# Multiplikation von Polynomen

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Multipliziere Polynome sicher mit dem Distributivgesetz oder der Tabellenmethode und fasse gleichartige Terme Schritt für Schritt zusammen.

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## Grundprinzip der Polynommultiplikation

Auch die [Addition und Subtraktion von Polynomen](/de/fächer/mathematik/polynom/addition-subtraktion-polynom) folgt vertrauten Rechenregeln. Für die Multiplikation brauchen wir vor allem das Distributivgesetz.

Die zentrale Regel lautet: **Multipliziere jeden Term des ersten Polynoms mit jedem Term des zweiten Polynoms.**

Anschließend werden alle **gleichartigen Terme zusammengefasst**. Erst dann liegt das vereinfachte Ergebnis vor.

## Multiplikationsmethoden

Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine Polynommultiplikation durchzuführen, alle basieren jedoch auf der Verteilungseigenschaft.

### Horizontale Verteilungsmethode

Bei dieser Methode wird jeder Term des ersten Polynoms auf alle Terme des zweiten Polynoms verteilt.

**Beispiel** $$1$$:

Visible text: **Beispiel** :

Bestimme das Produkt $$(x - 5)(x^2 + 3x - 1)$$.

Visible text: Bestimme das Produkt .

Component: MathContainer
Children:

```math
(x - 5)(x^2 + 3x - 1)
```

```math
= x(x^2 + 3x - 1) - 5(x^2 + 3x - 1) \quad \text{(Verteilen} (x-5))
```

```math
= (x \cdot x^2 + x \cdot 3x + x \cdot (-1)) + (-5 \cdot x^2 - 5 \cdot 3x - 5 \cdot (-1)) \quad \text{(Verteilen} x \text{und} -5)
```

```math
= (x^3 + 3x^2 - x) + (-5x^2 - 15x + 5) \quad \text{(Ergebnis der Termmultiplikation)}
```

```math
= x^3 + 3x^2 - x - 5x^2 - 15x + 5 \quad \text{(Klammern entfernen)}
```

```math
= x^3 + (3x^2 - 5x^2) + (-x - 15x) + 5 \quad \text{(gleichartige Terme zusammenfassen)}
```

```math
= x^3 - 2x^2 - 16x + 5 \quad \text{(Endergebnis)}
```

**Beispiel** $$2$$:

Visible text: **Beispiel** :

Bestimme das Produkt $$(x^2 - 2x + 7)(2x - 5)$$.

Visible text: Bestimme das Produkt .

Component: MathContainer
Children:

```math
(x^2 - 2x + 7)(2x - 5)
```

```math
= x^2(2x - 5) - 2x(2x - 5) + 7(2x - 5) \quad \text{(Verteilen} (x^2-2x+7))
```

```math
= (x^2 \cdot 2x + x^2 \cdot (-5)) + (-2x \cdot 2x - 2x \cdot (-5)) + (7 \cdot 2x + 7 \cdot (-5)) \quad \text{(Verteilen} x^2, -2x, \text{und} 7)
```

```math
= (2x^3 - 5x^2) + (-4x^2 + 10x) + (14x - 35) \quad \text{(Ergebnis der Termmultiplikation)}
```

```math
= 2x^3 - 5x^2 - 4x^2 + 10x + 14x - 35 \quad \text{(Klammern entfernen)}
```

```math
= 2x^3 + (-5x^2 - 4x^2) + (10x + 14x) - 35 \quad \text{(gleichartige Terme zusammenfassen)}
```

```math
= 2x^3 - 9x^2 + 24x - 35 \quad \text{(Endergebnis)}
```

### Tabellenmethode als Flächenmodell

Eine Tabelle macht sichtbar, welcher Term mit welchem anderen Term multipliziert wird. Das funktioniert ähnlich wie ein Flächenmodell bei der Multiplikation zweier Zahlen.

Beispielsweise kann die Multiplikation $$16 \times 12$$ als Fläche eines Rechtecks mit den Seiten $$10+6$$ und $$10+2$$ angesehen werden.

