# Nenner mit Wurzeln rationalisieren
> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.
URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/potenzen-und-logarithmen/nenner-rationalisieren
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/exponential-logarithm/rationalizing-radicals/de.mdx
Entferne Wurzeln aus Nennern, indem du mit eins in Form eines passenden Wurzelfaktors oder eines konjugierten Ausdrucks multiplizierst, einschließlich vollständiger Lösungen.
---
## Was sich beim Rationalisieren ändert
Beim Rationalisieren wird ein Bruch in eine gleichwertige Form ohne Wurzel im Nenner umgeschrieben. Sein Wert bleibt unverändert, weil Zähler und Nenner mit demselben Ausdruck ungleich null multipliziert werden.
Für einen Nenner mit zwei Termen ist diese Identität entscheidend:
```math
(u+v)(u-v)=u^2-v^2
```
Die Ausdrücke $$u+v$$ und $$u-v$$ sind konjugiert. Bei ihrer Multiplikation heben sich die mittleren Terme auf.
Visible text: Die Ausdrücke und sind konjugiert. Bei ihrer Multiplikation heben sich die mittleren Terme auf.
### Eine Wurzel im Nenner
Für $$b>0$$ wird mit dem Faktor $$\frac{\sqrt b}{\sqrt b}=1$$ multipliziert:
Visible text: Für wird mit dem Faktor multipliziert:
Component: MathContainer
Children:
```math
\frac a{\sqrt b}\cdot\frac{\sqrt b}{\sqrt b}=\frac{a\sqrt b}{b}
```
```math
\frac5{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}=\frac{5\sqrt3}{3}
```
Der passende Wurzelfaktor ist eine Darstellung der Zahl eins. Er heißt nicht konjugierter Ausdruck, da er nur aus einem Term besteht.
### Summe oder Differenz zweier Wurzeln
Es gelte $$a,b\geq0$$ und $$a\neq b$$. Multipliziere mit dem konjugierten Ausdruck des Nenners:
Visible text: Es gelte und . Multipliziere mit dem konjugierten Ausdruck des Nenners:
Component: MathContainer
Children:
```math
\frac c{\sqrt a+\sqrt b}\cdot\frac{\sqrt a-\sqrt b}{\sqrt a-\sqrt b}=\frac{c(\sqrt a-\sqrt b)}{a-b}
```
```math
\frac c{\sqrt a-\sqrt b}\cdot\frac{\sqrt a+\sqrt b}{\sqrt a+\sqrt b}=\frac{c(\sqrt a+\sqrt b)}{a-b}
```
Zum Beispiel:
Component: MathContainer
Children:
```math
\frac4{\sqrt7+\sqrt3}=\frac{4(\sqrt7-\sqrt3)}{7-3}=\sqrt7-\sqrt3
```
```math
\frac2{\sqrt5-\sqrt2}=\frac{2(\sqrt5+\sqrt2)}{5-2}=\frac{2(\sqrt5+\sqrt2)}3
```
### Ein rationaler Term und ein Wurzelterm
Es gelte $$b\geq0$$ und $$a^2\neq b$$. Der konjugierte Ausdruck erzeugt wieder eine Differenz von Quadraten:
Visible text: Es gelte und . Der konjugierte Ausdruck erzeugt wieder eine Differenz von Quadraten:
Component: MathContainer
Children:
```math
\frac c{a+\sqrt b}\cdot\frac{a-\sqrt b}{a-\sqrt b}=\frac{c(a-\sqrt b)}{a^2-b}
```
```math
\frac c{a-\sqrt b}\cdot\frac{a+\sqrt b}{a+\sqrt b}=\frac{c(a+\sqrt b)}{a^2-b}
```
Zum Beispiel:
Component: MathContainer
Children:
```math
\frac6{4+\sqrt3}=\frac{6(4-\sqrt3)}{16-3}=\frac{6(4-\sqrt3)}{13}
```
```math
\frac3{2-\sqrt5}=\frac{3(2+\sqrt5)}{4-5}=-3(2+\sqrt5)
```
## Wurzel- und Potenzausdrücke vereinfachen
Für die folgenden Aufgaben werden positive Variablen vorausgesetzt. Dadurch können die Regeln für gebrochene Exponenten ohne zusätzliche Betragsfälle verwendet werden.
