# Logarithmengesetze > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/potenzen-und-logarithmen/logarithmengesetze Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/exponential-logarithm/logarithm-properties/de.mdx Verstehe acht Logarithmengesetze, ihre Herleitung und ihre Anwendung in Gleichungen und Wachstumsmodellen. --- ## Acht Regeln aus den Potenzgesetzen Logarithmengesetze sind keine voneinander losgelösten Formeln, die ohne Zusammenhang auswendig gelernt werden müssen. Jedes Gesetz folgt aus dem entsprechenden Potenzgesetz. In diesem Kapitel gelten die Voraussetzungen: ```math a>0\qquad a\neq1\qquad b>0\qquad c>0\qquad n\in\mathbb{R} ``` Wenn $$m$$ oder $$b$$ als Logarithmusbasis verwendet wird, muss auch diese Basis positiv und ungleich eins sein. Visible text: Wenn oder als Logarithmusbasis verwendet wird, muss auch diese Basis positiv und ungleich eins sein. | Gesetz | Identität | | ------ | --------- | | Logarithmus der Basis | $$\log_a a=1$$ | | Logarithmus von eins | $$\log_a 1=0$$ | | Umkehrbeziehung | $$\log_a(a^n)=n$$ | | Produkt | $$\log_a(bc)=\log_a b+\log_a c$$ | | Quotient | $$\log_a\left(\frac bc\right)=\log_a b-\log_a c$$ | | Potenz | $$\log_a(b^n)=n\log_a b$$ | | Basiswechsel | $$\log_a b=\frac{\log_m b}{\log_m a}=\frac1{\log_b a}$$ | | Kette | $$(\log_a b)(\log_b c)=\log_a c$$ | Visible text: | Gesetz | Identität | | ------ | --------- | | Logarithmus der Basis | | | Logarithmus von eins | | | Umkehrbeziehung | | | Produkt | | | Quotient | | | Potenz | | | Basiswechsel | | | Kette | | Die ersten drei Gesetze folgen unmittelbar aus $$a^1=a$$, $$a^0=1$$ und der Umkehrbeziehung zwischen Logarithmen und Potenzen. Die folgenden Abschnitte erklären die Gesetze, die mehrere Werte miteinander verknüpfen. Visible text: Die ersten drei Gesetze folgen unmittelbar aus , und der Umkehrbeziehung zwischen Logarithmen und Potenzen. Die folgenden Abschnitte erklären die Gesetze, die mehrere Werte miteinander verknüpfen. ## Warum die Gesetze gelten ### Produktgesetz Setze: Component: MathContainer Children: ```math x=\log_a b\quad\Longleftrightarrow\quad b=a^x ``` ```math y=\log_a c\quad\Longleftrightarrow\quad c=a^y ``` Beim Multiplizieren von $$b$$ und $$c$$ werden ihre Exponenten addiert: Visible text: Beim Multiplizieren von und werden ihre Exponenten addiert: ```math bc=a^x a^y=a^{x+y} ``` Der Logarithmus zur Basis $$a$$ ergibt: Visible text: Der Logarithmus zur Basis ergibt: ```math \log_a(bc)=x+y=\log_a b+\log_a c ``` ### Quotientengesetz Mit denselben Substitutionen führt die Division zur Subtraktion der Exponenten: ```math \frac bc=\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y} ``` Daraus folgt: ```math \log_a\left(\frac bc\right)=x-y=\log_a b-\log_a c ``` ### Potenzgesetz Setze $$y=\log_a b$$, also $$b=a^y$$. Für jedes reelle $$n$$ ist $$b^n$$ wegen $$b>0$$ definiert: Visible text: Setze , also . Für jedes reelle ist wegen definiert: Component: MathContainer Children: ```math b^n=(a^y)^n=a^{ny} ``` ```math \log_a(b^n)=ny=n\log_a b ``` Dieser Beweis gilt unmittelbar für reelle Exponenten. Eine Erklärung durch wiederholtes Multiplizieren würde nur positive ganzzahlige Exponenten erfassen. ### Basiswechsel und Kehrwertgesetz Setze $$x=\log_a b$$, also $$b=a^x$$. Logarithmiere beide Seiten mit einer beliebigen zulässigen Basis $$m$$: Visible text: Setze , also . Logarithmiere beide Seiten mit einer beliebigen zulässigen Basis : Component: MathContainer Children: ```math \log_m b=\log_m(a^x) ``` ```math \log_m b=x\log_m a ``` ```math x=\frac{\log_m b}{\log_m a} ``` Da $$x=\log_a b$$ gilt, ist damit die Basiswechselformel bewiesen. Die Wahl $$m=b$$ liefert die Kehrwertbeziehung: Visible text: Da gilt, ist damit die Basiswechselformel bewiesen. Die Wahl liefert die Kehrwertbeziehung: ```math \log_a b=\frac{\log_b b}{\log_b a}=\frac1{\log_b a} ``` ### Kettengesetz Schreibt man beide Logarithmen mit derselben zulässigen Basis, wird die Kürzung sichtbar: ```math (\log_a b)(\log_b c)=\frac{\log_m b}{\log_m a}\cdot\frac{\log_m c}{\log_m b}=\frac{\log_m c}{\log_m a}=\log_a c ``` ## Durchgerechnetes Beispiel Berechne $$\log_5 125$$. Visible text: Berechne . Wegen $$125=5^3$$ liefern das Potenzgesetz und die Umkehrbeziehung: Visible text: Wegen liefern das Potenzgesetz und die Umkehrbeziehung: Component: MathContainer Children: ```math \log_5 125=\log_5(5^3) ``` ```math \log_5(5^3)=3\log_5 5=3 ``` Das Ergebnis beantwortet zugleich die ursprüngliche Exponentenfrage: $$5^3=125$$. Visible text: Das Ergebnis beantwortet zugleich die ursprüngliche Exponentenfrage: . ## Übungen 1. Vereinfache jeden Ausdruck. 