# Exponentielles Wachstum > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/potenzen-und-logarithmen/exponentielles-wachstum Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/exponential-logarithm/exponential-growth/de.mdx Exponentielles Wachstum aus einem wiederholten Faktor aufbauen, Tabellen und Graphen mit dem Modell verbinden und vollständige Beispiele lösen. --- ## Definition des exponentiellen Wachstums Exponentielles Wachstum liegt vor, wenn eine positive Größe in jedem gleich langen Intervall mit demselben Faktor größer als $$1$$ multipliziert wird. Ein Wachstumsmodell hat die Form: Visible text: Exponentielles Wachstum liegt vor, wenn eine positive Größe in jedem gleich langen Intervall mit demselben Faktor größer als multipliziert wird. Ein Wachstumsmodell hat die Form: ```math f(x)=P_0a^x ``` mit: - $$P_0>0$$, dem Anfangswert - $$a>1$$, dem Wachstumsfaktor pro Intervall - $$x$$, der Anzahl der Intervalle Visible text: - , dem Anfangswert - , dem Wachstumsfaktor pro Intervall - , der Anzahl der Intervalle Bei diskreten Ereignissen wie abgeschlossenen Zellteilungen ist $$x$$ eine nichtnegative ganze Zahl. Ein kontinuierlicher Graph erweitert dieselbe Formel auf reelle Werte von $$x$$ und ist als Interpolation des Modells zu verstehen. Visible text: Bei diskreten Ereignissen wie abgeschlossenen Zellteilungen ist eine nichtnegative ganze Zahl. Ein kontinuierlicher Graph erweitert dieselbe Formel auf reelle Werte von und ist als Interpolation des Modells zu verstehen. ## Ein Modell aus einer Tabelle entwickeln ### Idealisiertes Bakterienwachstum Eine Kultur beginnt mit $$30$$ Bakterien. Jedes Bakterium teilt sich alle $$30\text{ Minuten}$$ in zwei. Todesfälle und begrenzte Ressourcen bleiben im Modell unberücksichtigt, damit der wiederholte Faktor im Mittelpunkt steht. Visible text: Eine Kultur beginnt mit Bakterien. Jedes Bakterium teilt sich alle in zwei. Todesfälle und begrenzte Ressourcen bleiben im Modell unberücksichtigt, damit der wiederholte Faktor im Mittelpunkt steht. Die Variable $$x$$ zählt abgeschlossene Intervalle von dreißig Minuten: Visible text: Die Variable zählt abgeschlossene Intervalle von dreißig Minuten: | Intervall | $$0$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$3$$ | $$4$$ | $$5$$ | | --------- | ----------------------- | ----------------------- | ----------------------- | ----------------------- | ----------------------- | ----------------------- | | Bakterien | $$30$$ | $$60$$ | $$120$$ | $$240$$ | $$480$$ | $$960$$ | Visible text: | Intervall | | | | | | | | --------- | ----------------------- | ----------------------- | ----------------------- | ----------------------- | ----------------------- | ----------------------- | | Bakterien | | | | | | | Jeder Wert ist der Anfangsbestand multipliziert mit einer Potenz von $$2$$: Visible text: Jeder Wert ist der Anfangsbestand multipliziert mit einer Potenz von : - $$f(0)=30\cdot2^0=30$$ - $$f(1)=30\cdot2^1=60$$ - $$f(2)=30\cdot2^2=120$$ - $$f(3)=30\cdot2^3=240$$ - $$f(4)=30\cdot2^4=480$$ Visible text: - - - - - Das Modell lautet daher: ```math f(x)=30\cdot2^x ``` ### Tabelle und Graph verbinden Die Tabelle enthält diskrete Beobachtungen. Die Kurve von $$f(x)=30\cdot2^x$$ zeigt, wie sich dieselbe Regel zwischen diesen ganzzahligen Eingaben verhält: Visible text: Die Tabelle enthält diskrete Beobachtungen. Die Kurve von zeigt, wie sich dieselbe Regel zwischen diesen ganzzahligen Eingaben verhält: Component: FunctionChart Props: - p: 30 - a: 2 - title: Idealisiertes Bakterienwachstum - description: Der Bestand verdoppelt sich alle $$30\text{ Minuten}$$. Visible text: Der Bestand verdoppelt sich alle . Die Kurve wird steiler, weil jede Verdopplung auf eine größere Menge wirkt. Das bedeutet nicht, dass eine echte Kultur unbegrenzt wachsen kann. ### Zeit in Intervalle umrechnen Fünf Stunden enthalten zehn Intervalle von dreißig Minuten: ```math x=\frac{5\cdot60}{30}=10 ``` Nun setzen wir die Anzahl der Intervalle in das Modell ein: ```math f(10)=30\cdot2^{10}=30\cdot1{.}024=30{.}720 ``` Nach dem idealisierten Modell enthält die Kultur nach $$5\text{ Stunden}$$ genau $$30{.