# Faktorsatz
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Verstehe den Zusammenhang zwischen Nullstellen und Faktoren und nutze den Faktorsatz, um Polynome vollständig zu faktorisieren.
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## Den Faktorsatz verstehen
Wenn wir ein Polynom $$P(x)$$ durch $$(x - c)$$ dividieren, ist der Rest manchmal Null. Aus dem Restsatz wissen wir, dass $$P(c) = 0$$ gilt, wenn der Rest Null ist. Was bedeutet es also, wenn $$P(c) = 0$$?
Visible text: Wenn wir ein Polynom durch dividieren, ist der Rest manchmal Null. Aus dem Restsatz wissen wir, dass gilt, wenn der Rest Null ist. Was bedeutet es also, wenn ?
Ein Wert $$c$$ mit $$P(c) = 0$$ heißt **Nullstelle** oder **Wurzel** des Polynoms $$P(x)$$. Der Faktorsatz verbindet solche Nullstellen direkt mit den Faktoren des Polynoms.
Visible text: Ein Wert mit heißt **Nullstelle** oder **Wurzel** des Polynoms . Der Faktorsatz verbindet solche Nullstellen direkt mit den Faktoren des Polynoms.
### Aussage des Faktorsatzes
Sei $$P(x)$$ ein Polynom und $$c$$ eine reelle Zahl.
Visible text: Sei ein Polynom und eine reelle Zahl.
$$(x - c)$$ ist ein **Faktor** von $$P(x)$$ **genau dann, wenn** $$P(c) = 0$$.
Visible text: ist ein **Faktor** von **genau dann, wenn** .
Dies ist eine zweiseitige Aussage:
1. **Wenn $$(x - c)$$ ein Faktor von $$P(x)$$ ist, dann $$P(c) = 0$$.**
(Wenn eine Zahl perfekt durch eine andere Zahl teilbar ist, muss der Rest Null sein).
2. **Wenn $$P(c) = 0$$, dann ist $$(x - c)$$ ein Faktor von $$P(x)$$.**
(Wenn der Wert des Polynoms bei $$x=c$$ Null ist, bedeutet dies, dass $$(x-c)$$ das Polynom genau teilt).
Visible text: 1. **Wenn ein Faktor von ist, dann .**
(Wenn eine Zahl perfekt durch eine andere Zahl teilbar ist, muss der Rest Null sein).
2. **Wenn , dann ist ein Faktor von .**
(Wenn der Wert des Polynoms bei Null ist, bedeutet dies, dass das Polynom genau teilt).
### Verbindung zum Restsatz
Der Faktorsatz ist ein Sonderfall des Restsatzes. Ausgangspunkt ist der Divisionsalgorithmus:
```math
P(x) = (x - c) \cdot H(x) + S
```
Und aus dem Restsatz wissen wir $$S = P(c)$$.
Visible text: Und aus dem Restsatz wissen wir .
```math
P(x) = (x - c) \cdot H(x) + P(c)
```
- Wenn $$(x - c)$$ ein Faktor ist, bedeutet dies, dass $$P(x)$$ durch $$(x - c)$$ teilbar ist. Dies geschieht nur, wenn der Rest Null ist. Also $$S = P(c) = 0$$.
- Wenn $$P(c) = 0$$, dann $$S = 0$$. Die Gleichung lautet $$P(x) = (x - c) \cdot H(x) + 0$$ oder $$P(x) = (x - c) \cdot H(x)$$. Dies zeigt, dass $$(x - c)$$ ein Faktor von $$P(x)$$ ist.
Visible text: - Wenn ein Faktor ist, bedeutet dies, dass durch teilbar ist. Dies geschieht nur, wenn der Rest Null ist. Also .
- Wenn , dann . Die Gleichung lautet oder . Dies zeigt, dass ein Faktor von ist.
## Verwendung des Faktorsatzes zur Faktorisierung von Polynomen
Der Faktorsatz macht aus einer bestätigten Nullstelle einen linearen Faktor. Wird dieser Vorgang wiederholt, sinkt der Grad, bis sich das verbleibende Polynom im betrachteten Zahlbereich faktorisieren lässt.
**Allgemeine Schritte:**
1. **Nullstelle finden:** Suche mithilfe geeigneter Kandidaten oder eines Hinweises, etwa der Koeffizientensumme, einen Wert $$c$$ mit $$P(c) = 0$$.
2. **Faktor bestätigen:** Gilt $$P(c) = 0$$, dann ist $$(x - c)$$ nach dem Faktorsatz ein Faktor von $$P(x)$$.
3. **Polynom dividieren:** Teile $$P(x)$$ mit dem Horner-Schema oder der Polynomdivision durch $$(x - c)$$. Der Quotient ist $$H(x)$$.
```math
P(x) = (x - c) \cdot H(x)
```
4. **Quotienten faktorisieren:** Lässt sich $$H(x)$$ weiter zerlegen, wiederhole den Vorgang ab Schritt $$1$$ für $$H(x)$$, bis $$H(x)$$ vollständig faktorisiert ist.
5. **Faktorisierung notieren:** Schreibe $$P(x)$$ als Produkt aller gefundenen Faktoren.
