# Polynomfunktion

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Polynomfunktionen in allgemeiner Form lesen und Grad, Leitterm, Leitkoeffizient sowie konstantes Glied sicher bestimmen.

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## Polynomfunktionen verstehen

Eine Polynomfunktion ordnet jedem zulässigen Wert der Variablen mithilfe eines Polynoms einen Funktionswert zu.

## Allgemeine Form einer Polynomfunktion

Eine Polynomfunktion in der Variablen $$x$$ wird im Allgemeinen in der Form geschrieben:

Visible text: Eine Polynomfunktion in der Variablen wird im Allgemeinen in der Form geschrieben:

```math
P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \dots + a_1 x + a_0
```

Die Bestandteile dieser allgemeinen Form haben jeweils eine feste Bedeutung:

- **$$P(x)$$**:

  Funktionsnotation: „P von x“ bedeutet, dass der Wert der Funktion vom Wert von $$x$$ abhängt.

- **$$x$$**:

  Die Variable der Polynomfunktion.

- **$$n$$**:

  Der höchste Exponent der Variablen $$x$$. Der Wert $$n$$ muss eine **nichtnegative ganze Zahl** aus $$0, 1, 2, 3, \dots$$ sein. Zugleich ist $$n$$ der **Grad** der Polynomfunktion.

- **$$a_n, a_{n-1}, \dots, a_1, a_0$$**:

  Die Koeffizienten der Polynomfunktion. In dieser Lektion betrachten wir **reelle Polynomfunktionen**, daher sind die Koeffizienten reelle Zahlen. Polynome lassen sich auch über anderen Zahlenbereichen untersuchen, etwa über den komplexen Zahlen.

- **$$a_n x^n$$**:

  Der Term mit der höchsten Potenz. Er heißt **Leitterm**.

- **$$a_n$$**:

  Der **Leitkoeffizient** $$a_n$$ muss **ungleich null** sein, also $$a_n \neq 0$$, damit die Funktion den Grad $$n$$ hat.

- **$$a_0$$**:

  Das Glied ohne die Variable $$x$$. Man kann es auch als $$a_0 x^0$$ schreiben. Es heißt **konstantes Glied** oder **Konstante**.

Visible text: - ****:

 Funktionsnotation: „P von x“ bedeutet, dass der Wert der Funktion vom Wert von abhängt.

- ****:

 Die Variable der Polynomfunktion.

- ****:

 Der höchste Exponent der Variablen . Der Wert muss eine **nichtnegative ganze Zahl** aus sein. Zugleich ist der **Grad** der Polynomfunktion.

- ****:

 Die Koeffizienten der Polynomfunktion. In dieser Lektion betrachten wir **reelle Polynomfunktionen**, daher sind die Koeffizienten reelle Zahlen. Polynome lassen sich auch über anderen Zahlenbereichen untersuchen, etwa über den komplexen Zahlen.

- ****:

 Der Term mit der höchsten Potenz. Er heißt **Leitterm**.

- ****:

 Der **Leitkoeffizient** muss **ungleich null** sein, also , damit die Funktion den Grad hat.

- ****:

 Das Glied ohne die Variable . Man kann es auch als schreiben. Es heißt **konstantes Glied** oder **Konstante**.

## Beispiel einer Polynomfunktion

Betrachten wir die Funktion $$f(x) = 5x^3 - 2x^2 + 7x - 1$$.

Visible text: Betrachten wir die Funktion .

- Dies ist eine Polynomfunktion in der Variablen $$x$$.
- Ihr Grad ist $$3$$, also der höchste Exponent von $$x$$.
- Ihr Leitterm ist $$5x^3$$.
- Ihr Leitkoeffizient ist $$5$$, also $$a_3 = 5$$.
- Weitere Koeffizienten sind $$a_2 = -2$$ und $$a_1 = 7$$.
- Ihr konstantes Glied ist $$-1$$, also $$a_0 = -1$$.

Visible text: - Dies ist eine Polynomfunktion in der Variablen .
- Ihr Grad ist , also der höchste Exponent von .
- Ihr Leitterm ist .
- Ihr Leitkoeffizient ist , also .
- Weitere Koeffizienten sind und .
- Ihr konstantes Glied ist , also .

Eine Funktion ist also genau dann eine Polynomfunktion, wenn die Exponenten ihrer Variablen nichtnegative ganze Zahlen sind und der Leitkoeffizient nicht null ist.

## Übung

Gegeben ist

```math
p(t)=-2t^4+3t^2-t+8
```

Bestimme den Grad, den Leitterm, den Leitkoeffizienten, den Koeffizienten von $$t^3$$ und das konstante Glied. Berechne anschließend $$p(2)$$.

Visible text: Bestimme den Grad, den Leitterm, den Leitkoeffizienten, den Koeffizienten von und das konstante Glied. Berechne anschließend .

### Ausführliche Lösung

Zuerst schreiben wir die fehlende Potenz mit einem Nullkoeffizienten:

```math
p(t)=-2t^4+0t^3+3t^2-t+8
```

- Grad: $$4$$
- Leitterm: $$-2t^4$$
- Leitkoeffizient: $$-2$$
- Koeffizient von $$t^3$$: $$0$$
- Konstantes Glied: $$8$$

Visible text: - Grad: 
- Leitterm: 
- Leitkoeffizient: 
- Koeffizient von : 
- Konstantes Glied:

Nun setzen wir $$t=2$$ ein:

Visible text: Nun setzen wir ein:

Component: MathContainer
Children:

```math
p(2)=-2(2)^4+3(2)^2-2+8
```

```math
=-32+12-2+8
```

```math
=-14
```