# Polynomkonzept > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/polynome/grundidee-von-polynomen Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/polynomial/polynomial-concept/de.mdx Verstehe Polynome von Grund auf: Erkenne Monome, verbinde sie zu Polynomen und unterscheide gültige von ungültigen Polynomausdrücken. --- ## Monome kennenlernen Bevor wir Polynome definieren, schauen wir uns ihre Bausteine an: **Monome**. Betrachte dazu die folgenden algebraischen Ausdrücke: Component: MathContainer Children: ```math \sqrt[3]{p} \quad \text{(kein Monom)} ``` ```math 2x^2y \quad \text{(Monom)} ``` ```math -8 \quad \text{(Monom)} ``` ```math \frac{2}{m} \quad \text{(kein Monom)} ``` ```math 1{,}24k^4 \quad \text{(Monom)} ``` ```math 5a^{-6} \quad \text{(kein Monom)} ``` Die Ausdrücke lassen sich in zwei Gruppen einteilen: 1. **Gruppe $$1$$ (Monome):** $$2x^2y$$, $$-8$$, $$1{,}24k^4$$ 2. **Gruppe $$2$$ (keine Monome):** $$\sqrt[3]{p}$$, $$\frac{2}{m}$$, $$5a^{-6}$$ Visible text: 1. **Gruppe (Monome):** , , 2. **Gruppe (keine Monome):** , , Die Ausdrücke in Gruppe $$1$$ heißen **Monome**. Visible text: Die Ausdrücke in Gruppe heißen **Monome**. ### Was ist ein Monom? **Ein Monom** ist eine Zahl, eine Variable mit einem nichtnegativen ganzzahligen Exponenten ($$0, 1, 2, 3, \dots$$) oder ein Produkt aus einer Zahl und solchen Variablen. Visible text: **Ein Monom** ist eine Zahl, eine Variable mit einem nichtnegativen ganzzahligen Exponenten () oder ein Produkt aus einer Zahl und solchen Variablen. Schauen wir genauer hin, warum Gruppe $$1$$ aus Monomen besteht und Gruppe $$2$$ nicht: Visible text: Schauen wir genauer hin, warum Gruppe aus Monomen besteht und Gruppe nicht: - **Gruppe $$1$$ (Monome):** - $$2x^2y$$: Ein Produkt aus der Zahl $$2$$ und den Variablen $$x$$ und $$y$$ mit den nichtnegativen ganzzahligen Exponenten $$2$$ und $$1$$. - $$-8$$: Eine Konstante, also eine Zahl ohne Variable. Sie lässt sich auch als $$-8x^0$$ schreiben. - $$1{,}24k^4$$: Ein Produkt aus der Zahl $$1{,}24$$ und der Variablen $$k$$ mit dem nichtnegativen ganzzahligen Exponenten $$4$$. - **Gruppe $$2$$ (keine Monome):** - $$\sqrt[3]{p} = p^{1/3}$$: Der Exponent $$1/3$$ von $$p$$ ist keine nichtnegative ganze Zahl. - $$\frac{2}{m} = 2m^{-1}$$: Der Exponent $$-1$$ von $$m$$ ist keine nichtnegative ganze Zahl. - $$5a^{-6}$$: Der Exponent $$-6$$ von $$a$$ ist keine nichtnegative ganze Zahl. Visible text: - **Gruppe (Monome):** - : Ein Produkt aus der Zahl und den Variablen und mit den nichtnegativen ganzzahligen Exponenten und . - : Eine Konstante, also eine Zahl ohne Variable. Sie lässt sich auch als schreiben. - : Ein Produkt aus der Zahl und der Variablen mit dem nichtnegativen ganzzahligen Exponenten . - **Gruppe (keine Monome):** - : Der Exponent von ist keine nichtnegative ganze Zahl. - : Der Exponent von ist keine nichtnegative ganze Zahl. - : Der Exponent von ist keine nichtnegative ganze Zahl. Das entscheidende Merkmal eines Monoms lautet also: **Alle Variablenexponenten sind nichtnegative ganze Zahlen.** Die Zahl, mit der der Variablenteil multipliziert wird, heißt **Koeffizient**. In $$2x^2y$$ ist das zum Beispiel $$2$$. Visible text: Das entscheidende Merkmal eines Monoms lautet also: **Alle Variablenexponenten sind nichtnegative ganze Zahlen.