# Potenzen verstehen > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/potenzen-und-logarithmen/grundlagen Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/exponential-logarithm/basic-concept/de.mdx Von der wiederholten Multiplikation zu Potenzen mit Exponent null, negativen und gebrochenen Exponenten sowie exponentiellem Wachstum und Zerfall. --- ## Vom Papierfalten zum Wachstumsmodell Nehmen wir an, ein Blatt Papier ist anfangs etwa $$0{,}1\text{ mm}$$ dick. In einem idealen Modell verdoppelt jede Faltung die Dicke. Nach $$42$$ Faltungen ergibt das Modell: Visible text: Nehmen wir an, ein Blatt Papier ist anfangs etwa dick. In einem idealen Modell verdoppelt jede Faltung die Dicke. Nach Faltungen ergibt das Modell: ```math 0{,}1\text{ mm}\times 2^{42}\approx 439{.}805\text{ km} ``` Das ist mehr als die mittlere Entfernung von der Erde zum Mond. Ein echtes Blatt lässt sich nicht so oft falten. Das Modell macht aber das entscheidende Muster sichtbar: Derselbe Faktor wird immer wieder angewendet. Das ist **exponentielles Wachstum**. Dasselbe Muster kann die Ausbreitung in einer kurzen frühen Phase eines Ausbruchs näherungsweise beschreiben. Würde jeder Fall unter unveränderten Bedingungen genau zwei neue Fälle verursachen, entstünde die Folge $$1,2,4,8,\ldots$$. Bei realen Ausbrüchen bleibt der Faktor nicht konstant. Es handelt sich also um ein Lernmodell, nicht um eine wörtliche Vorhersage. Visible text: Dasselbe Muster kann die Ausbreitung in einer kurzen frühen Phase eines Ausbruchs näherungsweise beschreiben. Würde jeder Fall unter unveränderten Bedingungen genau zwei neue Fälle verursachen, entstünde die Folge . Bei realen Ausbrüchen bleibt der Faktor nicht konstant. Es handelt sich also um ein Lernmodell, nicht um eine wörtliche Vorhersage. ## Definition von Potenzen Eine Potenz schreibt eine wiederholte Multiplikation kompakt. Im Verdopplungsmodell sehen die ersten Stufen so aus: ```math 1 = 2^0 \quad 2 = 2^1 \quad 4 = 2 \times 2 = 2^2 \quad 8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3 \quad 16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4 ``` In Stufe $$n$$ lautet das Modell $$m(n)=2^n$$. Zum Beispiel: Visible text: In Stufe lautet das Modell . Zum Beispiel: $$m(5)=2^5=32$$. Visible text: . ## Bedeutung der Potenzschreibweise Ein Ausdruck wie $$a^n$$ besteht aus zwei Teilen: Visible text: Ein Ausdruck wie besteht aus zwei Teilen: ```math a^n ``` - $$a$$ ist die **Basis**, also die Zahl, die multipliziert wird - $$n$$ ist der **Exponent**, also die Anzahl gleicher Faktoren Visible text: - ist die **Basis**, also die Zahl, die multipliziert wird - ist der **Exponent**, also die Anzahl gleicher Faktoren Ist $$a$$ reell und $$n$$ eine positive ganze Zahl, dann gilt: Visible text: Ist reell und eine positive ganze Zahl, dann gilt: ```math a^n = \underbrace{a \times a \times a \times \ldots \times a}_{n \text{ Faktoren}} ``` ## Wichtige Definitionen ### Exponent Null Für jede reelle Zahl $$a$$ ungleich null gilt: Visible text: Für jede reelle Zahl ungleich null gilt: ```math a^0=1 ``` Diese Regel ist nicht willkürlich. Teilt man eine von null verschiedene Potenz durch sich selbst, erhält man sowohl $$1$$ als auch $$a^{n-n}=a^0$$. Beide Ausdrücke müssen daher übereinstimmen. Visible text: Diese Regel ist nicht willkürlich. Teilt man eine von null verschiedene Potenz durch sich selbst, erhält man sowohl als auch . Beide Ausdrücke müssen daher übereinstimmen. ```math \frac{a^n}{a^n}=a^{n-n}=a^0=1 ``` ### Negative Exponenten Für jede reelle Zahl $$a$$ ungleich null und jede positive ganze Zahl $$n$$ gilt: Visible text: Für jede reelle Zahl ungleich null und jede positive ganze Zahl gilt: ```math a^{-n}=\frac{1}{a^n}=\left(\frac{1}{a}\right)^n ``` Der Grund ist $$a^n a^{-n}=a^0=1$$. Ein negativer Exponent steht also für den Kehrwert der entsprechenden positiven Potenz. Zum Beispiel: Visible text: Der Grund ist . Ein negativer Exponent steht also für den Kehrwert der entsprechenden positiven Potenz. Zum Beispiel: $$3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}=0{,}111\ldots$$. Visible text: . ### Gebrochene Exponenten Für reelle Wurzeln betrachten wir in diesem Abschnitt $$a>0$$ und eine positive ganze Zahl $$n$$. Dann gilt: Visible text: Für reelle Wurzeln betrachten wir in diesem Abschnitt und eine positive ganze Zahl . Dann gilt: ```math a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}=p ``` Dabei ist $$p$$ die eindeutig bestimmte positive reelle Zahl mit $$p^n=a$$. Zum Beispiel gilt $$16^{\frac14}=2$$, weil $$2^4=16$$ ist. Visible text: Dabei ist die eindeutig bestimmte positive reelle Zahl mit . Zum Beispiel gilt , weil ist. Wurzeln mit ungeradem Wurzelexponenten sind auch für negative reelle Zahlen definiert, etwa $$(-8)^{\frac13}=-2$$. Gerade Wurzeln aus negativen Zahlen sind nicht reell. Die Definitionsmenge muss genannt werden, weil die Schreibweise nicht für jede Basis dieselbe reelle Bedeutung hat. Visible text: Wurzeln mit ungeradem Wurzelexponenten sind auch für negative reelle Zahlen definiert, etwa . Gerade Wurzeln aus negativen Zahlen sind nicht reell. Die Definitionsmenge muss genannt werden, weil die Schreibweise nicht für jede Basis dieselbe reelle Bedeutung hat. ### Allgemeine Bruchpotenzen Sind $$a>0$$ und $$m,n$$ positive ganze Zahlen, dann gilt: Visible text: Sind und positive ganze Zahlen, dann gilt: ```math a^{\frac{m}{n}}=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m ``` Zuerst wird die $$n$$te Wurzel gezogen, anschließend wird das Ergebnis mit $$m$$ potenziert. Zum Beispiel: Visible text: Zuerst wird die te Wurzel gezogen, anschließend wird das Ergebnis mit potenziert. Zum Beispiel: $$8^{\frac23}=\left(8^{\frac13}\right)^2=2^2=4$$. Visible text: . ## Exponentialfunktionen Eine Exponentialfunktion hat die Form $$f(x)=a^x$$ mit $$a>0$$ und $$a\neq1$$: Visible text: Eine Exponentialfunktion hat die Form mit und : 1. Für $$a>1$$ steigt der Funktionswert mit wachsendem $$x$$ 2. Für $$0