# Polynomgraph > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/polynome/graphen-von-polynomfunktionen Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/polynomial/polynomial-graph/de.mdx Skizziere Polynomgraphen mit Wertetabellen und leite ihr Endverhalten aus Grad und Leitkoeffizient ab. --- ## Graphische Darstellung von Polynomfunktionen Der Graph einer Polynomfunktion zeigt, wie sich der Funktionswert verändert, wenn sich der Eingabewert $$x$$ ändert. Seine Form hängt vom Grad und von den Koeffizienten der Funktion ab. Visible text: Der Graph einer Polynomfunktion zeigt, wie sich der Funktionswert verändert, wenn sich der Eingabewert ändert. Seine Form hängt vom Grad und von den Koeffizienten der Funktion ab. ## Punktdarstellungsmethode Ein möglicher Einstieg besteht darin, mehrere Punkte $$(x,y)$$ zu berechnen, die auf dem Graphen liegen. Diese Punkte helfen beim Skizzieren, doch eine kleine Wertetabelle allein bestimmt noch nicht alle Eigenschaften des Graphen. Nullstellen, Extrempunkte und das Endverhalten liefern zusätzliche Kontrollen. Visible text: Ein möglicher Einstieg besteht darin, mehrere Punkte zu berechnen, die auf dem Graphen liegen. Diese Punkte helfen beim Skizzieren, doch eine kleine Wertetabelle allein bestimmt noch nicht alle Eigenschaften des Graphen. Nullstellen, Extrempunkte und das Endverhalten liefern zusätzliche Kontrollen. **Schritte:** 1. Wähle mehrere unterschiedliche Werte für $$x$$. 2. Berechne zu jedem ausgewählten $$x$$-Wert den Funktionswert $$y = P(x)$$. 3. Trage die Wertepaare $$(x, y)$$ in eine Tabelle ein. 4. Markiere die Punkte im Koordinatensystem. 5. Verbinde sie mit einer glatten, stetigen Kurve. Visible text: 1. Wähle mehrere unterschiedliche Werte für . 2. Berechne zu jedem ausgewählten -Wert den Funktionswert . 3. Trage die Wertepaare in eine Tabelle ein. 4. Markiere die Punkte im Koordinatensystem. 5. Verbinde sie mit einer glatten, stetigen Kurve. ### Lineare Funktion Grad Eins Skizziere den Graphen der Funktion $$f(x) = 2x + 5$$. Visible text: Skizziere den Graphen der Funktion . Wir wählen mehrere $$x$$-Werte und berechnen $$y$$: Visible text: Wir wählen mehrere -Werte und berechnen : | $$x$$ | $$y = f(x)$$ | $$(x, y)$$ | | :-------- | :-------------- | :-------------- | | $$-3$$ | $$-1$$ | $$(-3, -1)$$ | | $$-2$$ | $$1$$ | $$(-2, 1)$$ | | $$-1$$ | $$3$$ | $$(-1, 3)$$ | | $$0$$ | $$5$$ | $$(0, 5)$$ | | $$1$$ | $$7$$ | $$(1, 7)$$ | | $$2$$ | $$9$$ | $$(2, 9)$$ | | $$3$$ | $$11$$ | $$(3, 11)$$ | Visible text: | | | | | :-------- | :-------------- | :-------------- | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | Trage die Punkte ein und verbinde sie: Component: LineEquation Props: - title: Diagramm von $$f(x) = 2x + 5$$ Visible text: Diagramm von - description: Graph einer linearen Funktion vom Grad $$1$$. Visible text: Graph einer linearen Funktion vom Grad . - showZAxis: false - cameraPosition: [0, 0, 15] - data: [ { points: Array.from({ length: 7 }, (_, i) => { const x = -3 + i; return { x, y: 2 * x + 5, z: 0 }; }), color: "#ca8a04", }, ] ### Quadratische Funktion Grad Zwei Skizziere den Graphen der Funktion $$g(x) = x^2 - 2x - 3$$. Visible text: Skizziere den Graphen der Funktion . Wertetabelle: | $$x$$ | $$y = g(x)$$ | $$(x, y)$$ | | :-------- | :-------------- | :-------------- | | $$-2$$ | $$5$$ | $$(-2, 5)$$ | | $$-1$$ | $$0$$ | $$(-1, 0)$$ | | $$0$$ | $$-3$$ | $$(0, -3)$$ | | $$1$$ | $$-4$$ | $$(1, -4)$$ | | $$2$$ | $$-3$$ | $$(2, -3)$$ | | $$3$$ | $$0$$ | $$(3, 0)$$ | | $$4$$ | $$5$$ | $$(4, 5)$$ | Visible text: | | | | | :-------- | :-------------- | :-------------- | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | Trage die Punkte ein und verbinde sie zu einer glatten Parabel: Component: LineEquation Props: - title: Diagramm von $$g(x) = x^2 - 2x - 3$$ Visible text: Diagramm von - description: Graph einer quadratischen Funktion vom Grad $$2$$. Visible text: Graph einer quadratischen Funktion vom Grad . - showZAxis: false - cameraPosition: [0, 0, 10] - data: [ { points: Array.from({ length: 7 }, (_, i) => { const x = -2 + i; return { x, y: x * x - 2 * x - 3, z: 0 }; }), color: "#0891b2", }, ] ### Kubische Funktion Grad Drei Skizziere den Graphen der Funktion $$h(x) = x^3 + 3x^2 - 4$$. Visible text: Skizziere den Graphen der Funktion . Wertetabelle: | $$x$$ | $$y = h(x)$$ | $$(x, y)$$ | | :-------- | :-------------- | :--------------- | | $$-4$$ | $$-20$$ | $$(-4, -20)$$ | | $$-3$$ | $$-4$$ | $$(-3, -4)$$ | | $$-2$$ | $$0$$ | $$(-2, 0)$$ | | $$-1$$ | $$-2$$ | $$(-1, -2)$$ | | $$0$$ | $$-4$$ | $$(0, -4)$$ | | $$1$$ | $$0$$ | $$(1, 0)$$ | | $$2$$ | $$16$$ | $$(2, 16)$$ | Visible text: | | | | | :-------- | :-------------- | :--------------- | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | Trage die Punkte ein und verbinde sie mit einer glatten Kurve: Component: LineEquation Props: - title: Diagramm von $$h(x) = x^3 + 3x^2 - 4$$ Visible text: Diagramm von - description: Graph einer kubischen Funktion vom Grad $$3$$. Visible text: Graph einer kubischen Funktion vom Grad . - showZAxis: false - cameraPosition: [0, 0, 12] - data: [ { points: Array.from({ length: 61 }, (_, i) => { // Mehr Punkte für eine glatte Kurve const x = -4 + i * 0.1; return { x, y: x * x * x + 3 * x * x - 4, z: 0 }; }), color: "#7c3aed", showPoints: false, }, ] ## Allgemeine Eigenschaften von Polynomgraphen Graphen von Polynomfunktionen sind **glatt**, haben also keine scharfen Ecken, und **stetig**, besitzen also keine Sprünge oder Lücken. Ihre grobe Form wird stark vom **Grad** des Polynoms beeinflusst. - **Grad** $$0$$: $$P(x) = c$$. Der Graph ist eine horizontale Gerade. - **Grad** $$1$$: $$P(x) = ax + b$$. Der Graph ist eine Gerade. - **Grad** $$2$$: $$P(x) = ax^2 + bx + c$$. Der Graph ist eine Parabel. - **Grad** $$3$$: $$P(x) = ax^3 + \dots$$. Seine beiden Enden zeigen in entgegengesetzte vertikale Richtungen, und er kann höchstens zwei Extrempunkte besitzen. - **Grad** $$4$$: Der Graph kann bis zu drei Extrempunkte besitzen. - **Grad** $$5$$: Der Graph kann bis zu vier Extrempunkte besitzen. Visible text: - **Grad** : . Der Graph ist eine horizontale Gerade. - **Grad** : . Der Graph ist eine Gerade. - **Grad** : . Der Graph ist eine Parabel. - **Grad** : . Seine beiden Enden zeigen in entgegengesetzte vertikale Richtungen, und er kann höchstens zwei Extrempunkte besitzen. - **Grad** : Der Graph kann bis zu drei Extrempunkte besitzen. - **Grad** : Der Graph kann bis zu vier Extrempunkte besitzen. Im Allgemeinen kann der Graph einer Polynomfunktion vom Grad $$n$$ die $$x$$-Achse **höchstens** $$n\text{-mal}$$ schneiden und besitzt **höchstens** $$n-1$$ Extrempunkte (Hoch- oder Tiefpunkte). Visible text: Im Allgemeinen kann der Graph einer Polynomfunktion vom Grad die -Achse **höchstens** schneiden und besitzt **höchstens** Extrempunkte (Hoch- oder Tiefpunkte). ## Endverhalten Das **Endverhalten** beschreibt, in welche Richtung der Graph für sehr große positive und negative Werte von $$x$$ verläuft, also für $$x \to \infty$$ und $$x \to -\infty$$. Visible text: Das **Endverhalten** beschreibt, in welche Richtung der Graph für sehr große positive und negative Werte von verläuft, also für und . Das Endverhalten wird **ausschließlich** durch den **Leitterm** $$a_n x^n$$ bestimmt: Visible text: Das Endverhalten wird **ausschließlich** durch den **Leitterm** bestimmt: 1. **Grad $$n$$ (gerade oder ungerade)** 2. **Vorzeichen des führenden Koeffizienten $$a_n$$ (positiv oder negativ)** Visible text: 1. **Grad (gerade oder ungerade)** 2. **Vorzeichen des führenden Koeffizienten (positiv oder negativ)** Es gibt $$4 \text{mögliche Kombinationen}$$: Visible text: Es gibt : 1. **$$n$$ gerade, $$a_n > 0$$:** - Für $$x \to \infty$$ gilt $$y \to \infty$$ (steigt nach rechts $$\nearrow$$) - Für $$x \to -\infty$$ gilt $$y \to \infty$$ (steigt nach links $$\nwarrow$$) - Beispiele: $$y = x^2$$, $$y = x^4$$ Diagramm von $$y = x^2$$ (Gerade, Positiv) } description="Die Grafik steigt nach links und rechts." showZAxis={false} cameraPosition={[0, 0, 15]} data={[ { points: Array.from({ length: 7 }, (_, i) => { const x = -3 + i; return { x, y: x * x, z: 0 }; }), color: "#65a30d", }, ]} /> 2. **$$n$$ gerade, $$a_n < 0$$:** - Für $$x \to \infty$$ gilt $$y \to -\infty$$ (fällt nach rechts $$\searrow$$) - Für $$x \to -\infty$$ gilt $$y \to -\infty$$ (fällt nach links $$\swarrow$$) - Beispiele: $$y = -x^2$$, $$y = -x^6$$ Diagramm von $$y = -x^2$$ (Gerade, negativ) } description="Die Grafik fällt nach links und rechts." showZAxis={false} cameraPosition={[0, 0, 15]} data={[ { points: Array.from({ length: 7 }, (_, i) => { const x = -3 + i; return { x, y: -(x * x), z: 0 }; }), color: "#e11d48", }, ]} /> 3. **$$n$$ ungerade, $$a_n > 0$$:** - Für $$x \to \infty$$ gilt $$y \to \infty$$ (steigt nach rechts $$\nearrow$$) - Für $$x \to -\infty$$ gilt $$y \to -\infty$$ (fällt nach links $$\swarrow$$) - Beispiele: $$y = x$$, $$y = x^3$$, $$y = x^5$$ Graph von $$y = x^3$$ (ungerade, positiver Leitkoeffizient) } description="Die Grafik fällt nach links und steigt nach rechts." showZAxis={false} cameraPosition={[0, 0, 15]} data={[ { points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => { const x = -3 + i * 0.15; return { x, y: x * x * x, z: 0 }; }), color: "#0284c7", showPoints: false, }, ]} /> 4. **$$n$$ ungerade, $$a_n < 0$$:** - Für $$x \to \infty$$ gilt $$y \to -\infty$$ (fällt nach rechts $$\searrow$$) - Für $$x \to -\infty$$ gilt $$y \to \infty$$ (steigt nach links $$\nwarrow$$) - Beispiele: $$y = -x$$, $$y = -x^3$$ Graph von $$y = -x^3$$ (ungerade, negativer Leitkoeffizient) } description="Die Grafik steigt nach links und fällt nach rechts." showZAxis={false} cameraPosition={[0, 0, 15]} data={[ { points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => { const x = -3 + i * 0.15; return { x, y: -(x * x * x), z: 0 }; }), color: "#d97706", showPoints: false, }, ]} /> Visible text: 1. ** gerade, :** - Für gilt (steigt nach rechts ) - Für gilt (steigt nach links ) - Beispiele: , Diagramm von (Gerade, Positiv) } description="Die Grafik steigt nach links und rechts." showZAxis={false} cameraPosition={[0, 0, 15]} data={[ { points: Array.from({ length: 7 }, (_, i) => { const x = -3 + i; return { x, y: x * x, z: 0 }; }), color: "#65a30d", }, ]} /> 2. ** gerade, :** - Für gilt (fällt nach rechts ) - Für gilt (fällt nach links ) - Beispiele: , Diagramm von (Gerade, negativ) } description="Die Grafik fällt nach links und rechts." showZAxis={false} cameraPosition={[0, 