Visible text: Beispielsweise kann die Multiplikation als Fläche eines Rechtecks mit den Seiten und angesehen werden.

|        | $$10$$ | $$6$$ |
| :----- | :-- | :-- |
| $$10$$ | $$100$$ | $$60$$ |
| $$2$$ | $$20$$ | $$12$$ |

Visible text: | | | |
| :----- | :-- | :-- |
| | | |
| | | |

Die Gesamtfläche beträgt $$100 + 60 + 20 + 12 = 192$$.

Visible text: Die Gesamtfläche beträgt .

Der gleiche Ansatz kann auf Polynome angewendet werden.

**Beispiel** $$3$$:

Visible text: **Beispiel** :

Bestimme das Produkt $$(x + 6)(x + 2)$$ mithilfe der Tabellenmethode.

Visible text: Bestimme das Produkt mithilfe der Tabellenmethode.

|                             |  $$x$$ | $$+6$$ |
| :------------ | :---------: | :---------- |
| **$$x$$** | $$x^2$$ | $$+6x$$ |
| $$+2$$ | $$+2x$$ | $$+12$$ |

Visible text: | | | |
| :------------ | :---------: | :---------- |
| **** | | |
| | | |

Addiere nun alle Ergebnisse aus den Tabellenfeldern:

```math
x^2 + 6x + 2x + 12
```

Fasse die gleichartigen Terme zusammen:

Component: MathContainer
Children:

```math
= x^2 + (6x + 2x) + 12
```

```math
= x^2 + 8x + 12
```

**Beispiel** $$4$$:

Visible text: **Beispiel** :

Bestimme das Produkt $$(x - 5)(x^2 + 3x - 1)$$ mithilfe der Tabellenmethode.

Visible text: Bestimme das Produkt mithilfe der Tabellenmethode.

|                             |  $$x^2$$ |  $$+3x$$ | $$-1$$ |
| :------------ | :-----------: | :-----------: | :----------------------: |
| **$$x$$** |  $$x^3$$ | $$+3x^2$$ | $$-x$$ |
| $$-5$$ | $$-5x^2$$ | $$-15x$$ | $$+5$$ |

Visible text: | | | | |
| :------------ | :-----------: | :-----------: | :----------------------: |
| **** | | | |
| | | | |

Addiere alle Ergebnisse aus den Tabellenfeldern:

```math
x^3 + 3x^2 - x - 5x^2 - 15x + 5
```

Fasse die gleichartigen Terme zusammen:

Component: MathContainer
Children:

```math
= x^3 + (3x^2 - 5x^2) + (-x - 15x) + 5
```

```math
= x^3 - 2x^2 - 16x + 5
```

Beide Methoden liefern dasselbe Ergebnis. Die Tabellenmethode ordnet lediglich alle Teilprodukte so an, dass kein Term übersehen wird.

## Übung

Multipliziere $$(2x-3)(x^2+x-4)$$ aus und fasse gleichartige Terme zusammen.

Visible text: Multipliziere aus und fasse gleichartige Terme zusammen.

### Ausführliche Lösung

Wir multiplizieren beide Terme des ersten Faktors mit jedem Term des zweiten Faktors. Zunächst bleiben alle Teilprodukte sichtbar, erst danach werden gleichartige Terme zusammengefasst:

Component: MathContainer
Children:

```math
(2x-3)(x^2+x-4)
```

```math
=2x(x^2+x-4)-3(x^2+x-4)
```

```math
=2x^3+2x^2-8x-3x^2-3x+12
```

```math
=2x^3-x^2-11x+12
```

Auch der Grad passt: Ein linearer Faktor multipliziert mit einem quadratischen Faktor hat höchstens den Grad $$3$$. Das Produkt der Leitterme $$2x\cdot x^2=2x^3$$ stimmt mit dem Leitterm des Ergebnisses überein.

Visible text: Auch der Grad passt: Ein linearer Faktor multipliziert mit einem quadratischen Faktor hat höchstens den Grad . Das Produkt der Leitterme stimmt mit dem Leitterm des Ergebnisses überein.