# Horners Methode
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URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/polynome/horner-schema
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Verstehe das Horner-Schema als kompakte Polynomdivision und wende es mit vollständigen Koeffizientenfolgen sicher an.
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## Horners Methode verstehen
Das Horner-Schema verkürzt die Polynomdivision, wenn der Divisor linear ist, etwa $$(x-c)$$. Statt alle Variablen und Potenzen auszuschreiben, arbeiten wir nur mit der geordneten Koeffizientenfolge sowie wiederholten Multiplikationen und Additionen.
Visible text: Das Horner-Schema verkürzt die Polynomdivision, wenn der Divisor linear ist, etwa . Statt alle Variablen und Potenzen auszuschreiben, arbeiten wir nur mit der geordneten Koeffizientenfolge sowie wiederholten Multiplikationen und Additionen.
### Vergleich mit der Polynomdivision
Um zu sehen, wie Horners Methode den Prozess vereinfacht, vergleichen wir die Division von $$P(x) = x^3 - 7x + 8$$ (oder $$x^3 + 0x^2 - 7x + 8$$) durch $$x-2$$ unter Verwendung beider Methoden:
Visible text: Um zu sehen, wie Horners Methode den Prozess vereinfacht, vergleichen wir die Division von (oder ) durch unter Verwendung beider Methoden:
**Polynomdivision:**
```math
\begin{array}{l}
\qquad\quad\space\space x^2 + 2x - 3 \\
x-2\overline{\big)x^3 + 0x^2 - 7x + 8} \\
\quad\space\space \underline{-(x^3 - 2x^2)} \\
\qquad\qquad 2x^2 - 7x \\
\qquad\quad \underline{-(2x^2 - 4x)} \\
\qquad\qquad\qquad -3x + 8 \\
\qquad\qquad\quad \underline{-(-3x + 6)} \\
\qquad\qquad\qquad\qquad\quad 2 \\
\end{array}
```
**Horners Methode:**
```math
\begin{array}{c|cccc}
2 & 1 & 0 & -7 & 8 \\
& & 2 & 4 & -6 \\
\hline
& 1 & 2 & -3 & \boxed{2} \\
\end{array}
```
Im Horner-Schema brauchen wir nur die Koeffizienten $$(1, 0, -7, 8)$$ und den Wert $$c=2$$. Die ersten drei Zahlen der unteren Zeile, $$(1, 2, -3)$$, sind die Koeffizienten des Quotienten $$1x^2 + 2x - 3$$. Die letzte Zahl $$\boxed{2}$$ ist der Rest.
Visible text: Im Horner-Schema brauchen wir nur die Koeffizienten und den Wert . Die ersten drei Zahlen der unteren Zeile, , sind die Koeffizienten des Quotienten . Die letzte Zahl ist der Rest.
Damit ist die Rechnung deutlich kompakter als bei der ausgeschriebenen Polynomdivision.
Direkt anwendbar ist das Schema bei einem linearen Divisor der Form $$(x-c)$$. Ein Divisor wie $$(ax-b)$$ muss zuerst passend umgeformt werden.
Visible text: Direkt anwendbar ist das Schema bei einem linearen Divisor der Form . Ein Divisor wie muss zuerst passend umgeformt werden.
## Vorbereitung auf die Anwendung der Horner-Methode
Vor der Division mit der Horner-Methode sind mehrere Vorbereitungsschritte erforderlich:
1. **Koeffizienten des Dividenden $$P(x)$$ notieren:**
Schreibe die Koeffizienten vom höchsten Exponenten bis zum konstanten Glied auf. Fehlt eine Potenz, muss an ihrer Stelle der Koeffizient $$0$$ stehen.
**Beispiel:**
Bei $$P(x) = 2x^3 + 5x^2 + 6$$ fehlt der $$x$$-Term. Seine Stelle erhält daher den Koeffizienten $$0$$. Die vollständige Folge lautet $$2, 5, 0, 6$$.
2. **Den Wert $$c$$ aus dem Divisor $$x-c$$ ablesen:**
Lies $$c$$ aus dem Divisor ab. Steht er als $$x-c$$, verwenden wir $$c$$. Bei $$x+c$$ entspricht der Divisor $$x - (-c)$$, daher verwenden wir $$-c$$.
**Beispiel:**
Wenn der Teiler $$x+3$$ ist, dann $$x - (-3)$$, also $$c = -3$$.
