# Lange Polynomdivision

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Lerne die Polynomdivision Schritt für Schritt kennen und bestimme Quotient und Rest anhand vollständiger Beispiele und Übungen.

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## Schriftliche Polynomdivision

Die schriftliche Polynomdivision bestimmt Quotient und Rest bei der Division zweier Polynome. Ihr Ablauf ähnelt der schriftlichen Division ganzer Zahlen.

## Vorbereitung

Vor der Division sind einige Vorbereitungen nötig:

1.  **Terme ordnen:**

    Ordne den Dividenden ($$P(x)$$) und den Divisor ($$Q(x)$$) nach fallenden Potenzen der Variablen.

2.  **Fehlende Potenzen ergänzen:**

    Fehlt eine Potenz, ergänze ihren Nullkoeffizienten als _Platzhalter_. Dadurch stehen beim Subtrahieren gleiche Potenzen in derselben Spalte.

    **Beispiel:**

    Wenn $$P(x) = 4x^4 + 17x^3 - 3x + 1$$, fehlt der $$x^2$$-Term.

    Also schreiben wir es als $$P(x) = 4x^4 + 17x^3 + 0x^2 - 3x + 1$$.

3.  **Divisionsschema aufbauen:**

    Schreibe die Division als schriftliches Schema. Das vervollständigte $$P(x)$$ steht unter dem Divisionsstrich, $$Q(x)$$ als Divisor davor.

Visible text: 1. **Terme ordnen:**

 Ordne den Dividenden () und den Divisor () nach fallenden Potenzen der Variablen.

2. **Fehlende Potenzen ergänzen:**

 Fehlt eine Potenz, ergänze ihren Nullkoeffizienten als _Platzhalter_. Dadurch stehen beim Subtrahieren gleiche Potenzen in derselben Spalte.

 **Beispiel:**

 Wenn , fehlt der -Term.

 Also schreiben wir es als .

3. **Divisionsschema aufbauen:**

 Schreibe die Division als schriftliches Schema. Das vervollständigte steht unter dem Divisionsstrich, als Divisor davor.

## Schritte der Polynomdivision

Der Ablauf wiederholt fünf klare Schritte:

1.  **Dividieren:** Teile den führenden Term von $$P(x)$$ durch den führenden Term von $$Q(x)$$. Schreibe das Ergebnis als ersten Term des Quotienten $$H(x)$$ über die Linie.
2.  **Multiplizieren:** Multipliziere den so erhaltenen Quotiententerm mit dem _gesamten_ Divisor $$Q(x)$$.
3.  **Subtrahieren:** Schreibe das Produkt unter $$P(x)$$, richte gleichartige Terme untereinander aus und subtrahiere es von $$P(x)$$. So entsteht ein vorläufiger Rest.
4.  **Herunterziehen:** Ziehe den nächsten Term von $$P(x)$$ herunter und ergänze damit den vorläufigen Rest zu einem neuen Polynom.
5.  **Wiederholen:** Wiederhole die Schritte $$1\text{-}4$$, bis der Grad des Rests kleiner als der Grad des Divisors $$Q(x)$$ ist.

Visible text: 1. **Dividieren:** Teile den führenden Term von durch den führenden Term von . Schreibe das Ergebnis als ersten Term des Quotienten über die Linie.
2. **Multiplizieren:** Multipliziere den so erhaltenen Quotiententerm mit dem _gesamten_ Divisor .
3. **Subtrahieren:** Schreibe das Produkt unter , richte gleichartige Terme untereinander aus und subtrahiere es von . So entsteht ein vorläufiger Rest.
4. **Herunterziehen:** Ziehe den nächsten Term von herunter und ergänze damit den vorläufigen Rest zu einem neuen Polynom.
5. **Wiederholen:** Wiederhole die Schritte , bis der Grad des Rests kleiner als der Grad des Divisors ist.

### Beispiel einer Polynomdivision

Dividiere $$P(x) = 4x^4 + 17x^3 - 3x + 1$$ durch $$Q(x) = x^2 + 4x - 1$$.

Visible text: Dividiere durch .