1. Vereinfache:
```math
\left(\frac{8x^5y^{-4}}{16y^{-1/4}}\right)^{1/2}
```
2. Vereinfache:
```math
\left(5\sqrt{x^5}\right)\left(3\sqrt[3]x\right)
```
3. Vereinfache:
```math
\left(\frac{p^5q^{-10}}{p^5q^{-4}}\right)^{1/2}\left(\frac{p^{1/4}q^{-1/2}}{p^{-1/2}q^{-1/2}}\right)^{1/2}
```
Visible text: 1. Vereinfache:
2. Vereinfache:
3. Vereinfache:
### Ausführliche Lösungen
1. Fasse den Zahlenfaktor und die Exponenten zusammen, bevor du die Quadratwurzel ziehst:
```math
\left(\frac{8x^5y^{-4}}{16y^{-1/4}}\right)^{1/2}=\left(\frac12x^5y^{-15/4}\right)^{1/2}
```
```math
=2^{-1/2}x^{5/2}y^{-15/8}
```
```math
=\frac{x^{5/2}}{\sqrt2\,y^{15/8}}
```
2. Schreibe beide Wurzeln als gebrochene Potenzen:
```math
\left(5\sqrt{x^5}\right)\left(3\sqrt[3]x\right)=15x^{5/2}x^{1/3}
```
```math
=15x^{15/6+2/6}=15x^{17/6}
```
```math
=15x^2\sqrt[6]{x^5}
```
3. Vereinfache zuerst jeden Klammerausdruck und multipliziere anschließend:
```math
\left(q^{-6}\right)^{1/2}\left(p^{3/4}\right)^{1/2}=q^{-3}p^{3/8}
```
```math
=\frac{p^{3/8}}{q^3}
```
```math
=\frac{\sqrt[8]{p^3}}{q^3}
```
Visible text: 1. Fasse den Zahlenfaktor und die Exponenten zusammen, bevor du die Quadratwurzel ziehst:
2. Schreibe beide Wurzeln als gebrochene Potenzen:
3. Vereinfache zuerst jeden Klammerausdruck und multipliziere anschließend:
## Aufgaben zum Rationalisieren
1. Rationalisiere für $$b>0$$:
```math
\frac2{\sqrt{b^3}}
```
2. Rationalisiere:
```math
\frac2{\sqrt3+\sqrt5}
```
3. Rationalisiere für $$m\geq0$$ und $$m\neq n^2$$:
```math
\frac m{\sqrt m+n}
```
Visible text: 1. Rationalisiere für :
2. Rationalisiere:
3. Rationalisiere für und :
### Ausführliche Lösungen
1. Für $$b>0$$ gilt $$\sqrt{b^3}\sqrt b=\sqrt{b^4}=b^2$$:
```math
\frac2{\sqrt{b^3}}\cdot\frac{\sqrt b}{\sqrt b}=\frac{2\sqrt b}{\sqrt{b^4}}
```
```math
=\frac{2\sqrt b}{b^2}
```
2. Multipliziere mit dem konjugierten Ausdruck:
```math
\frac2{\sqrt3+\sqrt5}\cdot\frac{\sqrt3-\sqrt5}{\sqrt3-\sqrt5}=\frac{2(\sqrt3-\sqrt5)}{3-5}
```
```math
=\sqrt5-\sqrt3
```
3. Der konjugierte Ausdruck des Nenners ist $$\sqrt m-n$$:
```math
\frac m{\sqrt m+n}\cdot\frac{\sqrt m-n}{\sqrt m-n}=\frac{m(\sqrt m-n)}{m-n^2}
```
```math
=\frac{m\sqrt m-mn}{m-n^2}
```
Visible text: 1. Für gilt :
2. Multipliziere mit dem konjugierten Ausdruck:
3. Der konjugierte Ausdruck des Nenners ist :
## Die endgültige Form prüfen
- Der Nenner darf keine Wurzel enthalten.
- Jeder Multiplikationsfaktor muss eins ergeben und unter den angegebenen Bedingungen definiert sein.
- Das Ziel ist eine gleichwertige exakte Form. Durch Rationalisieren wird eine Dezimalnäherung nicht automatisch genauer.
Diese Prüfungen erklären das Verfahren und seine Grenzen. So bleibt die Umformung gültig, anstatt zu einem unverstandenen Schema zu werden.