# Logarithmen definieren

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Verstehe Logarithmen als Umkehrung des Potenzierens, wechsle zwischen Exponential- und Logarithmusform und bestimme einen unbekannten Exponenten.

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## Ein Logarithmus beantwortet eine Exponentenfrage

Ein Logarithmus kehrt das Potenzieren um. Wenn $$a^c=b$$ gilt, fragt der Logarithmus: „Mit welchem Exponenten muss die Basis $$a$$ potenziert werden, damit $$b$$ entsteht?“

Visible text: Ein Logarithmus kehrt das Potenzieren um. Wenn gilt, fragt der Logarithmus: „Mit welchem Exponenten muss die Basis potenziert werden, damit entsteht?“

```math
\log_a b=c\quad\Longleftrightarrow\quad a^c=b
```

Für reelle Logarithmen gelten die Bedingungen:

```math
a>0\qquad a\neq1\qquad b>0
```

- $$a$$ ist die **Basis**
- $$b$$ ist das **Argument**
- $$c$$ ist der vom Logarithmus gelieferte Exponent

Visible text: - ist die **Basis**
- ist das **Argument**
- ist der vom Logarithmus gelieferte Exponent

Die Bedingungen ergeben sich aus dem Verhalten der Exponentialfunktion. Eine zulässige Exponentialbasis ist positiv und nicht gleich eins. Außerdem ist $$a^c$$ stets positiv. Deshalb kann ein reeller Logarithmus kein Argument kleiner oder gleich null haben.

Visible text: Die Bedingungen ergeben sich aus dem Verhalten der Exponentialfunktion. Eine zulässige Exponentialbasis ist positiv und nicht gleich eins. Außerdem ist stets positiv. Deshalb kann ein reeller Logarithmus kein Argument kleiner oder gleich null haben.

## Zwischen beiden Formen umwandeln

Jede Zeile beschreibt denselben Zusammenhang auf zwei Arten:

| Exponentialform | Logarithmusform |
| ---------------- | --------------- |
| $$2^5=32$$ | $$\log_2 32=5$$ |
| $$3^2=9$$ | $$\log_3 9=2$$ |
| $$5^{-2}=\frac1{25}$$ | $$\log_5\frac1{25}=-2$$ |
| $$7^0=1$$ | $$\log_7 1=0$$ |

Visible text: | Exponentialform | Logarithmusform |
| ---------------- | --------------- |
| | |
| | |
| | |
| | |

Beim Umwandeln bleibt die Basis unverändert. Das Ergebnis der Potenzierung wird zum Argument des Logarithmus, und der Exponent wird zum Wert des Logarithmus.

## Zehnerlogarithmus und natürlicher Logarithmus

Ein Logarithmus zur Basis $$10$$ heißt **Zehnerlogarithmus**. Die Basis wird häufig weggelassen:

Visible text: Ein Logarithmus zur Basis heißt **Zehnerlogarithmus**. Die Basis wird häufig weggelassen:

```math
\log_{10}x=\log x
```

Ein Logarithmus zur Basis $$e$$ heißt **natürlicher Logarithmus** und wird als $$\ln x$$ geschrieben. Beide Schreibweisen sind Sonderfälle von $$\log_a x$$.

Visible text: Ein Logarithmus zur Basis heißt **natürlicher Logarithmus** und wird als geschrieben. Beide Schreibweisen sind Sonderfälle von .

## Einen unbekannten Exponenten bestimmen

Eine idealisierte Kultur beginnt mit $$2{.}000$$ Bakterien und verdoppelt sich jede Stunde:

Visible text: Eine idealisierte Kultur beginnt mit Bakterien und verdoppelt sich jede Stunde:

```math
P(x)=2{.}000\cdot2^x
```

Um zu bestimmen, wann das kontinuierliche Modell $$100{.}000$$ erreicht, setzen wir den Funktionswert gleich dem Zielwert:

Visible text: Um zu bestimmen, wann das kontinuierliche Modell erreicht, setzen wir den Funktionswert gleich dem Zielwert:

Component: MathContainer
Children:

```math
100{.}000=2{.}000\cdot2^x
```

```math
50=2^x
```

```math
x=\log_2 50
```

Mit einem Taschenrechner oder dem Basiswechsel erhalten wir:

```math
x=\frac{\ln50}{\ln2}\approx5{,}643856
```

Die kontinuierliche Kurve erreicht $$100{.}000$$ nach ungefähr $$5{,}64\text{ Stunden}$$. Wird die Kultur nur nach vollständig abgeschlossenen Stunden gezählt, ändert sich die Interpretation:

Visible text: Die kontinuierliche Kurve erreicht nach ungefähr . Wird die Kultur nur nach vollständig abgeschlossenen Stunden gezählt, ändert sich die Interpretation:

Component: MathContainer
Children:

```math
P(5)=2{.}000\cdot2^5=64{.}000
```

```math
P(6)=2{.}000\cdot2^6=128{.}000
```

Das Ziel wird also erstmals nach $$6\text{ Stunden}$$ erreicht oder überschritten. Der Logarithmus löst die Gleichung. Der Kontext entscheidet, wie das reelle Ergebnis interpretiert werden muss.

Visible text: Das Ziel wird also erstmals nach erreicht oder überschritten. Der Logarithmus löst die Gleichung. Der Kontext entscheidet, wie das reelle Ergebnis interpretiert werden muss.