# Exponentialfunktionen definieren

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URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/potenzen-und-logarithmen/exponentialfunktionen
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/exponential-logarithm/function-definition/de.mdx

Definitionsmenge, Wertemenge, Achsenschnittpunkte und Monotonie von Exponentialfunktionen verstehen und zulässige Basen erkennen.

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## Die Standard-Exponentialfunktion

Bei einer Exponentialfunktion steht die Variable im Exponenten:

```math
f(x)=a^x
```

Damit die Funktion für alle reellen Eingaben reelle Werte besitzt, muss die Basis folgende Bedingungen erfüllen:

```math
a>0\qquad\text{und}\qquad a\neq1
```

Die Bedingung $$a>0$$ sorgt dafür, dass $$a^x$$ für jedes reelle $$x$$ reell bleibt. Der Ausschluss von $$a=1$$ trennt echtes Wachstum und echten Zerfall von einer konstanten Funktion.

Visible text: Die Bedingung sorgt dafür, dass für jedes reelle reell bleibt. Der Ausschluss von trennt echtes Wachstum und echten Zerfall von einer konstanten Funktion.

Eine skalierte Exponentialfunktion hat die Form:

```math
g(x)=k\,a^x
```

Dabei ist $$k\neq0$$ ein vertikaler Streckfaktor. Die Basis bestimmt Wachstum oder Zerfall. $$k$$ bestimmt den Anfangswert und die Seite der $$x$$-Achse, auf der der Graph liegt.

Visible text: Dabei ist ein vertikaler Streckfaktor. Die Basis bestimmt Wachstum oder Zerfall. bestimmt den Anfangswert und die Seite der -Achse, auf der der Graph liegt.

## Definitionsmenge, Wertemenge und Achsenschnittpunkt

Für die Standardfunktion $$f(x)=a^x$$ gilt:

Visible text: Für die Standardfunktion gilt:

1. Die Definitionsmenge ist $$\mathbb{R}$$.
2. Die Wertemenge ist $$(0,\infty)$$.
3. Der Graph schneidet die $$y$$-Achse bei $$(0,1)$$, weil $$a^0=1$$ gilt.
4. Der Graph schneidet die $$x$$-Achse nie, weil $$a^x>0$$ gilt.
5. Für $$a>1$$ ist die Funktion streng monoton steigend.
6. Für $$0<a<1$$ ist die Funktion streng monoton fallend.

Visible text: 1. Die Definitionsmenge ist .
2. Die Wertemenge ist .
3. Der Graph schneidet die -Achse bei , weil gilt.
4. Der Graph schneidet die -Achse nie, weil gilt.
5. Für ist die Funktion streng monoton steigend.
6. Für ist die Funktion streng monoton fallend.

Für $$g(x)=k\,a^x$$ liegt der Schnittpunkt mit der $$y$$-Achse bei $$(0,k)$$. Für $$k>0$$ ist die Wertemenge $$(0,\infty)$$. Für $$k<0$$ wird der Graph an der $$x$$-Achse gespiegelt und die Wertemenge ist $$(-\infty,0)$$.

Visible text: Für liegt der Schnittpunkt mit der -Achse bei . Für ist die Wertemenge . Für wird der Graph an der -Achse gespiegelt und die Wertemenge ist .

## Warum zwei Basen ausgeschlossen sind

### Basis Eins

Für $$a=1$$ gilt:

Visible text: Für gilt:

```math
g(x)=k\cdot1^x=k
```

Der Funktionswert ändert sich nicht. Deshalb handelt es sich um eine konstante Funktion und nicht um exponentielles Wachstum oder exponentiellen Zerfall.

Component: FunctionChart
Props:
- a: 1
- p: 1
- title: Konstante Funktion
- description: Jede Eingabe ergibt $$y=1$$.
  Visible text: Jede Eingabe ergibt .

### Basis Null

Der Ausdruck $$0^x$$ definiert keine reellwertige Funktion für alle reellen Eingaben:

Visible text: Der Ausdruck definiert keine reellwertige Funktion für alle reellen Eingaben:

Component: MathContainer
Children:

```math
0^x=0\qquad\text{für }x>0
```

```math
0^x\text{ ist nicht definiert für }x<0
```

Für $$x=0$$ wird dem Ausdruck $$0^0$$ in dieser Funktionsdefinition kein Wert zugewiesen. Die Basis null kann daher die geforderte Definitionsmenge $$\mathbb{R}$$ nicht erfüllen.

Visible text: Für wird dem Ausdruck in dieser Funktionsdefinition kein Wert zugewiesen. Die Basis null kann daher die geforderte Definitionsmenge nicht erfüllen.

## Beispiele lesen

1. Für $$f(x)=4^x$$ gilt $$a=4>1$$. Die Funktion ist daher steigend. Zu ihren Werten gehören $$f(0)=1$$, $$f(1)=4$$ und $$f(2)=16$$.

2. $$f(x)=3^{x+1}$$ lässt sich als $$f(x)=3\cdot3^x$$ schreiben. Der Faktor $$3$$ verschiebt den Schnittpunkt mit der $$y$$-Achse von $$1$$ auf $$3$$.

3. $$f(x)=5^{2x-1}$$ ist steigend, weil der Exponent $$2x-1$$ mit $$x$$ wächst. Zum Beispiel gilt $$f(0)=5^{-1}=\frac15$$ und $$f(1)=5$$.

4. Für $$f(x)=0{,}5^x$$ gilt $$0<a<1$$. Die Funktion ist daher fallend. Zu ihren Werten gehören $$f(0)=1$$, $$f(1)=0{,}5$$ und $$f(2)=0{,}25$$.

Visible text: 1. Für gilt . Die Funktion ist daher steigend. Zu ihren Werten gehören , und .

2. lässt sich als schreiben. Der Faktor verschiebt den Schnittpunkt mit der -Achse von auf .

3. ist steigend, weil der Exponent mit wächst. Zum Beispiel gilt und .

4. Für gilt . Die Funktion ist daher fallend. Zu ihren Werten gehören , und .

Component: FunctionChart
Props:
- a: 0.5
- p: 1
- title: Exponentieller Zerfall
- description: Der Faktor $$0{,}5$$ halbiert den Funktionswert bei jeder Zunahme von $$x$$ um $$1$$.
  Visible text: Der Faktor halbiert den Funktionswert bei jeder Zunahme von um .

## Häufige Modelle

1. **Wiederholte Verdopplung**: $$P(t)=P_0\,2^{t/d}$$, wobei $$d$$ die Verdopplungszeit ist.
2. **Wachstum mit Zinseszinseffekt**: $$A(t)=P(1+r)^t$$, wobei $$r$$ die Rate pro Verzinsungsintervall ist.
3. **Halbwertszeit**: $$A(t)=A_0\left(\frac12\right)^{t/h}$$, wobei $$h$$ die Halbwertszeit ist.
4. **Frühe Übertragung**: $$C(n)=C_0R^n$$, wobei $$R$$ ein angenommener durchschnittlicher Faktor pro Zyklus ist.

Visible text: 1. **Wiederholte Verdopplung**: , wobei die Verdopplungszeit ist.
2. **Wachstum mit Zinseszinseffekt**: , wobei die Rate pro Verzinsungsintervall ist.
3. **Halbwertszeit**: , wobei die Halbwertszeit ist.
4. **Frühe Übertragung**: , wobei ein angenommener durchschnittlicher Faktor pro Zyklus ist.

Jede Formel erhält erst durch klar benannte Variablen, Einheiten, Intervalle und Annahmen eine Bedeutung. Dieselbe exponentielle Form kann verschiedene Zusammenhänge beschreiben. Die Symbole allein besitzen noch keine reale Bedeutung.