# Polynomidentität
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Verstehe wichtige Polynomidentitäten, beweise sie durch Umformen und widerlege falsche Gleichungen mit einem Gegenbeispiel.
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## Was ist eine Polynomidentität?
Manche Gleichungen bleiben für jeden zulässigen Wert ihrer Variablen wahr. Eine solche Gleichung heißt **Identität**. Bestehen beide Seiten aus Polynomen, sprechen wir von einer **Polynomidentität**.
Eine gewöhnliche Gleichung kann nur für bestimmte Werte erfüllt sein. So gilt $$x + 2 = 5$$ nur für $$x=3$$. Eine Polynomidentität gilt dagegen für *alle* Werte der Variablen.
Visible text: Eine gewöhnliche Gleichung kann nur für bestimmte Werte erfüllt sein. So gilt nur für . Eine Polynomidentität gilt dagegen für *alle* Werte der Variablen.
## Häufig verwendete Polynomidentitäten
Diese Polynomidentitäten werden besonders häufig gebraucht:
Component: MathContainer
Children:
```math
a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
```
```math
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
```
```math
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
```
```math
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
```
```math
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
```
```math
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
```
```math
(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
```
Diese Identitäten lassen sich in beide Richtungen lesen: von der Produktform zur entwickelten Form oder von der entwickelten Form zur Faktorform. Welche Richtung passt, hängt von der geforderten Operation ab.
## Eine Polynomidentität nachweisen
Wie lässt sich entscheiden, ob eine Gleichung tatsächlich eine Identität ist?
1. **Identität beweisen:**
Forme eine Seite der Gleichung, meist die kompliziertere, mit gültigen algebraischen Schritten um. Stimmt sie anschließend exakt mit der anderen Seite überein, ist die Gleichung für alle Variablenwerte wahr.
2. **Identität widerlegen:**
Dafür genügt **ein Gegenbeispiel**: Finde einen Variablenwert, für den linke und rechte Seite verschieden sind. Dann kann die Gleichung keine Identität sein.
Visible text: 1. **Identität beweisen:**
Forme eine Seite der Gleichung, meist die kompliziertere, mit gültigen algebraischen Schritten um. Stimmt sie anschließend exakt mit der anderen Seite überein, ist die Gleichung für alle Variablenwerte wahr.
2. **Identität widerlegen:**
Dafür genügt **ein Gegenbeispiel**: Finde einen Variablenwert, für den linke und rechte Seite verschieden sind. Dann kann die Gleichung keine Identität sein.
### Identitäten beweisen: Beispiele
Entscheide mit einem Beweis oder Gegenbeispiel, ob die folgenden Gleichungen Polynomidentitäten sind.
1. $$(2x^2 - y^2)^2 = 4x^4 - 4x^2y^2 + y^4$$
2. $$(2a - 5)(2a + 5) = 4a^2 - 20a + 25$$
Visible text: 1.
2.
**Lösung:**
1. Wir entwickeln die linke Seite mit $$(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$$, wobei $$A = 2x^2$$ und $$B = y^2$$ gilt.
```math
(2x^2 - y^2)^2 = (2x^2)^2 - 2(2x^2)(y^2) + (y^2)^2
```
```math
= 4x^4 - 4x^2y^2 + y^4
```
Die entwickelte linke Seite $$4x^4 - 4x^2y^2 + y^4$$ stimmt exakt mit der rechten Seite überein. Die Gleichung ist daher **eine Polynomidentität**.
2. Für ein Gegenbeispiel setzen wir auf beiden Seiten $$a = 0$$ ein.
- **Linke Seite:**
```math
(2a - 5)(2a + 5) = (2(0) - 5)(2(0) + 5)
```
```math
= (0 - 5)(0 + 5)
```
```math
= (-5)(5)
```
```math
= -25
```
- **Rechte Seite:**
```math
4a^2 - 20a + 25 = 4(0)^2 - 20(0) + 25
```
```math
= 4(0) - 0 + 25
```
```math
= 0 - 0 + 25
```
```math
= 25
```
Da für $$a = 0$$ die linke Seite ($$-25$$) nicht gleich der rechten Seite ($$25$$) ist, ist diese Gleichung **keine polynomische Identität**.
Die korrekte Identität für $$(2a-5)(2a+5)$$ lautet $$(2a)^2 - 5^2 = 4a^2 - 25$$. Dabei wird $$(A-B)(A+B)=A^2-B^2$$ verwendet.
Visible text: 1. Wir entwickeln die linke Seite mit , wobei und gilt.
Die entwickelte linke Seite stimmt exakt mit der rechten Seite überein. Die Gleichung ist daher **eine Polynomidentität**.
2. Für ein Gegenbeispiel setzen wir auf beiden Seiten ein.
- **Linke Seite:**
- **Rechte Seite:**
Da für die linke Seite () nicht gleich der rechten Seite () ist, ist diese Gleichung **keine polynomische Identität**.
Die korrekte Identität für lautet . Dabei wird verwendet.
## Übung
Entscheide für jede Gleichung, ob sie eine Polynomidentität ist, und begründe deine Entscheidung.
1. $$(2m - 3)^3 = 8m^3 - 27$$
2. $$(2x - 3)^2 + 5 = 4x^2 - 12x + 14$$
Visible text: 1.
2.
### Ausführliche Lösung
1. Testen wir mit dem Wert $$m = 1$$.
- **Linke Seite:**
```math
(2m - 3)^3 = (2(1) - 3)^3
```
```math
= (2 - 3)^3
```
```math
= (-1)^3
```
```math
= -1
```
- **Rechte Seite:**
```math
8m^3 - 27 = 8(1)^3 - 27
```
```math
= 8(1) - 27
```
```math
= 8 - 27
```
```math
= -19
```
Da für $$m=1$$ die linke Seite ($$-1$$) $$\neq$$ die rechte Seite ($$-19$$) ist, ist diese Gleichung **keine polynomische Identität**.
Die korrekte Identität ist $$(2m-3)^3 = (2m)^3 - 3(2m)^2(3) + 3(2m)(3)^2 - 3^3 = 8m^3 - 36m^2 + 54m - 27$$.
2. Wir entwickeln die linke Seite mit $$(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$$, wobei $$A = 2x$$ und $$B = 3$$ gilt.
```math
(2x - 3)^2 + 5 = [(2x)^2 - 2(2x)(3) + (3)^2] + 5
```
```math
= [4x^2 - 12x + 9] + 5
```
```math
= 4x^2 - 12x + 9 + 5
```
```math
= 4x^2 - 12x + 14
```
Die entwickelte linke Seite $$4x^2 - 12x + 14$$ stimmt exakt mit der rechten Seite überein. Die Gleichung ist daher **eine Polynomidentität**.
Visible text: 1. Testen wir mit dem Wert .
- **Linke Seite:**
- **Rechte Seite:**
Da für die linke Seite () die rechte Seite () ist, ist diese Gleichung **keine polynomische Identität**.
Die korrekte Identität ist .
2. Wir entwickeln die linke Seite mit , wobei und gilt.
Die entwickelte linke Seite stimmt exakt mit der rechten Seite überein. Die Gleichung ist daher **eine Polynomidentität**.