# Rationaler Nullsatz
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URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/polynome/rationale-nullstellen
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Mit dem Satz über rationale Nullstellen mögliche Polynomwurzeln bestimmen und Polynome höheren Grades faktorisieren.
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## Rationale Wurzeln von Polynomen finden
Aus dem [Faktorsatz](/de/faecher/mathematik/polynome/faktorsatz) wissen wir: Einen Faktor $$(x-c)$$ zu finden ist gleichbedeutend damit, eine Nullstelle $$c$$ des Polynoms $$P(x)$$ zu finden. Doch wie bestimmen wir $$c$$, besonders bei einem Polynom hohen Grades?
Visible text: Aus dem [Faktorsatz](/de/faecher/mathematik/polynome/faktorsatz) wissen wir: Einen Faktor zu finden ist gleichbedeutend damit, eine Nullstelle des Polynoms zu finden. Doch wie bestimmen wir , besonders bei einem Polynom hohen Grades?
Alle Zahlen auszuprobieren wäre ineffizient. Der **Satz über rationale Nullstellen** grenzt die möglichen rationalen Kandidaten auf eine endliche Liste ein.
## Satz über rationale Nullstellen
Sei $$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$$ ein Polynom, dessen Koeffizienten ($$a_n, a_{n-1}, \dots, a_1, a_0$$) **ganze Zahlen** sind, wobei $$a_n \neq 0$$ und $$a_0 \neq 0$$ gelten.
Visible text: Sei ein Polynom, dessen Koeffizienten () **ganze Zahlen** sind, wobei und gelten.
Wenn das Polynom $$P(x)$$ eine rationale Nullstelle (Wurzel) der Form $$\frac{p}{q}$$ hat (wobei $$p$$ und $$q$$ ganze Zahlen sind, $$q \neq 0$$ und $$\frac{p}{q}$$ ein Bruch in einfachster Form ist), dann:
Visible text: Wenn das Polynom eine rationale Nullstelle (Wurzel) der Form hat (wobei und ganze Zahlen sind, und ein Bruch in einfachster Form ist), dann:
- $$p$$ muss ein Faktor des konstanten Termes $$a_0$$ sein.
- $$q$$ muss ein Faktor des führenden Koeffizienten $$a_n$$ sein.
Visible text: - muss ein Faktor des konstanten Termes sein.
- muss ein Faktor des führenden Koeffizienten sein.
Der Satz liefert nur **mögliche** rationale Nullstellen. Jeder Kandidat $$\frac{p}{q}$$ muss anschließend geprüft werden.
Visible text: Der Satz liefert nur **mögliche** rationale Nullstellen. Jeder Kandidat muss anschließend geprüft werden.
## Den Satz über rationale Nullstellen anwenden
Hier sind die Schritte zum Finden rationaler Wurzeln mithilfe dieses Theorems, oft kombiniert mit dem Faktorsatz:
1. **Koeffizienten prüfen:** Stelle sicher, dass $$a_n, \dots, a_0$$ ganze Zahlen sind. Bestimme das konstante Glied $$a_0$$ und den Leitkoeffizienten $$a_n$$.
2. **Faktoren von $$p$$ auflisten:** Notiere alle positiven und negativen ganzzahligen Faktoren von $$a_0$$.
3. **Faktoren von $$q$$ auflisten:** Notiere alle positiven und negativen ganzzahligen Faktoren von $$a_n$$.
4. **Kandidaten $$\frac{p}{q}$$ bilden:** Bilde alle Werte $$\frac{p}{q}$$, indem du jeden Faktor $$p$$ durch jeden Faktor $$q$$ teilst. Kürze die Brüche und entferne doppelte Werte.
5. **Kandidaten prüfen:** Setze jeden Wert $$\frac{p}{q}$$ in $$P(x)$$ ein oder verwende das Horner-Schema. Gilt $$P(\frac{p}{q}) = 0$$, ist $$\frac{p}{q}$$ eine Nullstelle und $$(x - \frac{p}{q})$$ beziehungsweise $$(qx - p)$$ ein Faktor.
6. **Weiter faktorisieren:** Nutze nach dem Fund einer Nullstelle $$c$$ den Quotienten aus dem Horner-Schema, um die restlichen Nullstellen zu bestimmen.
Visible text: 1. **Koeffizienten prüfen:** Stelle sicher, dass ganze Zahlen sind. Bestimme das konstante Glied und den Leitkoeffizienten .
2. **Faktoren von auflisten:** Notiere alle positiven und negativen ganzzahligen Faktoren von .
3. **Faktoren von auflisten:** Notiere alle positiven und negativen ganzzahligen Faktoren von .
4. **Kandidaten bilden:** Bilde alle Werte , indem du jeden Faktor durch jeden Faktor teilst. Kürze die Brüche und entferne doppelte Werte.
5. **Kandidaten prüfen:** Setze jeden Wert in ein oder verwende das Horner-Schema. Gilt , ist eine Nullstelle und beziehungsweise ein Faktor.
6. **Weiter faktorisieren:** Nutze nach dem Fund einer Nullstelle den Quotienten aus dem Horner-Schema, um die restlichen Nullstellen zu bestimmen.
### Verwendung des Faktorsatzes und des rationalen Nullsatzes
Faktorisiere das Polynom $$P(x) = x^3 + 2x^2 - 9x - 18$$ vollständig.
Visible text: Faktorisiere das Polynom vollständig.
1. **Koeffizienten identifizieren:**
Die Koeffizienten sind ganze Zahlen. $$a_0 = -18$$ und $$a_n = 1$$.