3. **Horner-Schema aufbauen:**
Setze $$c$$ links vor das Schema und schreibe die Koeffizienten von $$P(x)$$ in die obere Zeile.
Visible text: 1. **Koeffizienten des Dividenden notieren:**
Schreibe die Koeffizienten vom höchsten Exponenten bis zum konstanten Glied auf. Fehlt eine Potenz, muss an ihrer Stelle der Koeffizient stehen.
**Beispiel:**
Bei fehlt der -Term. Seine Stelle erhält daher den Koeffizienten . Die vollständige Folge lautet .
2. **Den Wert aus dem Divisor ablesen:**
Lies aus dem Divisor ab. Steht er als , verwenden wir . Bei entspricht der Divisor , daher verwenden wir .
**Beispiel:**
Wenn der Teiler ist, dann , also .
3. **Horner-Schema aufbauen:**
Setze links vor das Schema und schreibe die Koeffizienten von in die obere Zeile.
## Divisionsprozess mit der Horner-Methode
Hier sind die Schritte zur Durchführung einer Division nach dem Horner-Schema:
1. **Ersten Koeffizienten herunterziehen:** Übertrage $$a_n$$ unverändert in die untere Zeile.
2. **Multiplizieren:** Multipliziere die zuletzt eingetragene Zahl mit $$c$$ und schreibe das Ergebnis unter den nächsten Koeffizienten $$a_{n-1}$$.
3. **Addieren:** Addiere das Zwischenergebnis zum Koeffizienten $$a_{n-1}$$ und schreibe die Summe in die untere Zeile.
4. **Wiederholen:** Wiederhole Schritt $$2$$, also die Multiplikation mit $$c$$, und Schritt $$3$$, also die anschließende Addition, bis alle Koeffizienten verarbeitet sind.
5. **Ergebnis lesen:** Die letzte Zahl der unteren Zeile ist der **Rest $$S$$**. Die übrigen Zahlen sind von links nach rechts die **Koeffizienten des Quotienten $$H(x)$$**, beginnend bei der Potenz $$n-1$$.
Visible text: 1. **Ersten Koeffizienten herunterziehen:** Übertrage unverändert in die untere Zeile.
2. **Multiplizieren:** Multipliziere die zuletzt eingetragene Zahl mit und schreibe das Ergebnis unter den nächsten Koeffizienten .
3. **Addieren:** Addiere das Zwischenergebnis zum Koeffizienten und schreibe die Summe in die untere Zeile.
4. **Wiederholen:** Wiederhole Schritt , also die Multiplikation mit , und Schritt , also die anschließende Addition, bis alle Koeffizienten verarbeitet sind.
5. **Ergebnis lesen:** Die letzte Zahl der unteren Zeile ist der **Rest **. Die übrigen Zahlen sind von links nach rechts die **Koeffizienten des Quotienten **, beginnend bei der Potenz .
## Verwendung der Horner-Methode
Teilen wir $$P(x) = 2x^3 + 5x^2 + 6$$ durch $$x+3$$ mit beiden Methoden.
Visible text: Teilen wir durch mit beiden Methoden.
**Polynomdivision:**
```math
\begin{array}{l}
\qquad\quad\space 2x^2 - x + 3 \\
x+3\overline{\big)2x^3 + 5x^2 + 0x + 6} \\
\quad\space \underline{-(2x^3 + 6x^2)} \\
\qquad\qquad -x^2 + 0x \\
\qquad\quad \underline{-(-x^2 - 3x)} \\
\qquad\qquad\qquad 3x + 6 \\
\qquad\qquad\quad \underline{-(3x + 9)} \\
\qquad\qquad\qquad\qquad -3 \\
\end{array}
```
**Horners Methode:**
1. **Vorbereitung:**
- Koeffizienten von $$P(x)$$: $$2, 5, 0$$ (für $$x^1$$), $$6$$ (konstant).
- Der Teiler ist $$x+3$$, also $$x - (-3)$$, also $$c = -3$$.
2. **Horner-Prozess:**
```math
\begin{array}{c|cccc}
-3 & 2 & 5 & 0 & 6 \\
& & -6 & 3 & -9 \\
\hline
& 2 & -1 & 3 & \boxed{-3} \\
\end{array}
```
3. **Schema-Erklärung:**
- Ziehe $$2$$, den Koeffizienten von $$x^3$$, herunter.