1. **Vorbereitung:**

   - $$P(x) = 4x^4 + 17x^3 + 0x^2 - 3x + 1$$ (Ergänze den fehlenden $$x^2$$-Term.)
   - $$Q(x) = x^2 + 4x - 1$$

2. **Divisionsrechnung:**

   
   
   ```math
   \begin{array}{l}
    \qquad\qquad\qquad 4x^2 + x \\
    x^2+4x-1\overline{\big)4x^4 + 17x^3 + 0x^2 - 3x + 1} \\
    \qquad\qquad\underline{-(4x^4 + 16x^3 - 4x^2)} \\
    \qquad\qquad\qquad\qquad x^3 + 4x^2 - 3x \\
    \qquad\qquad\qquad\quad\underline{-(x^3 + 4x^2 - x)} \\
    \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad -2x + 1 \\
    \end{array}
   ```

3. **Schritt-für-Schritt-Erklärung:**

   **Iteration** $$1$$:

   - **Dividieren:** Teile den führenden Term $$4x^4$$ durch den führenden Term des Divisors $$x^2$$:

     
     
     ```math
     \frac{4x^4}{x^2} = 4x^2
     ```

     Schreibe $$4x^2$$ als ersten Term des Quotienten.

   - **Multiplizieren:** Multipliziere $$4x^2$$ mit dem Divisor $$x^2 + 4x - 1$$:

     
     
     ```math
     4x^2(x^2 + 4x - 1) = 4x^4 + 16x^3 - 4x^2
     ```

   - **Subtrahieren:** Subtrahiere das Produkt vom anfänglichen Polynom:

     
     
     ```math
     (4x^4 + 17x^3 + 0x^2) - (4x^4 + 16x^3 - 4x^2) = x^3 + 4x^2
     ```

   - **Herunterziehen:** Ziehe den nächsten Term ($$-3x$$) herunter, um das neue Polynom zu erhalten:

     $$x^3 + 4x^2 - 3x$$

   **Iteration** $$2$$:

   - **Dividieren:** Teile den führenden Term des neuen Polynoms $$x^3$$ durch den führenden Term des Divisors $$x^2$$:

     
     
     ```math
     \frac{x^3}{x^2} = x
     ```

     Schreibe $$+x$$ als nächsten Term des Quotienten.

   - **Multiplizieren:** Multipliziere $$x$$ mit dem Divisor $$x^2 + 4x - 1$$:

     
     
     ```math
     x(x^2 + 4x - 1) = x^3 + 4x^2 - x
     ```

   - **Subtrahieren:** Subtrahiere das Produkt vom aktuellen Polynom:

     
     
     ```math
     (x^3 + 4x^2 - 3x) - (x^3 + 4x^2 - x) = -2x
     ```

   - **Herunterziehen:** Ziehe den nächsten Term ($$+1$$) herunter, um den vorläufigen Rest zu erhalten:

     
     
     ```math
     -2x + 1
     ```

   **Abbruch:** Der Grad des Restes ($$-2x+1$$, Grad $$1$$) ist kleiner als der Grad des Divisors ($$x^2+4x-1$$, Grad $$2$$). Damit ist die Division beendet.

4. **Ergebnis:**

     - Der Quotient ($$H(x)$$) ist $$4x^2 + x$$.
     - Der Rest ($$S(x)$$) beträgt $$-2x + 1$$.

5. **Schreiben in Form eines Divisionsalgorithmus:**

     Mit dem Divisionsalgorithmus können wir das Ergebnis so schreiben:

     - Bruchform:

       
       
       ```math
       \frac{4x^4 + 17x^3 - 3x + 1}{x^2 + 4x - 1} = 4x^2 + x + \frac{-2x + 1}{x^2 + 4x - 1}
       ```

     - Multiplikationsform:

       
       
       ```math
       4x^4 + 17x^3 - 3x + 1 = (x^2 + 4x - 1)(4x^2 + x) + (-2x + 1)
       ```

Visible text: 1. **Vorbereitung:**

 - (Ergänze den fehlenden -Term.)
 - 

2. **Divisionsrechnung:**

 
 

3. **Schritt-für-Schritt-Erklärung:**

 **Iteration** :

 - **Dividieren:** Teile den führenden Term durch den führenden Term des Divisors :

 
 

 Schreibe als ersten Term des Quotienten.