}720$$ Bakterien. Visible text: Nach dem idealisierten Modell enthält die Kultur nach genau Bakterien. ## Den Anfangswert ändern oder bestimmen Bei einem festen Wachstumsfaktor $$a$$ skaliert eine Änderung von $$P_0$$ alle Funktionswerte: Visible text: Bei einem festen Wachstumsfaktor skaliert eine Änderung von alle Funktionswerte: ```math f(x)=P_0a^x ``` Bei einem Verdopplungsfaktor gilt zum Beispiel: - $$P_0=50$$ ergibt $$f(x)=50\cdot2^x$$ - $$P_0=100$$ ergibt $$f(x)=100\cdot2^x$$ - $$P_0=200$$ ergibt $$f(x)=200\cdot2^x$$ Visible text: - ergibt - ergibt - ergibt ### Einen unbekannten Anfangswert bestimmen Eine Kultur enthält nach $$2$$ Verdopplungsintervallen $$8{.}000$$ Bakterien. $$P_0$$ bezeichnet den unbekannten Anfangsbestand: Visible text: Eine Kultur enthält nach Verdopplungsintervallen Bakterien. bezeichnet den unbekannten Anfangsbestand: Component: MathContainer Children: ```math 8{.}000=P_0\cdot2^2 ``` ```math 8{.}000=4P_0 ``` ```math P_0=\frac{8{.}000}{4} ``` ```math P_0=2{.}000 ``` Die Kultur begann mit $$2{.}000$$ Bakterien. Visible text: Die Kultur begann mit Bakterien. ### Dasselbe Intervallmodell fortsetzen Nach $$10$$ Verdopplungsintervallen enthält dieselbe Kultur: Visible text: Nach Verdopplungsintervallen enthält dieselbe Kultur: Component: MathContainer Children: ```math f(10)=2{.}000\cdot2^{10} ``` ```math f(10)=2{.}000\cdot1{.}024 ``` ```math f(10)=2{.}048{.}000 ``` Welche Zeit diese zehn Intervalle darstellen, hängt von der Intervalllänge ab. Dauert ein Intervall dreißig Minuten, entsprechen zehn Intervalle fünf Stunden. ## Übungen 1. Eine idealisierte Bakterienkultur beginnt mit $$50$$ Zellen und verdoppelt sich alle $$15\text{ Minuten}$$. 1. Erstelle eine Tabelle und einen Graphen von Intervall $$0$$ bis Intervall $$5$$. 2. Stelle die Wachstumsfunktion auf. 3. Prognostiziere den Bestand nach $$3\text{ Stunden}$$ und nach $$4\text{ Stunden}$$. 2. Eine hypothetische Region hat $$36{.}000{.}000$$ Einwohner. Ihre Bevölkerung soll in den nächsten fünf Jahren konstant um $$2\%$$ pro Jahr wachsen. Welche Bevölkerung sagt das Modell nach fünf Jahren voraus? Visible text: 1. Eine idealisierte Bakterienkultur beginnt mit Zellen und verdoppelt sich alle . 1. Erstelle eine Tabelle und einen Graphen von Intervall bis Intervall . 2. Stelle die Wachstumsfunktion auf. 3. Prognostiziere den Bestand nach und nach . 2. Eine hypothetische Region hat Einwohner. Ihre Bevölkerung soll in den nächsten fünf Jahren konstant um pro Jahr wachsen. Welche Bevölkerung sagt das Modell nach fünf Jahren voraus? ### Ausführliche Lösungen 1. Der Anfangswert ist $$50$$, der Wachstumsfaktor ist $$2$$. 1. Die ersten sechs Werte lauten: | Intervall | $$0$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$3$$ | $$4$$ | $$5$$ | | --------- | ----------------------- | ----------------------- | ----------------------- | ----------------------- | ----------------------- | ----------------------- | | Bakterien | $$50$$ | $$100$$ | $$200$$ | $$400$$ | $$800$$ | $$1{.}600$$ | Der Bestand verdoppelt sich alle $$15\text{ Minuten}$$. } /> 2. Wird $$x$$ in Fünfzehn-Minuten-Intervallen gemessen, gilt: ```math f(x)=50\cdot2^x ``` 3. Drei Stunden enthalten $$\frac{3\cdot60}{15}=12$$ Intervalle: ```math f(12)=50\cdot2^{12} ``` ```math f(12)=50\cdot4{.}096 ``` ```math f(12)=204{.}800 ``` Vier Stunden enthalten $$\frac{4\cdot60}{15}=16$$ Intervalle: ```math f(16)=50\cdot2^{16} ``` ```math f(16)=50\cdot65{.}536 ``` ```math f(16)=3{.}276{.}800 ``` 2. Eine Zunahme um $$2\%$$ entspricht dem jährlichen Faktor $$1{,}02$$: ```math P(t)=36{.}000{.}000(1{,}02)^t ``` ```math P(5)=36{.}000{.}000(1{,}02)^5 ``` ```math P(5)\approx39{.}746{.}909 ``` Das Modell sagt nach fünf Jahren etwa $$39{,}75\text{ Millionen Menschen}$$ voraus. Visible text: 1. Der Anfangswert ist , der Wachstumsfaktor ist . 1. Die ersten sechs Werte lauten: | Intervall | | | | | | | | --------- | ----------------------- | ----------------------- | ----------------------- | ----------------------- | ----------------------- | ----------------------- | | Bakterien | | | | | | | Der Bestand verdoppelt sich alle . } /> 2. Wird in Fünfzehn-Minuten-Intervallen gemessen, gilt: 3. Drei Stunden enthalten Intervalle: Vier Stunden enthalten Intervalle: 2. Eine Zunahme um entspricht dem jährlichen Faktor : Das Modell sagt nach fünf Jahren etwa voraus. ## Grenzen des Modells Exponentielles Wachstum kommt bei Zinseszins, idealisierten Bevölkerungsmodellen, frühen Übertragungsmodellen und unbeschränktem Laborwachstum vor. Anfangswert, Faktor und Intervall müssen immer ausdrücklich benannt werden. In realen Systemen verändern sich Raten, Ressourcen werden knapp oder weitere Beschränkungen treten auf. Eine Exponentialfunktion sollte daher nur so weit fortgesetzt werden, wie ihre Annahmen sinnvoll bleiben.