# Restsatz

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URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/polynome/restsatz
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/polynomial/remainder-theorem/de.mdx

Lerne mit Beispielen und Begründungen, wie der Restsatz den Rest einer Polynomdivision ohne vollständige Division liefert.

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## Den Restsatz verstehen

Der Rest einer Polynomdivision lässt sich oft bestimmen, ohne die vollständige Division oder das Horner-Schema auszuführen. Der **Restsatz** verbindet diesen Rest direkt mit einem Funktionswert des Polynoms.

### Aussage des Restsatzes

Wenn ein Polynom $$P(x)$$ durch $$(x - c)$$ geteilt wird, dann ist der Rest $$S = P(c)$$.

Visible text: Wenn ein Polynom durch geteilt wird, dann ist der Rest .

Um den Rest bei der Division von $$P(x)$$ durch $$(x - c)$$ zu bestimmen, genügt also die Auswertung von $$P(x)$$ bei $$x = c$$.

Visible text: Um den Rest bei der Division von durch zu bestimmen, genügt also die Auswertung von bei .

### Warum funktioniert der Restsatz?

Der Satz folgt direkt aus dem bekannten Polynomdivisionsalgorithmus:

```math
P(x) = (x - c) \cdot H(x) + S
```

Wo:

- $$P(x)$$ ist das Dividendenpolynom.
- $$(x - c)$$ ist das Teilerpolynom (Grad $$1$$).
- $$H(x)$$ ist der Quotient.
- $$S$$ ist der Rest (eine Konstante, da der Divisor der Grad $$1$$ ist).

Visible text: - ist das Dividendenpolynom.
- ist das Teilerpolynom (Grad ).
- ist der Quotient.
- ist der Rest (eine Konstante, da der Divisor der Grad ist).

Setzen wir nun $$x = c$$ in den Divisionsalgorithmus ein:

Visible text: Setzen wir nun in den Divisionsalgorithmus ein:

Component: MathContainer
Children:

```math
P(c) = (c - c) \cdot H(c) + S
```

```math
P(c) = (0) \cdot H(c) + S
```

```math
P(c) = 0 + S
```

```math
P(c) = S
```

Dies beweist, dass der Wert des Polynoms $$P(x)$$ bei $$x = c$$ gleich dem Rest $$S$$ ist, wenn $$P(x)$$ durch $$(x - c)$$ geteilt wird.

Visible text: Dies beweist, dass der Wert des Polynoms bei gleich dem Rest ist, wenn durch geteilt wird.

## Rechnen mit dem Restsatz

Mit dem Restsatz lässt sich ein Divisionsrest schnell bestimmen, ohne den gesamten Divisionsweg auszuschreiben.

Bestimme den Rest bei der Division von $$P(x) = 2x^5 + 5x^4 - 10x^3 + 9x^2 - 10$$ durch $$x + 4$$ auf zwei Wegen.

Visible text: Bestimme den Rest bei der Division von durch auf zwei Wegen.

### Verwendung der Horner-Methode

Der Teiler ist $$x + 4$$ oder $$x - (-4)$$, also $$c = -4$$.

Visible text: Der Teiler ist oder , also .

Koeffizienten von $$P(x)$$ (Vervollständigung des $$x$$-Terms): $$2, 5, -10, 9, 0, -10$$.

Visible text: Koeffizienten von (Vervollständigung des -Terms): .

```math
\begin{array}{c|cccccc}
-4 & 2 & 5 & -10 & 9 & 0 & -10 \\
&   & -8 & 12 & -8 & -4 & 16 \\
\hline
& 2 & -3 & 2 & 1 & -4 & \boxed{6} \\
\end{array}
```

Aus Horners Methode erhalten wir:

- Quotient: $$H(x) = 2x^4 - 3x^3 + 2x^2 + x - 4$$
- Rest: $$S = \boxed{6}$$

Visible text: - Quotient: 
- Rest:

### Verwendung des Restsatzes

Nach dem Restsatz ist der Rest bei der Division von $$P(x)$$ durch $$x - (-4)$$ gleich $$P(-4)$$.

Visible text: Nach dem Restsatz ist der Rest bei der Division von durch gleich .

Berechnen wir $$P(-4)$$:

Visible text: Berechnen wir :

Component: MathContainer
Children:

```math
P(-4) = 2(-4)^5 + 5(-4)^4 - 10(-4)^3 + 9(-4)^2 - 10
```

```math
P(-4) = 2(-1024) + 5(256) - 10(-64) + 9(16) - 10
```

```math
P(-4) = -2048 + 1280 + 640 + 144 - 10
```

```math
P(-4) = -2048 + 1920 + 144 - 10
```

```math
P(-4) = -128 + 144 - 10
```

```math
P(-4) = 16 - 10
```

```math
P(-4) = 6
```

Beide Wege ergeben den Rest $$6$$. Der Restsatz kommt dabei ohne das vollständige Divisionsschema aus.

Visible text: Beide Wege ergeben den Rest . Der Restsatz kommt dabei ohne das vollständige Divisionsschema aus.

Die Auswertung von $$P(c)$$ liefert also genau den Rest der Division durch $$(x-c)$$.

Visible text: Die Auswertung von liefert also genau den Rest der Division durch .

## Übung

Bestimme mithilfe des Restsatzes den Rest bei der Division von $$P(x) = 3x^5 - 20x^4 - 6x^3 - 48x - 8$$ durch $$x - 7$$.

Visible text: Bestimme mithilfe des Restsatzes den Rest bei der Division von durch .

### Ausführliche Lösung

Nach dem Restsatz ist der Rest bei der Division von $$P(x)$$ durch $$x-7$$ gleich $$P(7)$$.

Visible text: Nach dem Restsatz ist der Rest bei der Division von durch gleich .

Component: MathContainer
Children:

```math
P(7) = 3(7)^5 - 20(7)^4 - 6(7)^3 - 48(7) - 8
```

```math
P(7) = 3(16807) - 20(2401) - 6(343) - 336 - 8
```

```math
P(7) = 50421 - 48020 - 2058 - 336 - 8
```

```math
P(7) = 2401 - 2058 - 336 - 8
```

```math
P(7) = 343 - 336 - 8
```

```math
P(7) = 7 - 8
```

```math
P(7) = -1
```

Der Rest ist also $$-1$$.

Visible text: Der Rest ist also .