# Division von Polynomen

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Verstehe den Polynomdivisionsalgorithmus anhand anschaulicher Beispiele, ordne Quotient und Rest richtig ein und überprüfe jedes Ergebnis in zwei Darstellungen.

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## Grundkonzept der Polynomdivision

Die Polynomdivision ähnelt der uns bekannten Division ganzer Zahlen. Wenn wir eine Zahl durch eine andere dividieren, erhalten wir einen Quotienten und einen Rest.

Teilen wir zum Beispiel $$7$$ durch $$4$$:

Visible text: Teilen wir zum Beispiel durch :

- Als gemischte Zahl gilt $$\frac{7}{4}$$ = $$1 \frac{3}{4}$$. Der ganzzahlige Quotient ist $$1$$, der Rest ist $$3$$.
- Für den Divisionsalgorithmus schreiben wir gleichwertig $$7 = 4 \cdot 1 + 3$$.

Visible text: - Als gemischte Zahl gilt = . Der ganzzahlige Quotient ist , der Rest ist .
- Für den Divisionsalgorithmus schreiben wir gleichwertig .

Hier:

- $$7$$ ist die **Dividende**
- $$4$$ ist der **Teiler**
- $$1$$ ist der **Quotient**
- $$3$$ ist der **Rest**

Visible text: - ist die **Dividende**
- ist der **Teiler**
- ist der **Quotient**
- ist der **Rest**

Genau dieses Prinzip übertragen wir nun auf Polynome.

## Polynomdivisionsalgorithmus

Der Divisionsalgorithmus beschreibt, wie Dividend, Divisor, Quotient und Rest zusammenhängen.

Wenn $$P(x)$$ (der Dividend) und $$Q(x)$$ (der Divisor) zwei Polynome mit $$Q(x) \neq 0$$ sind, dann gibt es eindeutige Polynome $$H(x)$$ (der Quotient) und $$S(x)$$ (der Rest), sodass:

Visible text: Wenn (der Dividend) und (der Divisor) zwei Polynome mit sind, dann gibt es eindeutige Polynome (der Quotient) und (der Rest), sodass:

```math
P(x) = Q(x) \cdot H(x) + S(x)
```

Äquivalent dazu gilt:

```math
\frac{P(x)}{Q(x)} = H(x) + \frac{S(x)}{Q(x)}
```

Die Polynomidentität $$P=QH+S$$ gilt für jedes $$x$$. Die Bruchform ist dagegen nur für Werte mit $$Q(x)\neq0$$ definiert. In beiden Formen muss der Grad von $$S(x)$$ kleiner sein als der Grad von $$Q(x)$$. Ist die Division ohne Rest möglich, gilt $$S(x)=0$$.

Visible text: Die Polynomidentität gilt für jedes . Die Bruchform ist dagegen nur für Werte mit definiert. In beiden Formen muss der Grad von kleiner sein als der Grad von . Ist die Division ohne Rest möglich, gilt .

**Terminologie:**

- $$P(x)$$: Dividendenpolynom
- $$Q(x)$$: Teilerpolynom
- $$H(x)$$: Quotientenpolynom
- $$S(x)$$: Restpolynom

Visible text: - : Dividendenpolynom
- : Teilerpolynom
- : Quotientenpolynom
- : Restpolynom

**Anschauliches Beispiel:**

Die Division von $$x^3 + 4x^2 + 5x + 8$$ durch $$x + 3$$ ergibt:

Visible text: Die Division von durch ergibt:

- Quotient $$H(x) = x^2 + x + 2$$
- Rest $$S(x) = 2$$

Visible text: - Quotient 
- Rest

Dies kann gemäß dem Algorithmus in zwei Formen geschrieben werden:

1.  Bruchform:

    
    
    ```math
    \frac{x^3 + 4x^2 + 5x + 8}{x + 3} = x^2 + x + 2 + \frac{2}{x + 3}
    ```

2.  Multiplikationsform:

    
    
    ```math
    x^3 + 4x^2 + 5x + 8 = (x + 3)(x^2 + x + 2) + 2
    ```

Visible text: 1. Bruchform:

 
 

2. Multiplikationsform:

Der Rest $$S(x)=2$$ hat den Grad $$0$$ und damit einen kleineren Grad als der Divisor $$x+3$$ mit Grad $$1$$. Diese Bedingung zeigt, dass die Division beendet ist.

Visible text: Der Rest hat den Grad und damit einen kleineren Grad als der Divisor mit Grad . Diese Bedingung zeigt, dass die Division beendet ist.

### Verifizierung des Divisionsalgorithmus

Zur Kontrolle multiplizieren wir den Quotienten mit dem Divisor und addieren anschließend den Rest.

Wir prüfen die Gleichung $$x^3 + 4x^2 + 5x + 8 = (x + 3)(x^2 + x + 2) + 2$$.

Visible text: Wir prüfen die Gleichung .

Erweitern wir die rechte Seite:

Component: MathContainer
Children:

```math
(x + 3)(x^2 + x + 2) + 2
```

```math
= [x(x^2 + x + 2) + 3(x^2 + x + 2)] + 2 \quad \text{(Verteilen} (x+3))
```

```math
= [x^3 + x^2 + 2x + 3x^2 + 3x + 6] + 2 \quad \text{(Verteilen} x \text{und} 3)
```

```math
= x^3 + (x^2 + 3x^2) + (2x + 3x) + 6 + 2 \quad \text{(gleichartige Terme zusammenfassen)}
```

```math
= x^3 + 4x^2 + 5x + 8 \quad \text{(Endergebnis)}
```

Die rechte Seite ergibt wieder den ursprünglichen Dividenden. Damit ist das Divisionsergebnis bestätigt.

## Übung

Dividiere $$P(x)=2x^3-3x^2+4x-5$$ durch $$Q(x)=x-2$$. Bestimme Quotient und Rest und überprüfe das Ergebnis anschließend mit dem Divisionsalgorithmus.

Visible text: Dividiere durch . Bestimme Quotient und Rest und überprüfe das Ergebnis anschließend mit dem Divisionsalgorithmus.

### Ausführliche Lösung

Da der Divisor $$x-2$$ lautet, verwenden wir $$c=2$$ im Horner-Schema:

Visible text: Da der Divisor lautet, verwenden wir im Horner-Schema:

```math
\begin{array}{c|cccc}
2 & 2 & -3 & 4 & -5 \\
&   & 4 & 2 & 12 \\
\hline
& 2 & 1 & 6 & \boxed{7}
\end{array}
```

Der Quotient ist $$H(x)=2x^2+x+6$$, der Rest ist $$S(x)=7$$. Zur Kontrolle setzen wir Divisor, Quotient und Rest wieder zusammen:

Visible text: Der Quotient ist , der Rest ist . Zur Kontrolle setzen wir Divisor, Quotient und Rest wieder zusammen:

Component: MathContainer
Children:

```math
(x-2)(2x^2+x+6)+7
```

```math
=2x^3+x^2+6x-4x^2-2x-12+7
```

```math
=2x^3-3x^2+4x-5
```

Damit gilt

```math
P(x)=(x-2)(2x^2+x+6)+7
```