0, 15]} data={[ { points: Array.from({ length: 7 }, (_, i) => { const x = -3 + i; return { x, y: -(x * x), z: 0 }; }), color: "#e11d48", }, ]} /> 3. ** ungerade, :** - Für gilt (steigt nach rechts ) - Für gilt (fällt nach links ) - Beispiele: , , Graph von (ungerade, positiver Leitkoeffizient) } description="Die Grafik fällt nach links und steigt nach rechts." showZAxis={false} cameraPosition={[0, 0, 15]} data={[ { points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => { const x = -3 + i * 0.15; return { x, y: x * x * x, z: 0 }; }), color: "#0284c7", showPoints: false, }, ]} /> 4. ** ungerade, :** - Für gilt (fällt nach rechts ) - Für gilt (steigt nach links ) - Beispiele: , Graph von (ungerade, negativer Leitkoeffizient) } description="Die Grafik steigt nach links und fällt nach rechts." showZAxis={false} cameraPosition={[0, 0, 15]} data={[ { points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => { const x = -3 + i * 0.15; return { x, y: -(x * x * x), z: 0 }; }), color: "#d97706", showPoints: false, }, ]} /> ### Das Endverhalten nutzen Am Endverhalten lässt sich die grobe Form eines Polynomgraphen erkennen, ohne ihn vollständig zeichnen zu müssen. **Anwendungsbeispiel:** Bestimme das Endverhalten der folgenden Funktionen: 1. $$f(x) = x^4 + 2x^3 - 2x - 3$$ - Leitterm: $$x^4$$ - Grad $$n=4$$ (Gerade) - Führender Koeffizient $$a_n=1$$ (Positiv) - Endverhalten: Steigt nach links ($$\nwarrow$$), Steigt nach rechts ($$\nearrow$$) Diagramm von $$f(x) = x^4 + 2x^3 - 2x - 3$$ } description={ <> Endverhalten: $$\nwarrow$${" "} $$\nearrow$$ } showZAxis={false} cameraPosition={[0, 0, 15]} data={[ { points: Array.from({ length: 51 }, (_, i) => { const x = -2.5 + i * (4.3 / 50); const y = x ** 4 + 2 * x ** 3 - 2 * x - 3; return { x, y, z: 0 }; }), color: "#0d9488", showPoints: false, }, ]} /> 2. $$g(x) = -x^3 + 2x^2 - x + 1$$ - Leitterm: $$-x^3$$ - Grad $$n=3$$ (ungerade) - Führender Koeffizient $$a_n=-1$$ (negativ) - Endverhalten: Steigt nach links ($$\nwarrow$$), fällt nach rechts ($$\searrow$$) Diagramm von $$g(x) = -x^3 + 2x^2 - x + 1$$ } description={ <> Endverhalten: $$\nwarrow$${" "} $$\searrow$$ } showZAxis={false} cameraPosition={[0, 0, 15]} data={[ { points: Array.from({ length: 51 }, (_, i) => { const x = -2.5 + i * 0.1; const y = -(x ** 3) + 2 * x ** 2 - x + 1; return { x, y, z: 0 }; }), color: "#ea580c", showPoints: false, }, ]} /> 3. $$h(x) = -x^6 - \frac{11}{4}x^5 + x^4 + 5x^3 + 2$$ - Leitterm: $$-x^6$$ - Grad $$n=6$$ (Gerade) - Führender Koeffizient $$a_n=-1$$ (negativ) - Endverhalten: Fällt nach links ($$\swarrow$$), Fällt nach rechts ($$\searrow$$) Diagramm von{" "} $$h(x) = -x^6 - \frac{11}{4}x^5 + x^4 + 5x^3 + 2$$ } description={ <> Endverhalten: $$\swarrow$${" "} $$\searrow$$ } showZAxis={false} cameraPosition={[0, 0, 15]} data={[ { points: Array.from({ length: 111 }, (_, i) => { const x = -2.5 + i * (4.1 / 110); const y = -(x ** 6) - (11 / 4) * x ** 5 + x ** 4 + 5 * x ** 3 + 2; return { x, y, z: 0 }; }), color: "#c026d3", showPoints: false, }, ]} /> 4. $$k(x) = 25x^5 - 20x^4 - 26x^3 + 12x^2 + 9x - 1$$ - Leitterm: $$25x^5$$ - Grad $$n=5$$ (ungerade) - Führender Koeffizient $$a_n=25$$ (Positiv) - Endverhalten: Fällt nach links ($$\swarrow$$), Steigt nach rechts ($$\nearrow$$) Diagramm von{" "} $$k(x) = 25x^5 - 20x^4 - 26x^3 + 12x^2 + 9x - 1$$ } description={ <> Endverhalten: $$\swarrow$${" "} $$\nearrow$$ } showZAxis={false} cameraPosition={[0, 0, 15]} data={[ { points: Array.from({ length: 71 }, (_, i) => { const x = -1.2 + i * 0.035; const y = 25 * x ** 5 - 20 * x ** 4 - 26 * x ** 3 + 12 * x ** 2 + 9 * x - 1; return { x, y, z: 0 }; }), color: "#4f46e5", showPoints: false, }, ]} /> Visible text: 1. - Leitterm: - Grad (Gerade) - Führender Koeffizient (Positiv) - Endverhalten: Steigt nach links (), Steigt nach rechts () Diagramm von } description={ <> Endverhalten: } showZAxis={false} cameraPosition={[0, 0, 15]} data={[ { points: Array.from({ length: 51 }, (_, i) => { const x = -2.5 + i * (4.3 / 50); const y = x ** 4 + 2 * x ** 3 - 2 * x - 3; return { x, y, z: 0 }; }), color: "#0d9488", showPoints: false, }, ]} /> 2. - Leitterm: - Grad (ungerade) - Führender Koeffizient (negativ) - Endverhalten: Steigt nach links (), fällt nach rechts () Diagramm von } description={ <> Endverhalten: } showZAxis={false} cameraPosition={[0, 0, 15]} data={[ { points: Array.from({ length: 51 }, (_, i) => { const x = -2.5 + i * 0.1; const y = -(x ** 3) + 2 * x ** 2 - x + 1; return { x, y, z: 0 }; }), color: "#ea580c", showPoints: false, }, ]} /> 3. - Leitterm: - Grad (Gerade) - Führender Koeffizient (negativ) - Endverhalten: Fällt nach links (), Fällt nach rechts () Diagramm von } description={ <> Endverhalten: } showZAxis={false} cameraPosition={[0, 0, 15]} data={[ { points: Array.from({ length: 111 }, (_, i) => { const x = -2.5 + i * (4.1 / 110); const y = -(x ** 6) - (11 / 4) * x ** 5 + x ** 4 + 5 * x ** 3 + 2; return { x, y, z: 0 }; }), color: "#c026d3", showPoints: false, }, ]} /> 4. - Leitterm: - Grad (ungerade) - Führender Koeffizient (Positiv) - Endverhalten: Fällt nach links (), Steigt nach rechts () Diagramm von } description={ <> Endverhalten: } showZAxis={false} cameraPosition={[0, 0, 15]} data={[ { points: Array.from({ length: 71 }, (_, i) => { const x = -1.2 + i * 0.035; const y = 25 * x ** 5 - 20 * x ** 4 - 26 * x ** 3 + 12 * x ** 2 + 9 * x - 1; return { x, y, z: 0 }; }), color: "#4f46e5", showPoints: false, }, ]} /> Der Leitterm reicht also aus, um den Verlauf des Graphen an beiden Enden vorherzusagen. ## Übung Betrachte die Funktion ```math p(x)=-(x-2)^2(x+1) ``` Bestimme Grad, Leitkoeffizient, reelle Nullstellen, das Verhalten an jeder Nullstelle und das Endverhalten. Beschreibe anschließend die Merkmale, die eine korrekte Skizze zeigen muss. ### Ausführliche Lösung Das Produkt der Leitterme ist $$-x^3$$. Daher hat das Polynom den Grad $$3$$ und den Leitkoeffizienten $$-1$$. Visible text: Das Produkt der Leitterme ist . Daher hat das Polynom den Grad und den Leitkoeffizienten . Aus der Faktorform lassen sich die Nullstellen direkt ablesen: - $$x=-1$$ hat die Vielfachheit $$1$$. Dort schneidet der Graph die $$x$$-Achse. - $$x=2$$ hat die Vielfachheit $$2$$. Dort berührt der Graph die $$x$$-Achse und kehrt um. Visible text: - hat die Vielfachheit . Dort schneidet der Graph die -Achse. - hat die Vielfachheit . Dort berührt der Graph die -Achse und kehrt um. Da der Grad ungerade und der Leitkoeffizient negativ ist, gilt Component: MathContainer Children: ```math x\to-\infty \implies p(x)\to\infty ``` ```math x\to\infty \implies p(x)\to-\infty ``` Als weiterer Kontrollpunkt gilt $$p(0)=-4$$. Eine korrekte Skizze steigt also ganz links, schneidet die Achse bei $$(-1,0)$$, verläuft durch $$(0,-4)$$, berührt die Achse bei $$(2,0)$$ und fällt ganz rechts. Visible text: Als weiterer Kontrollpunkt gilt . Eine korrekte Skizze steigt also ganz links, schneidet die Achse bei , verläuft durch , berührt die Achse bei und fällt ganz rechts.