Visible text: 1. **Nullstelle finden:** Suche mithilfe geeigneter Kandidaten oder eines Hinweises, etwa der Koeffizientensumme, einen Wert mit .
2. **Faktor bestätigen:** Gilt , dann ist nach dem Faktorsatz ein Faktor von .
3. **Polynom dividieren:** Teile mit dem Horner-Schema oder der Polynomdivision durch . Der Quotient ist .
4. **Quotienten faktorisieren:** Lässt sich weiter zerlegen, wiederhole den Vorgang ab Schritt für , bis vollständig faktorisiert ist.
5. **Faktorisierung notieren:** Schreibe als Produkt aller gefundenen Faktoren.
### Faktorisierung eines Polynoms
Sei $$P(x) = x^3 + 2x^2 - 13x + 10$$. Die Koeffizientensumme $$1 + 2 - 13 + 10$$ ist $$0$$. Genau diese Summe entsteht beim Einsetzen von eins, also gilt $$P(1) = 0$$.
Visible text: Sei . Die Koeffizientensumme ist . Genau diese Summe entsteht beim Einsetzen von eins, also gilt .
1. **Null bestätigen:**
Berechne $$P(1)$$.
```math
P(1) = (1)^3 + 2(1)^2 - 13(1) + 10
```
```math
P(1) = 1 + 2 - 13 + 10
```
```math
P(1) = 0
```
2. **Faktor bestätigen:**
Da $$P(1) = 0$$, ist $$(x - 1)$$ ein Faktor von $$P(x)$$.
3. **Polynom dividieren:**
Wir verwenden die Horner-Methode, um $$P(x)$$ durch $$(x - 1)$$ ($$c = 1$$) zu dividieren.
```math
\begin{array}{c|cccc}
1 & 1 & 2 & -13 & 10 \\
& & 1 & 3 & -10 \\
\hline
& 1 & 3 & -10 & \boxed{0} \\
\end{array}
```
Der Quotient ist $$H(x) = 1x^2 + 3x - 10 = x^2 + 3x - 10$$. Der Rest beträgt erwartungsgemäß $$0$$.
Also $$P(x) = (x - 1)(x^2 + 3x - 10)$$.
4. **Quotienten faktorisieren:**
Faktorisiere das quadratische Polynom $$H(x) = x^2 + 3x - 10$$.
```math
x^2 + 3x - 10 = (x - 2)(x + 5)
```
5. **Vollständige Faktorisierung:**
Fasse alle Faktoren zusammen.
```math
P(x) = (x - 1)(x - 2)(x + 5)
```
Visible text: 1. **Null bestätigen:**
Berechne .
2. **Faktor bestätigen:**
Da , ist ein Faktor von .
3. **Polynom dividieren:**
Wir verwenden die Horner-Methode, um durch () zu dividieren.
Der Quotient ist . Der Rest beträgt erwartungsgemäß .
Also .
4. **Quotienten faktorisieren:**
Faktorisiere das quadratische Polynom .
5. **Vollständige Faktorisierung:**
Fasse alle Faktoren zusammen.
## Übung
Sei $$P(x) = x^3 - 2x^2 - 21x - 18$$. Zeige, dass $$P(-1) = 0$$ gilt, und faktorisiere damit $$P(x)$$ vollständig.
Visible text: Sei . Zeige, dass gilt, und faktorisiere damit vollständig.
### Ausführliche Lösung
1. **Zeige $$P(-1) = 0$$:**
```math
P(-1) = (-1)^3 - 2(-1)^2 - 21(-1) - 18
```
```math
P(-1) = -1 - 2(1) + 21 - 18
```
```math
P(-1) = -1 - 2 + 21 - 18
```
```math
P(-1) = -3 + 3 = 0
```
Damit ist $$P(-1) = 0$$ bestätigt.
2. **Faktor bestätigen:**
Da $$P(-1) = 0$$, ist $$(x - (-1)) = (x + 1)$$ ein Faktor von $$P(x)$$.
3. **Polynom dividieren (Horner-Methode mit $$c = -1$$):**
```math
\begin{array}{c|cccc}
-1 & 1 & -2 & -21 & -18 \\
& & -1 & 3 & 18 \\
\hline
& 1 & -3 & -18 & \boxed{0} \\
\end{array}
```
Der Quotient ist $$H(x) = x^2 - 3x - 18$$.
Also $$P(x) = (x + 1)(x^2 - 3x - 18)$$.
4. **Quotienten faktorisieren:**
Faktor $$H(x) = x^2 - 3x - 18$$.
```math
x^2 - 3x - 18 = (x - 6)(x + 3)
```
5. **Vollständige Faktorisierung:**
```math
P(x) = (x + 1)(x - 6)(x + 3)
```
Visible text: 1. **Zeige :**
Damit ist bestätigt.
2. **Faktor bestätigen:**
Da , ist ein Faktor von .
3. **Polynom dividieren (Horner-Methode mit ):**
Der Quotient ist .
Also .
4. **Quotienten faktorisieren:**
Faktor .
5. **Vollständige Faktorisierung:**