# Polynomgrad > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/polynome/grad-eines-polynoms Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/polynomial/polynomial-degree/de.mdx Bestimme den Grad von Monomen und Polynomen, auch bei mehreren Variablen, und verstehe den Sonderfall des Nullpolynoms. --- ## Den Grad eines Monoms verstehen Jedes Monom besitzt einen **Grad**. Er wird durch die Exponenten seiner Variablen bestimmt. ### Grad eines Monoms mit einer Variablen Bei einem Monom mit nur einer Variablen, etwa $$ax^n$$, ist der Grad gleich dem Exponenten $$n$$. Visible text: Bei einem Monom mit nur einer Variablen, etwa , ist der Grad gleich dem Exponenten . **Beispiele:** - Das Monom $$4x^5$$ hat den Grad $$5$$. - Das Monom $$0{,}12x$$ (oder $$0{,}12x^1$$) hat einen Grad von $$1$$. Visible text: - Das Monom hat den Grad . - Das Monom (oder ) hat einen Grad von . ### Grad eines Monoms mit mehreren Variablen Wenn ein Monom mehr als eine Variable hat, ist sein Grad die **Summe** aller Variablenexponenten. **Beispiele:** - Das Monom $$\frac{3}{4}x^2y^7$$ hat den Grad $$2 + 7 = 9$$. - Das Monom $$2{,}17x^3yz^3$$ hat den Grad $$3 + 1 + 3 = 7$$, denn $$y = y^1$$. Visible text: - Das Monom hat den Grad . - Das Monom hat den Grad , denn . ### Grad einer Konstante Eine von null verschiedene Konstante wie $$5$$ hat den **Grad $$0$$**. Schließlich können wir sie als $$5x^0$$ schreiben, weil $$x^0 = 1$$ gilt. Visible text: Eine von null verschiedene Konstante wie hat den **Grad **. Schließlich können wir sie als schreiben, weil gilt. Die Tabelle fasst die bisherigen Beispiele zusammen: | Monom | Grad | Erklärung | | :----------------------- | :----- | :---------------------------------------------------------------- | | $$4x^5$$ | $$5$$ | Der Exponent von $$x$$ ist $$5$$. | | $$\frac{3}{4}x^2y^7$$ | $$9$$ | Summe der Exponenten $$2+7=9$$. | | $$0{,}12x$$ | $$1$$ | Der Exponent von $$x$$ ist $$1$$. | | $$2{,}17x^3yz^3$$ | $$7$$ | Summe der Exponenten $$3+1+3=7$$. | | $$10$$ | $$0$$ | Konstante ungleich Null. Kann als $$10x^0$$ geschrieben werden. | Visible text: | Monom | Grad | Erklärung | | :----------------------- | :----- | :---------------------------------------------------------------- | | | | Der Exponent von ist . | | | | Summe der Exponenten . | | | | Der Exponent von ist . | | | | Summe der Exponenten . | | | | Konstante ungleich Null. Kann als geschrieben werden. | ### Definition des Monomialgrades Der Grad eines Monoms mit einem Koeffizienten ungleich null ist die Summe der Exponenten aller Variablen. Für $$ax^n$$ ist der Grad daher $$n$$. Visible text: Der Grad eines Monoms mit einem Koeffizienten ungleich null ist die Summe der Exponenten aller Variablen. Für ist der Grad daher . ## Bestimmen des Grades eines Polynoms Sobald der Grad jedes einzelnen Terms feststeht, lässt sich auch der Grad des gesamten Polynoms bestimmen. **Der Grad eines Polynoms** ist der **höchste Grad** unter seinen Termen. **Schritte zur Bestimmung des Grades eines Polynoms:** 1. Zerlege das Polynom in seine einzelnen Terme. 2. Bestimme den Grad jedes Terms. 3. Wähle den höchsten dieser Grade. Er ist der Grad des Polynoms. Visible text: 1. Zerlege das Polynom in seine einzelnen Terme. 2. Bestimme den Grad jedes Terms. 3. Wähle den höchsten dieser Grade. Er ist der Grad des Polynoms. **Beispiel** $$1$$: Visible text: **Beispiel** : Bestimme den Grad des folgenden Polynoms: ```math 8x^3 - 36x^2 + 54x - 27 ``` - Der Term $$8x^3$$ hat den Grad $$3$$. - Der Term $$-36x^2$$ hat den Grad $$2$$. - Der Term $$54x$$ (oder $$54x^1$$) hat den Grad $$1$$. - Der Term $$-27$$ (Konstante) hat den Grad $$0$$. Visible text: - Der Term hat den Grad . - Der Term hat den Grad . - Der Term (oder ) hat den Grad . - Der Term (Konstante) hat den Grad . Der höchste Termgrad ist $$3$$. Daher hat das Polynom den Grad $$3$$. Visible text: Der höchste Termgrad ist . Daher hat das Polynom den Grad . **Beispiel** $$2$$: Visible text: **Beispiel** : Bestimme den Grad des folgenden Polynoms: ```math 5x^4y^2 + xy^2 - 2x^5y^6 ``` - Der Term $$5x^4y^2$$ hat den Grad $$4 + 2 = 6$$. - Der Term $$xy^2$$ (oder $$x^1y^2$$) hat den Grad $$1 + 2 = 3$$. - Der Term $$-2x^5y^6$$ hat den Grad $$5 + 6 = 11$$. Visible text: - Der Term hat den Grad . - Der Term (oder ) hat den Grad . - Der Term hat den Grad . Der höchste Termgrad ist $$11$$. Daher hat das Polynom den Grad $$11$$. Visible text: Der höchste Termgrad ist . Daher hat das Polynom den Grad . **Beispiel** $$3$$: Visible text: **Beispiel** : Bestimme den Grad des folgenden Polynoms: ```math 0{,}13x^3 + 1{,}56x^2 - 2{,}24x + 1{,}72 ``` - Der Term $$0{,}13x^3$$ hat den Grad $$3$$. - Der Term $$1{,}56x^2$$ hat den Grad $$2$$. - Der Term $$-2{,}24x$$ hat den Grad $$1$$. - Der Term $$1{,}72$$ hat den Grad $$0$$. Visible text: - Der Term hat den Grad . - Der Term hat den Grad . - Der Term hat den Grad . - Der Term hat den Grad . Der höchste Grad ist $$3$$. Daher ist der Grad dieses Polynoms $$3$$. Visible text: Der höchste Grad ist . Daher ist der Grad dieses Polynoms . ### Definition des Polynomgrades Der Grad eines Polynoms ist der höchste Grad seiner Terme. ### Was ist mit dem Grad Null? Hat auch das Nullpolynom $$0$$ den Grad $$0$$, weil sich $$0$$ als $$0x^0$$ schreiben lässt? Visible text: Hat auch das Nullpolynom den Grad , weil sich als schreiben lässt? Allgemein in der Mathematik: - **Konstanten ungleich Null** (wie $$5, -27, 1{,}72$$) haben einen Grad von $$0$$. - Das **Nullpolynom** besitzt keinen von null verschiedenen Term, dessen Grad gewählt werden könnte. Deshalb bleibt sein Grad in dieser Lektion **undefiniert**. In manchen Zusammenhängen setzt man ihn formal auf **negative Unendlichkeit** ($$-\infty$$), damit Regeln wie $$\deg(PQ)=\deg P+\deg Q$$ auch bei Nullprodukten konsistent bleiben. Visible text: - **Konstanten ungleich Null** (wie ) haben einen Grad von . - Das **Nullpolynom** besitzt keinen von null verschiedenen Term, dessen Grad gewählt werden könnte. Deshalb bleibt sein Grad in dieser Lektion **undefiniert**. In manchen Zusammenhängen setzt man ihn formal auf **negative Unendlichkeit** (), damit Regeln wie auch bei Nullprodukten konsistent bleiben. Für die folgenden Aufgaben genügt diese Unterscheidung: Von null verschiedene Konstanten haben den Grad $$0$$; beim Nullpolynom ist der Grad nicht definiert; bei jedem anderen Polynom entscheidet der Term mit dem höchsten Grad. Visible text: Für die folgenden Aufgaben genügt diese Unterscheidung: Von null verschiedene Konstanten haben den Grad ; beim Nullpolynom ist der Grad nicht definiert; bei jedem anderen Polynom entscheidet der Term mit dem höchsten Grad. ## Übung Bestimme den Grad von ```math P(x,y)=4x^3y^2-7x^2y^5+6 ``` Erkläre anschließend, warum dieselbe Regel dem Nullpolynom nicht den Grad $$0$$ zuweisen kann. Visible text: Erkläre anschließend, warum dieselbe Regel dem Nullpolynom nicht den Grad zuweisen kann. ### Ausführliche Lösung Wir addieren in jedem von null verschiedenen Term die Exponenten: - $$4x^3y^2$$ hat den Grad $$3+2=5$$. - $$-7x^2y^5$$ hat den Grad $$2+5=7$$. - $$6$$ hat den Grad $$0$$. Visible text: - hat den Grad . - hat den Grad . - hat den Grad . Der größte Termgrad ist $$7$$, also gilt $$\deg P=7$$. Visible text: Der größte Termgrad ist , also gilt . Das Nullpolynom besitzt keinen von null verschiedenen Term, dessen Grad als größter gewählt werden könnte. Deshalb bleibt sein Grad in diesem Kurs undefiniert, statt auf $$0$$ gesetzt zu werden. Visible text: Das Nullpolynom besitzt keinen von null verschiedenen Term, dessen Grad als größter gewählt werden könnte. Deshalb bleibt sein Grad in diesem Kurs undefiniert, statt auf gesetzt zu werden.