 - **Multiplizieren:** Multipliziere mit dem Divisor :

 
 

 - **Subtrahieren:** Subtrahiere das Produkt vom anfänglichen Polynom:

 
 

 - **Herunterziehen:** Ziehe den nächsten Term () herunter, um das neue Polynom zu erhalten:

 

 **Iteration** :

 - **Dividieren:** Teile den führenden Term des neuen Polynoms durch den führenden Term des Divisors :

 
 

 Schreibe als nächsten Term des Quotienten.

 - **Multiplizieren:** Multipliziere mit dem Divisor :

 
 

 - **Subtrahieren:** Subtrahiere das Produkt vom aktuellen Polynom:

 
 

 - **Herunterziehen:** Ziehe den nächsten Term () herunter, um den vorläufigen Rest zu erhalten:

 
 

 **Abbruch:** Der Grad des Restes (, Grad ) ist kleiner als der Grad des Divisors (, Grad ). Damit ist die Division beendet.

4. **Ergebnis:**

 - Der Quotient () ist .
 - Der Rest () beträgt .

5. **Schreiben in Form eines Divisionsalgorithmus:**

 Mit dem Divisionsalgorithmus können wir das Ergebnis so schreiben:

 - Bruchform:

 
 

 - Multiplikationsform:

Die Polynomdivision hält jeden Divisions-, Multiplikations- und Subtraktionsschritt fest. Diese Anordnung funktioniert für Divisoren beliebigen positiven Grades und erleichtert die Kontrolle mit $$P(x)=Q(x)H(x)+S(x)$$.

Visible text: Die Polynomdivision hält jeden Divisions-, Multiplikations- und Subtraktionsschritt fest. Diese Anordnung funktioniert für Divisoren beliebigen positiven Grades und erleichtert die Kontrolle mit .

## Übung

Bestimme bei der Division von $$P(x) = x^3 - x + 9$$ durch $$Q(x) = x^2 - 2x + 3$$ das Quotientenpolynom $$H(x)$$ und das Restpolynom $$S(x)$$.

Visible text: Bestimme bei der Division von durch das Quotientenpolynom und das Restpolynom .

Gib das Ergebnis in der Form $$P(x) = Q(x) \cdot H(x) + S(x)$$ an.

Visible text: Gib das Ergebnis in der Form an.

### Ausführliche Lösung

Vervollständige $$P(x)$$ zu $$x^3 + 0x^2 - x + 9$$, damit alle Potenzen in absteigender Reihenfolge vorhanden sind.

Visible text: Vervollständige zu , damit alle Potenzen in absteigender Reihenfolge vorhanden sind.

```math
\begin{array}{l}
\qquad\qquad\qquad x + 2 \\
x^2-2x+3\overline{\big)x^3 + 0x^2 - x + 9} \\
\qquad\qquad\underline{-(x^3 - 2x^2 + 3x)} \\
\qquad\qquad\qquad\quad 2x^2 - 4x + 9 \\
\qquad\qquad\qquad\underline{-(2x^2 - 4x + 6)} \\
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 3 \\
\end{array}
```

Zuerst werden die führenden Terme dividiert: $$x^3 \div x^2 = x$$. Nach dem Multiplizieren und Subtrahieren lautet der neue führende Term $$2x^2$$. Deshalb ist der nächste Quotiententerm $$2x^2 \div x^2 = 2$$. Der verbleibende Rest $$3$$ hat einen kleineren Grad als der Divisor, also endet die Division hier.

Visible text: Zuerst werden die führenden Terme dividiert: . Nach dem Multiplizieren und Subtrahieren lautet der neue führende Term . Deshalb ist der nächste Quotiententerm . Der verbleibende Rest hat einen kleineren Grad als der Divisor, also endet die Division hier.

- Quotient: $$H(x) = x + 2$$
- Rest: $$S(x) = 3$$
- Form des Divisionsalgorithmus:

  
  
  ```math
  x^3 - x + 9 = (x^2 - 2x + 3)(x + 2) + 3
  ```

Visible text: - Quotient: 
- Rest: 
- Form des Divisionsalgorithmus: