine Nullstelle bekannt ist,
- die Lösungsformel für quadratische Gleichungen, auch wenn komplexe Nullstellen entstehen.
2. **Faktorsatz anwenden:** Zu jeder Nullstelle gehört der lineare Faktor .
3. **Vollständige Faktorisierung notieren:** Multipliziere alle linearen Faktoren mit dem Leitkoeffizienten von .
### Verwendung der vollständigen Faktorisierung
Bestimme alle komplexen Nullstellen von $$P(x) = x^3 - x^2 + x - 1$$ und faktorisiere das Polynom vollständig.
Visible text: Bestimme alle komplexen Nullstellen von und faktorisiere das Polynom vollständig.
**Lösung:**
1. **Wurzeln finden:** Versuchen wir zunächst, $$P(x)$$ zu faktorisieren.
- Faktorisieren durch Gruppierung:
```math
P(x) = (x^3 - x^2) + (x - 1)
```
```math
P(x) = x^2(x - 1) + 1(x - 1)
```
```math
P(x) = (x^2 + 1)(x - 1)
```
- Bestimme nun die Nullstellen aus $$P(x) = 0$$:
```math
(x^2 + 1)(x - 1) = 0
```
- Dadurch ergeben sich zwei Möglichkeiten:
```math
x - 1 = 0 \implies x = 1
```
```math
x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1 \implies x = \pm\sqrt{-1} \implies x = \pm i
```
Die komplexen Wurzeln sind also $$1, i, -i$$.
2. **Lineare Faktoren bilden:**
- Zur Nullstelle $$1$$ gehört der Faktor $$(x - 1)$$.
- Zur Nullstelle $$i$$ gehört der Faktor $$(x - i)$$.
- Zur Nullstelle $$-i$$ gehört der Faktor $$(x - (-i)) = (x + i)$$.
3. **Vollständige Faktorisierung schreiben:**
Der führende Koeffizient von $$P(x)$$ ist $$a_3 = 1$$.
```math
P(x) = 1 \cdot (x - 1)(x - i)(x + i)
```
```math
P(x) = (x - 1)(x - i)(x + i)
```
Visible text: 1. **Wurzeln finden:** Versuchen wir zunächst, zu faktorisieren.
- Faktorisieren durch Gruppierung:
- Bestimme nun die Nullstellen aus :
- Dadurch ergeben sich zwei Möglichkeiten:
Die komplexen Wurzeln sind also .
2. **Lineare Faktoren bilden:**
- Zur Nullstelle gehört der Faktor .
- Zur Nullstelle gehört der Faktor .
- Zur Nullstelle gehört der Faktor .
3. **Vollständige Faktorisierung schreiben:**
Der führende Koeffizient von ist .
## Übung
Bestimme alle komplexen Nullstellen von $$P(x) = x^3 - 3x^2 + x + 5$$ und faktorisiere anschließend $$P(x)$$ vollständig.
Visible text: Bestimme alle komplexen Nullstellen von und faktorisiere anschließend vollständig.
### Ausführliche Lösung
1. **Rationale Wurzeln finden (Rationaler Nullsatz):**
- $$a_0 = 5$$, Faktoren $$p$$: $$\pm 1, \pm 5$$.
- $$a_n = 1$$, Faktoren $$q$$: $$\pm 1$$.
- Mögliche Wurzeln $$p/q$$: $$\pm 1, \pm 5$$.
- Prüfe $$x = -1$$:
```math
P(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + (-1) + 5 = -1 - 3(1) - 1 + 5 = -1 - 3 - 1 + 5 = 0
```
Also ist $$x = -1$$ eine Wurzel und $$(x+1)$$ ein Faktor.
2. **Mit dem Horner-Schema dividieren ($$c = -1$$):**
```math
\begin{array}{c|cccc}
-1 & 1 & -3 & 1 & 5 \\
& & -1 & 4 & -5 \\
\hline
& 1 & -4 & 5 & \boxed{0} \\
\end{array}
```
Quotient $$H(x) = x^2 - 4x + 5$$.
$$P(x) = (x+1)(x^2 - 4x + 5)$$.
3. **Nullstellen des Quotienten bestimmen:** Löse $$x^2 - 4x + 5 = 0$$ mit der quadratischen Formel.
```math
x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(5)}}{2(1)}
```
```math
x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2}
```
```math
x = \frac{4 \pm \sqrt{-4}}{2}
```
```math
x = \frac{4 \pm 2i}{2}
```
```math
x = 2 \pm i
```
Die anderen Wurzeln sind $$2 + i$$ und $$2 - i$$.
4. **Alle komplexen Wurzeln:** Die Wurzeln sind $$-1, 2+i, 2-i$$.
5. **Vollständige Faktorisierung ($$a_n = 1$$):**
```math
P(x) = 1 \cdot (x - (-1))(x - (2+i))(x - (2-i))
```
```math
P(x) = (x + 1)(x - 2 - i)(x - 2 + i)
```
Visible text: 1. **Rationale Wurzeln finden (Rationaler Nullsatz):**
- , Faktoren : .
- , Faktoren : .
- Mögliche Wurzeln : .
- Prüfe :
Also ist eine Wurzel und ein Faktor.
2. **Mit dem Horner-Schema dividieren ():**
Quotient .
.
3. **Nullstellen des Quotienten bestimmen:** Löse mit der quadratischen Formel.
Die anderen Wurzeln sind und .
4. **Alle komplexen Wurzeln:** Die Wurzeln sind .
5. **Vollständige Faktorisierung ():**
## Komplexe konjugierte Wurzelpaare
Kann ein Polynom mit reellen Koeffizienten **genau eine** nichtreelle komplexe Nullstelle besitzen? **Nein.**
Dies liegt an der Eigenschaft komplex konjugierter Paare. Wenn ein Polynom reelle Koeffizienten hat, dann treten seine nicht-reellen komplexen Wurzeln ($$a + bi$$ mit $$b \neq 0$$) **immer** in konjugierten Paaren auf.
Visible text: Dies liegt an der Eigenschaft komplex konjugierter Paare. Wenn ein Polynom reelle Koeffizienten hat, dann treten seine nicht-reellen komplexen Wurzeln ( mit ) **immer** in konjugierten Paaren auf.
Das heißt: Ist $$a + bi$$ eine Nullstelle, dann ist auch die konjugierte Zahl $$a - bi$$ eine Nullstelle des Polynoms.
Visible text: Das heißt: Ist eine Nullstelle, dann ist auch die konjugierte Zahl eine Nullstelle des Polynoms.
Nichtreelle komplexe Nullstellen treten bei Polynomen mit reellen Koeffizienten deshalb immer paarweise auf. Ein solches Polynom kann also nicht _genau eine_ nichtreelle Nullstelle besitzen.