- Aus $$2 \times (-3) = -6$$ folgt der Eintrag $$-6$$ unter $$5$$.
- Addiere $$5 + (-6) = -1$$ und schreibe $$-1$$ in die untere Zeile.
- Aus $$-1 \times (-3) = 3$$ folgt der Eintrag $$3$$ unter $$0$$.
- Addiere $$0 + 3 = 3$$ und schreibe $$3$$ in die untere Zeile.
- Aus $$3 \times (-3) = -9$$ folgt der Eintrag $$-9$$ unter $$6$$.
- Addiere $$6 + (-9) = -3$$. Die letzte Zahl $$-3$$ ist der Rest.
4. **Ergebnis:**
- Die letzte Zahl in der Ergebniszeile ist $$\boxed{-3}$$. Dies ist der **Rest ($$S$$)**.
- Die anderen Zahlen sind $$2, -1, 3$$. Dies sind die Koeffizienten des **Quotienten ($$H(x)$$)**. Da $$P(x)$$ den Grad $$3$$ hat, hat $$H(x)$$ den Grad $$2$$.
- Also $$H(x) = 2x^2 - 1x + 3 = 2x^2 - x + 3$$.
5. **Schreiben in Form eines Divisionsalgorithmus:**
```math
P(x) = (x-c) H(x) + S
```
```math
2x^3 + 5x^2 + 6 = (x+3)(2x^2 - x + 3) - 3
```
Visible text: 1. **Vorbereitung:**
- Koeffizienten von : (für ), (konstant).
- Der Teiler ist , also , also .
2. **Horner-Prozess:**
3. **Schema-Erklärung:**
- Ziehe , den Koeffizienten von , herunter.
- Aus folgt der Eintrag unter .
- Addiere und schreibe in die untere Zeile.
- Aus folgt der Eintrag unter .
- Addiere und schreibe in die untere Zeile.
- Aus folgt der Eintrag unter .
- Addiere . Die letzte Zahl ist der Rest.
4. **Ergebnis:**
- Die letzte Zahl in der Ergebniszeile ist . Dies ist der **Rest ()**.
- Die anderen Zahlen sind . Dies sind die Koeffizienten des **Quotienten ()**. Da den Grad hat, hat den Grad .
- Also .
5. **Schreiben in Form eines Divisionsalgorithmus:**
## Übung
Bestimme Quotient und Rest der Division von $$x^4 + 4$$ durch $$x - 1$$ sowohl mit dem Horner-Schema als auch mit der Polynomdivision.
Visible text: Bestimme Quotient und Rest der Division von durch sowohl mit dem Horner-Schema als auch mit der Polynomdivision.
Gib das Ergebnis in der Form $$P(x) = Q(x) \cdot H(x) + S(x)$$ an.
Visible text: Gib das Ergebnis in der Form an.
### Ausführliche Lösung
- Dividende: $$P(x) = x^4 + 4 = x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 0x + 4$$.
- Teiler: $$Q(x) = x - 1$$, also $$c = 1$$.
Visible text: - Dividende: .
- Teiler: , also .
**Polynomdivision:**
```math
\begin{array}{l}
\qquad\quad\space\space x^3 + x^2 + x + 1 \\
x-1\overline{\big)x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 0x + 4} \\
\quad\space\space \underline{-(x^4 - x^3)} \\
\qquad\qquad x^3 + 0x^2 \\
\qquad\quad \underline{-(x^3 - x^2)} \\
\qquad\qquad\qquad x^2 + 0x \\
\qquad\qquad\quad \underline{-(x^2 - x)} \\
\qquad\qquad\qquad\qquad x + 4 \\
\qquad\qquad\qquad\quad \underline{-(x - 1)} \\
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 5 \\
\end{array}
```
**Horners Methode:**
```math
\begin{array}{c|ccccc}
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 4 \\
& & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\hline
& 1 & 1 & 1 & 1 & \boxed{5} \\
\end{array}
```
**Ergebnis:**
- Quotient: $$H(x) = x^3 + x^2 + x + 1$$.
- Rest: $$S = \boxed{5}$$.
Visible text: - Quotient: .
- Rest: .
**Schreiben in Form eines Divisionsalgorithmus:**
```math
x^4 + 4 = (x-1)(x^3 + x^2 + x + 1) + 5
```