** Die Zahl, mit der der Variablenteil multipliziert wird, heißt **Koeffizient**. In ist das zum Beispiel . ## Definition des Polynoms Mit diesem Baustein können wir nun ein **Polynom** definieren. **Ein Polynom** ist ein einzelnes Monom oder eine Summe beziehungsweise Differenz aus mehreren Monomen. Betrachte die folgenden Beispiele: Component: MathContainer Children: ```math 4x^3y - 3x^2 ``` ```math x + 2\sqrt{x} ``` ```math 2x^3 - 5x^{-2} + 1 ``` Wir prüfen nun, welche Ausdrücke Polynome sind: 1. $$4x^3y - 3x^2$$ - Der Term $$4x^3y$$ ist ein Monom. - Der Term $$-3x^2$$ ist ein Monom. - **Fazit:** ein Polynom, denn hier werden zwei Monome subtrahiert. 2. $$x + 2\sqrt{x}$$ - Der Term $$x$$ ist ein Monom. - Der Term $$2\sqrt{x} = 2x^{1/2}$$ ist kein Monom, denn der Exponent ist keine nichtnegative ganze Zahl. - **Fazit:** kein Polynom. 3. $$2x^3 - 5x^{-2} + 1$$ - Der Term $$2x^3$$ ist ein Monom. - Der Term $$-5x^{-2}$$ ist kein Monom, denn der Exponent ist keine nichtnegative ganze Zahl. - Der Term $$1$$ ist ein Monom (Konstante). - **Fazit:** kein Polynom. Visible text: 1. - Der Term ist ein Monom. - Der Term ist ein Monom. - **Fazit:** ein Polynom, denn hier werden zwei Monome subtrahiert. 2. - Der Term ist ein Monom. - Der Term ist kein Monom, denn der Exponent ist keine nichtnegative ganze Zahl. - **Fazit:** kein Polynom. 3. - Der Term ist ein Monom. - Der Term ist kein Monom, denn der Exponent ist keine nichtnegative ganze Zahl. - Der Term ist ein Monom (Konstante). - **Fazit:** kein Polynom. ### Addition und Subtraktion in Polynomen Die Definition verwendet eine _Summe_ von Monomen, während Beispiel $$1$$ mit der _Subtraktion_ $$4x^3y - 3x^2$$ geschrieben ist. Zwischen beiden Formen besteht kein Widerspruch. Visible text: Die Definition verwendet eine _Summe_ von Monomen, während Beispiel mit der _Subtraktion_ geschrieben ist. Zwischen beiden Formen besteht kein Widerspruch. Eine Subtraktion lässt sich als Addition einer negativen Zahl auffassen. Deshalb ist $$4x^3y - 3x^2$$ dasselbe wie $$4x^3y + (-3x^2)$$. Visible text: Eine Subtraktion lässt sich als Addition einer negativen Zahl auffassen. Deshalb ist dasselbe wie . Sowohl $$4x^3y$$ als auch $$-3x^2$$ sind Monome. Ihre Summe ist daher ein Polynom, auch wenn sie ursprünglich als Subtraktion geschrieben wurde. Visible text: Sowohl als auch sind Monome. Ihre Summe ist daher ein Polynom, auch wenn sie ursprünglich als Subtraktion geschrieben wurde. Ein algebraischer Ausdruck heißt also Polynom, wenn alle seine Terme Monome sind, das heißt, jede Variable hat einen nichtnegativen ganzzahligen Exponenten. ## Übung Entscheide für jeden Ausdruck, ob er in den angegebenen Variablen ein Polynom ist. Begründe deine Entscheidung mit der Exponentenregel. 1. $$7x^4-2x+9$$ in $$x$$ 2. $$\sqrt{x}+1$$ in $$x$$ 3. $$\frac{3}{x^2}-5$$ in $$x$$ 4. $$5y^2z^3-2yz+4$$ in $$y$$ und $$z$$ Visible text: 1. in 2. in 3. in 4. in und ### Ausführliche Lösung 1. **Polynom.** Die Exponenten von $$x$$ sind $$4$$, $$1$$ und $$0$$. 2. **Kein Polynom.** Wegen $$\sqrt{x}=x^{1/2}$$ ist der Exponent $$1/2$$ keine nichtnegative ganze Zahl. 3. **Kein Polynom.** Wegen $$\frac{3}{x^2}=3x^{-2}$$ ist der Exponent $$-2$$ negativ. 4. **Polynom.** Alle Exponenten von $$y$$ und $$z$$ sind nichtnegative ganze Zahlen. Fehlt eine Variable in einem Term, hat sie dort den Exponenten $$0$$. Visible text: 1. **Polynom.** Die Exponenten von sind , und . 2. **Kein Polynom.** Wegen ist der Exponent keine nichtnegative ganze Zahl. 3. **Kein Polynom.** Wegen ist der Exponent negativ. 4. **Polynom.** Alle Exponenten von und sind nichtnegative ganze Zahlen. Fehlt eine Variable in einem Term, hat sie dort den Exponenten .