2. **Faktoren von $$p$$ (von $$a_0 = -18$$):**
```math
\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18
```
3. **Faktoren von $$q$$ (von $$a_n = 1$$):**
```math
\pm 1
```
4. **Mögliche Nullstellen $$\frac{p}{q}$$:**
Die Division aller $$p$$ durch $$q = \pm 1$$ ergibt:
```math
\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18
```
5. **Mögliche Nullstellen prüfen:** Prüfen wir einige Werte aus der Liste.
- Prüfe $$x = 1$$:
```math
P(1) = 1 + 2 - 9 - 18 = -24 \neq 0
```
- Prüfe $$x = -1$$:
```math
P(-1) = -1 + 2 + 9 - 18 = -8 \neq 0
```
- Prüfe $$x = 2$$:
```math
P(2) = 8 + 8 - 18 - 18 = -20 \neq 0
```
- Prüfe $$x = -2$$:
```math
P(-2) = -8 + 8 + 18 - 18 = 0
```
Erfolg! $$x = -2$$ ist also eine Wurzel und $$(x+2)$$ ein Faktor.
- Alternativ prüfen wir $$x = 3$$:
```math
P(3) = (3)^3 + 2(3)^2 - 9(3) - 18 = 27 + 18 - 27 - 18 = 0
```
Erfolg! $$x = 3$$ ist also eine Wurzel und $$(x-3)$$ ein Faktor.
6. **Weiter faktorisieren (mit der Nullstelle $$x = 3$$):**
Teile $$P(x)$$ mithilfe des Horner-Schemas durch $$(x-3)$$ mit $$c = 3$$.
```math
\begin{array}{c|cccc}
3 & 1 & 2 & -9 & -18 \\
& & 3 & 15 & 18 \\
\hline
& 1 & 5 & 6 & \boxed{0} \\
\end{array}
```
Der Quotient ist $$H(x) = x^2 + 5x + 6$$.
Also $$P(x) = (x-3)(x^2 + 5x + 6)$$.
7. **Quotienten faktorisieren:**
Faktorisiere $$x^2 + 5x + 6$$.
```math
x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)
```
8. **Vollständige Faktorisierung:**
```math
P(x) = (x-3)(x+2)(x+3)
```
Visible text: 1. **Koeffizienten identifizieren:**
Die Koeffizienten sind ganze Zahlen. und .
2. **Faktoren von (von ):**
3. **Faktoren von (von ):**
4. **Mögliche Nullstellen :**
Die Division aller durch ergibt:
5. **Mögliche Nullstellen prüfen:** Prüfen wir einige Werte aus der Liste.
- Prüfe :
- Prüfe :
- Prüfe :
- Prüfe :
Erfolg! ist also eine Wurzel und ein Faktor.
- Alternativ prüfen wir :
Erfolg! ist also eine Wurzel und ein Faktor.
6. **Weiter faktorisieren (mit der Nullstelle ):**
Teile mithilfe des Horner-Schemas durch mit .
Der Quotient ist .
Also .
7. **Quotienten faktorisieren:**
Faktorisiere .
8. **Vollständige Faktorisierung:**
## Übung
Faktorisiere $$P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 20$$ vollständig mithilfe des Satzes über rationale Nullstellen und des Faktorsatzes.
Visible text: Faktorisiere vollständig mithilfe des Satzes über rationale Nullstellen und des Faktorsatzes.
### Ausführliche Lösung
1. **Koeffizienten identifizieren:** $$a_0 = 20$$, $$a_n = 2$$.
2. **Faktoren von $$p$$ (aus $$20$$):** $$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20$$.
3. **Faktoren von $$q$$ (aus $$2$$):** $$\pm 1, \pm 2$$.
4. **Mögliche Nullstellen $$\frac{p}{q}$$:** $$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20, \pm 1/2, \pm 5/2$$.
5. **Nullstellen prüfen:**
Prüfe $$x = 2$$.
```math
P(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 20
```
```math
P(2) = 2(8) - 3(4) - 24 + 20
```
```math
P(2) = 16 - 12 - 24 + 20
```
```math
P(2) = 4 - 4 = 0
```
Da $$P(2)=0$$ gilt, ist $$x=2$$ eine Wurzel und $$(x-2)$$ ein Faktor.
6. **Division mit dem Horner-Schema ($$c = 2$$):**
```math
\begin{array}{c|cccc}
2 & 2 & -3 & -12 & 20 \\
& & 4 & 2 & -20 \\
\hline
& 2 & 1 & -10 & \boxed{0} \\
\end{array}
```
Der Quotient ist $$H(x) = 2x^2 + x - 10$$.
$$P(x) = (x-2)(2x^2 + x - 10)$$.
7. **Quotienten faktorisieren:**
Faktorisiere $$2x^2 + x - 10$$.
```math
2x^2 + x - 10 = (2x+5)(x-2)
```
8. **Vollständige Faktorisierung:**
```math
P(x) = (x-2)(2x+5)(x-2)
```
```math
P(x) = (x-2)^2 (2x+5)
```
Visible text: 1. **Koeffizienten identifizieren:** , .
2. **Faktoren von (aus ):** .
3. **Faktoren von (aus ):** .
4. **Mögliche Nullstellen :** .
5. **Nullstellen prüfen:**
Prüfe .
Da gilt, ist eine Wurzel und ein Faktor.
6. **Division mit dem Horner-Schema ():**
Der Quotient ist .
.
7. **Quotienten faktorisieren:**
Faktorisiere .
8. **Vollständige Faktorisierung:**