# Exponentieller Zerfall

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/potenzen-und-logarithmen/exponentieller-zerfall
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/exponential-logarithm/exponential-decay/de.mdx

Wiederholte proportionale Abnahme modellieren, Zerfallsgraphen lesen und Beispiele zu Halbwertszeit, radioaktivem Zerfall und Sprunghöhen lösen.

---

## Definition des exponentiellen Zerfalls

Exponentieller Zerfall liegt vor, wenn eine positive Größe in jedem gleich langen Intervall mit demselben Faktor zwischen $$0$$ und $$1$$ multipliziert wird. Ein diskretes Zerfallsmodell hat die Form:

Visible text: Exponentieller Zerfall liegt vor, wenn eine positive Größe in jedem gleich langen Intervall mit demselben Faktor zwischen und multipliziert wird. Ein diskretes Zerfallsmodell hat die Form:

```math
f(x)=C\,a^x
```

mit:

- $$C>0$$, dem Anfangswert
- $$0<a<1$$, dem Zerfallsfaktor pro Intervall
- $$x$$, der Anzahl der Intervalle

Visible text: - , dem Anfangswert
- , dem Zerfallsfaktor pro Intervall
- , der Anzahl der Intervalle

Der Faktor beschreibt den verbleibenden Anteil, nicht den verlorenen Anteil. Eine Abnahme um $$15\%$$ lässt zum Beispiel $$85\%$$ übrig. Der Zerfallsfaktor ist dann $$a=0{,}85$$.

Visible text: Der Faktor beschreibt den verbleibenden Anteil, nicht den verlorenen Anteil. Eine Abnahme um lässt zum Beispiel übrig. Der Zerfallsfaktor ist dann .

## Einen Zerfallsgraphen lesen

Mit wachsendem $$x$$ wird $$a^x$$ kleiner. Der Graph fällt zunächst schnell und flacht anschließend ab, weil derselbe prozentuale Rückgang auf eine immer kleinere Menge angewendet wird.

Visible text: Mit wachsendem wird kleiner. Der Graph fällt zunächst schnell und flacht anschließend ab, weil derselbe prozentuale Rückgang auf eine immer kleinere Menge angewendet wird.

Für $$f(x)=50\left(\frac12\right)^x$$ beträgt der Anfangswert $$50$$ und jedes Intervall lässt die Hälfte des vorherigen Wertes übrig:

Visible text: Für beträgt der Anfangswert und jedes Intervall lässt die Hälfte des vorherigen Wertes übrig:

```math
f(x)=50\left(\frac12\right)^x
```

Component: ContentBlock
Children:
Component: FunctionChart
Props:
- a: 0.5
- p: 50
- title: Exponentieller Zerfall
- description: Jedes Intervall lässt $$\frac12$$ des vorherigen Wertes übrig.
  Visible text: Jedes Intervall lässt des vorherigen Wertes übrig.

Der Graph nähert sich der waagerechten Asymptote $$y=0$$, erreicht sie aber für kein endliches reelles $$x$$.

Visible text: Der Graph nähert sich der waagerechten Asymptote , erreicht sie aber für kein endliches reelles .

## Anwendungen

### Ein Halbwertszeitmodell

Nehmen wir an, von einem hypothetischen Medikament befinden sich anfangs $$50\,\mu\text{g}$$ im Körper und jede Stunde wird die Hälfte der verbleibenden Menge ausgeschieden. Wird $$x$$ in Stunden gemessen, gilt:

Visible text: Nehmen wir an, von einem hypothetischen Medikament befinden sich anfangs im Körper und jede Stunde wird die Hälfte der verbleibenden Menge ausgeschieden. Wird in Stunden gemessen, gilt:

```math
f(x)=50\left(\frac12\right)^x
```

Die ersten Werte zeigen, dass das Modell immer die aktuelle Menge halbiert:

- $$f(0)=50\,\mu\text{g}$$
- $$f(1)=25\,\mu\text{g}$$
- $$f(2)=12{,}5\,\mu\text{g}$$
- $$f(3)=6{,}25\,\mu\text{g}$$

Visible text: - 
- 
- 
-

Nach $$9$$ Stunden gilt $$f(9)=50\left(\frac12\right)^9\approx0{,}0977\,\mu\text{g}$$. Das sind weniger als $$0{,}1\,\mu\text{g}$$.