1. $$\log_9 81$$ 2. $$\log_2 64-\log_2 16$$ 3. $$\log_4(16^{10})$$ 2. Es gelte $$\log_5 4=m$$ und $$\log_4 3=n$$. Drücke $$\log_{12}100$$ durch $$m$$ und $$n$$ aus. 3. Eine Stadt hat $$300{.}000$$ Einwohner. Das Modell nimmt ein Wachstum von $$6\%$$ am Ende jedes Jahres an. Nach wie vielen vollständigen Jahren erreicht die Einwohnerzahl in diesem Modell erstmals mindestens $$1{.}000{.}000$$? 4. Dini legt $$\text{Rp}\,2{.}000{.}000$$ auf einem Konto mit jährlich verzinsten $$12\%$$ an. Weitere Einzahlungen, Abhebungen, Gebühren und Zinsänderungen werden ausgeschlossen. Nach wie vielen vollständigen Jahren erreicht das Guthaben erstmals mindestens $$\text{Rp}\,6{.}500{.}000$$? Visible text: 1. Vereinfache jeden Ausdruck. 1. 2. 3. 2. Es gelte und . Drücke durch und aus. 3. Eine Stadt hat Einwohner. Das Modell nimmt ein Wachstum von am Ende jedes Jahres an. Nach wie vielen vollständigen Jahren erreicht die Einwohnerzahl in diesem Modell erstmals mindestens ? 4. Dini legt auf einem Konto mit jährlich verzinsten an. Weitere Einzahlungen, Abhebungen, Gebühren und Zinsänderungen werden ausgeschlossen. Nach wie vielen vollständigen Jahren erreicht das Guthaben erstmals mindestens ? ### Ausführliche Lösungen #### 1. Ausdrücke vereinfachen 1. Wegen $$81=9^2$$: ```math \log_9 81=\log_9(9^2) ``` ```math \log_9(9^2)=2 ``` 2. Verwende das Quotientengesetz: ```math \log_2 64-\log_2 16=\log_2\left(\frac{64}{16}\right) ``` ```math \log_2 4=2 ``` 3. Wegen $$16=4^2$$: ```math \log_4(16^{10})=\log_4((4^2)^{10}) ``` ```math \log_4(4^{20})=20 ``` Visible text: 1. Wegen : 2. Verwende das Quotientengesetz: 3. Wegen : #### 2. Basiswechselbeziehungen verknüpfen Verwende die Basis $$4$$ in Zähler und Nenner: Visible text: Verwende die Basis in Zähler und Nenner: Component: MathContainer Children: ```math \log_{12}100=\frac{\log_4 100}{\log_4 12} ``` ```math \log_4 100=\log_4(4\cdot25)=1+2\log_4 5 ``` ```math \log_4 12=\log_4(4\cdot3)=1+n ``` Das Kehrwertgesetz liefert $$\log_4 5=\frac1{\log_5 4}=\frac1m$$. Somit gilt: Visible text: Das Kehrwertgesetz liefert . Somit gilt: ```math \log_{12}100=\frac{1+\frac2m}{1+n} ``` #### 3. Einen Schwellenwert der Einwohnerzahl deuten Das Modell mit konstanter Wachstumsrate lautet: ```math P(x)=300{.}000(1{,}06)^x ``` Löse zunächst die kontinuierliche Gleichung: Component: MathContainer Children: ```math 1{.}000{.}000=300{.}000(1{,}06)^x ``` ```math x=\frac{\ln(10/3)}{\ln(1{,}06)}\approx20{,}662354 ``` Da das Modell nach vollständigen Jahren aktualisiert wird, müssen die benachbarten ganzen Zahlen geprüft werden: Component: MathContainer Children: ```math P(20)\approx962{.}141<1{.}000{.}000 ``` ```math P(21)\approx1{.}019{.}869>1{.}000{.}000 ``` Die Einwohnerzahl erreicht das Ziel erstmals nach $$21\text{ vollständigen Jahren}$$. Das Ergebnis ist eine mathematische Projektion unter den genannten Annahmen einer konstanten Wachstumsrate, keine demografische Vorhersage. Visible text: Die Einwohnerzahl erreicht das Ziel erstmals nach . Das Ergebnis ist eine mathematische Projektion unter den genannten Annahmen einer konstanten Wachstumsrate, keine demografische Vorhersage. #### 4. Einen jährlichen Sparschwellenwert deuten Das Modell mit jährlicher Verzinsung lautet: ```math B(x)=2{.}000{.}000(1{,}12)^x ``` Löse die kontinuierliche Gleichung: Component: MathContainer Children: ```math 6{.}500{.}000=2{.}000{.}000(1{,}12)^x ``` ```math x=\frac{\ln(3{,}25)}{\ln(1{,}12)}\approx10{,}400324 ``` Die Zinsen werden erst nach jedem vollständigen Jahr gutgeschrieben. Deshalb werden die Jahre $$10$$ und $$11$$ verglichen: Visible text: Die Zinsen werden erst nach jedem vollständigen Jahr gutgeschrieben. Deshalb werden die Jahre und verglichen: Component: MathContainer Children: ```math B(10)\approx6{.}211{.}696<6{.}500{.}000 ``` ```math B(11)\approx6{.}957{.}100>6{.}500{.}000 ``` Das Guthaben erreicht das Ziel erstmals nach $$11\text{ vollständigen Jahren}$$. Visible text: Das Guthaben erreicht das Ziel erstmals nach .