Visible text: Nach Stunden gilt . Das sind weniger als .

### Radioaktiver Zerfall

Verliert eine Probe in jedem Zeitintervall denselben Anteil $$r$$, bleibt der Anteil $$1-r$$ übrig. Für $$0<r<1$$ gilt:

Visible text: Verliert eine Probe in jedem Zeitintervall denselben Anteil , bleibt der Anteil übrig. Für gilt:

```math
M(t)=M_0(1-r)^t
```

Dabei ist $$M_0$$ die Anfangsmasse und $$t$$ zählt gleich lange Zeitintervalle. Das Modell setzt voraus, dass die angegebene proportionale Rate im untersuchten Zeitraum konstant bleibt.

Visible text: Dabei ist die Anfangsmasse und zählt gleich lange Zeitintervalle. Das Modell setzt voraus, dass die angegebene proportionale Rate im untersuchten Zeitraum konstant bleibt.

### Sprunghöhe

Ein Ball wird aus der Höhe $$h_0$$ fallen gelassen. Jeder Rücksprung erreicht den festen Anteil $$0<p<1$$ der vorherigen Höhe. Die Höhe nach dem $$n$$ten Rücksprung ist:

Visible text: Ein Ball wird aus der Höhe fallen gelassen. Jeder Rücksprung erreicht den festen Anteil der vorherigen Höhe. Die Höhe nach dem ten Rücksprung ist:

```math
h_n=h_0p^n
```

Für $$h_0=300\text{ cm}$$ und $$p=\frac35$$ gilt:

Visible text: Für und gilt:

- $$h_0=300\text{ cm}$$
- $$h_1=300\left(\frac35\right)=180\text{ cm}$$
- $$h_2=300\left(\frac35\right)^2=108\text{ cm}$$
- $$h_3=300\left(\frac35\right)^3=64{,}8\text{ cm}$$

Visible text: - 
- 
- 
-

Das mathematische Modell erreicht nie den Wert null. Eine praktische Aussage über das Ende der Bewegung braucht daher einen Grenzwert, zum Beispiel „unter $$1\text{ cm}$$“.

Visible text: Das mathematische Modell erreicht nie den Wert null. Eine praktische Aussage über das Ende der Bewegung braucht daher einen Grenzwert, zum Beispiel „unter “.

## Übungen

1. Eine hypothetische Substanz beginnt mit $$200\text{ mg}$$. In jeder Stunde wird die Hälfte der verbleibenden Menge ausgeschieden. Wie viel bleibt nach $$5$$ Stunden übrig?

2. Eine radioaktive Probe hat zu Beginn einer Beobachtung eine Masse von $$0{,}3\text{ kg}$$. Sie verliert in jeder Stunde $$15\%$$ ihrer Masse. Wie viel bleibt nach $$8$$ Stunden übrig?

3. Ein Ball wird aus $$3\text{ m}$$ Höhe fallen gelassen. Jeder Rücksprung erreicht $$\frac35$$ der vorherigen Höhe.

   1. Zeichne den diskreten Graphen der Sprunghöhen.
   2. Der Ball soll als gestoppt gelten, sobald die Sprunghöhe kleiner als $$1\text{ cm}$$ ist. Bestimme den ersten Rücksprung, der diese Bedingung erfüllt.

Visible text: 1. Eine hypothetische Substanz beginnt mit . In jeder Stunde wird die Hälfte der verbleibenden Menge ausgeschieden. Wie viel bleibt nach Stunden übrig?

2. Eine radioaktive Probe hat zu Beginn einer Beobachtung eine Masse von . Sie verliert in jeder Stunde ihrer Masse. Wie viel bleibt nach Stunden übrig?

3. Ein Ball wird aus Höhe fallen gelassen. Jeder Rücksprung erreicht der vorherigen Höhe.

 1. Zeichne den diskreten Graphen der Sprunghöhen.
 2. Der Ball soll als gestoppt gelten, sobald die Sprunghöhe kleiner als ist. Bestimme den ersten Rücksprung, der diese Bedingung erfüllt.

### Ausführliche Lösungen

1. Der Zerfallsfaktor ist $$\frac12$$. Nach fünf einstündigen Intervallen gilt:

   <MathContainer>
     
   
   ```math
   f(x)=200\left(\frac12\right)^x
   ```

     
   
   ```math
   f(5)=200\left(\frac12\right)^5=200\left(\frac1{32}\right)=6{,}25
   ```

   </MathContainer>

   Es bleiben also $$6{,}25\text{ mg}$$ übrig.

2. Ein Verlust von $$15\%$$ ergibt den verbleibenden Faktor $$0{,}85$$:

   <MathContainer>
     
   
   ```math
   M(t)=0{,}3(0{,}85)^t
   ```

     
   
   ```math
   M(8)=0{,}3(0{,}85)^8\approx0{,}08175\text{ kg}
   ```

     
   
   ```math
   0{,}08175\text{ kg}\approx81{,}75\text{ g}
   ```

   </MathContainer>

3. Wird die Höhe in Zentimetern gemessen, lautet das Modell:

   
   
   ```math
   h_n=300\left(\frac35\right)^n
   ```

   <ContentBlock>
     <FunctionChart
       a={3 / 5}
       p={300}
       title="Sprunghöhe"
       description={
         <>
           Diskrete Höhen mit dem Faktor $$\frac35$$.
         </>
       }
     />
   </ContentBlock>

   Die Werte in der Nähe des Grenzwertes sind:

   | Rücksprung | Höhe in Zentimetern |
   | ---------- | ------------------- |
   | $$n=9$$ | $$3{,}023309$$ |
   | $$n=10$$ | $$1{,}813985$$ |
   | $$n=11$$ | $$1{,}088391$$ |
   | $$n=12$$ | $$0{,}653035$$ |

   Rücksprung $$11$$ liegt noch über $$1\text{ cm}$$, Rücksprung $$12$$ bereits darunter. Damit ist $$n=12$$ der erste Rücksprung, der die festgelegte Stoppregel erfüllt.

Visible text: 1. Der Zerfallsfaktor ist . Nach fünf einstündigen Intervallen gilt:

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

 Es bleiben also übrig.

2. Ein Verlust von ergibt den verbleibenden Faktor :

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

3. Wird die Höhe in Zentimetern gemessen, lautet das Modell:

 
 

 <ContentBlock>
 <FunctionChart
 a={3 / 5}
 p={300}
 title="Sprunghöhe"
 description={
 <>
 Diskrete Höhen mit dem Faktor .
 </>
 }
 />
 </ContentBlock>

 Die Werte in der Nähe des Grenzwertes sind:

 | Rücksprung | Höhe in Zentimetern |
 | ---------- | ------------------- |
 | | |
 | | |
 | | |
 | | |

 Rücksprung liegt noch über , Rücksprung bereits darunter. Damit ist der erste Rücksprung, der die festgelegte Stoppregel erfüllt.

## Grenzen des Modells

Exponentieller Zerfall wird unter anderem für radioaktiven Zerfall, Wertverlust, Näherungen bei Abkühlung und Ausscheidungsmodelle verwendet. In jeder Anwendung müssen das Intervall, der verbleibende Faktor und die Bedingungen für einen annähernd konstanten Faktor geklärt werden. Ein Modell beschreibt eine Situation innerhalb bestimmter Grenzen. Es garantiert nicht, dass sich dasselbe Muster unbegrenzt fortsetzt.