# Potenzgesetze beweisen

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Beweise sieben Potenzgesetze mit korrekten Definitionsbedingungen und wende sie anschließend in vollständig gerechneten Beispielen an.

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## Vor jeder Regel den Definitionsbereich angeben

Potenzgesetze hängen von der Art des Exponenten und vom Vorzeichen der Basis ab. Die folgenden sieben Identitäten sind nützlich, doch ihre Bedingungen gehören jeweils zur Aussage.

| Gesetz | Identität | Hier verwendete Bedingungen |
| ------ | --------- | --------------------------- |
| Produkt gleicher Basen | $$a^m a^n=a^{m+n}$$ | $$a\neq0$$, $$m,n\in\mathbb{Z}$$ |
| Quotient gleicher Basen | $$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$ | $$a\neq0$$, $$m,n\in\mathbb{Z}$$ |
| Potenz einer Potenz | $$(a^m)^n=a^{mn}$$ | $$a\neq0$$, $$m,n\in\mathbb{Z}$$ |
| Potenz eines Produkts | $$(ab)^m=a^m b^m$$ | $$a,b\neq0$$, $$m\in\mathbb{Z}$$ |
| Potenz eines Quotienten | $$\left(\frac ab\right)^m=\frac{a^m}{b^m}$$ | $$a,b\neq0$$, $$m\in\mathbb{Z}$$ |
| Rationale Potenzen mit gleichem Nenner | $$a^{m/n}a^{p/n}=a^{(m+p)/n}$$ | $$a>0$$, $$m,n,p\in\mathbb{Z}$$, $$n\neq0$$ |
| Allgemeine rationale Potenzen | $$a^{m/n}a^{p/q}=a^{(mq+pn)/(nq)}$$ | $$a>0$$, $$m,n,p,q\in\mathbb{Z}$$, $$n,q\neq0$$ |

Visible text: | Gesetz | Identität | Hier verwendete Bedingungen |
| ------ | --------- | --------------------------- |
| Produkt gleicher Basen | | , |
| Quotient gleicher Basen | | , |
| Potenz einer Potenz | | , |
| Potenz eines Produkts | | , |
| Potenz eines Quotienten | | , |
| Rationale Potenzen mit gleichem Nenner | | , , |
| Allgemeine rationale Potenzen | | , , |

Die Regeln für ganzzahlige Exponenten lassen sich teilweise auf andere Bereiche erweitern. Solche Erweiterungen benötigen jedoch zusätzliche Bedingungen. Mit den hier angegebenen Voraussetzungen sind alle Ausdrücke dieses Kapitels über den reellen Zahlen eindeutig.

## Beweise für ganzzahlige Exponenten

### Produkt gleicher Basen

Für positive ganze Zahlen $$m$$ und $$n$$ wird jede Potenz als wiederholte Multiplikation geschrieben:

Visible text: Für positive ganze Zahlen und wird jede Potenz als wiederholte Multiplikation geschrieben:

Component: MathContainer
Children:

```math
a^m=\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{m\text{ Faktoren}}
```

```math
a^n=\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{n\text{ Faktoren}}
```

```math
a^m a^n=\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{m+n\text{ Faktoren}}=a^{m+n}
```

Der Fall null folgt aus $$a^0=1$$. Negative ganzzahlige Exponenten folgen aus $$a^{-k}=\frac1{a^k}$$. Deshalb muss $$a$$ ungleich null sein.

Visible text: Der Fall null folgt aus . Negative ganzzahlige Exponenten folgen aus . Deshalb muss ungleich null sein.

### Quotient gleicher Basen

Bei $$m\geq n$$ kürzt die Division $$n$$ Faktoren aus dem Zähler:

Visible text: Bei kürzt die Division Faktoren aus dem Zähler:

```math
\frac{a^m}{a^n}=\frac{\overbrace{a\cdots a}^{m\text{ Faktoren}}}{\underbrace{a\cdots a}_{n\text{ Faktoren}}}=a^{m-n}
```

Bei $$m<n$$ bleiben die nicht gekürzten Faktoren im Nenner. Die Definition negativer Exponenten führt zum selben Ergebnis:

Visible text: Bei bleiben die nicht gekürzten Faktoren im Nenner. Die Definition negativer Exponenten führt zum selben Ergebnis:

```math
\frac{a^m}{a^n}=\frac1{a^{n-m}}=a^{-(n-m)}=a^{m-n}
```

### Potenz einer Potenz

Für positives $$n$$ tritt der Faktor $$a^m$$ genau $$n$$-mal auf:

Visible text: Für positives tritt der Faktor genau -mal auf:

```math
(a^m)^n=\underbrace{a^m a^m\cdots a^m}_{n\text{ Faktoren}}=a^{m+m+\cdots+m}=a^{mn}
```

Wie zuvor folgt $$n=0$$ aus der Nullpotenz. Negatives $$n$$ folgt durch Bildung des Kehrwerts.

Visible text: Wie zuvor folgt aus der Nullpotenz. Negatives folgt durch Bildung des Kehrwerts.

### Potenz eines Produkts und Quotienten

Für positives $$m$$ ergibt das Umgruppieren der Faktoren:

Visible text: Für positives ergibt das Umgruppieren der Faktoren:

Component: MathContainer
Children:

```math
(ab)^m=\underbrace{(ab)(ab)\cdots(ab)}_{m\text{ Faktoren}}=a^m b^m
```

```math
\left(\frac ab\right)^m=\underbrace{\frac ab\cdot\frac ab\cdots\frac ab}_{m\text{ Faktoren}}=\frac{a^m}{b^m}
```

Die Fälle null und negativ folgen erneut aus $$x^0=1$$ und $$x^{-k}=\frac1{x^k}$$. Nicht verschwindende Basen stellen sicher, dass alle benötigten Kehrwerte definiert sind.

Visible text: Die Fälle null und negativ folgen erneut aus und . Nicht verschwindende Basen stellen sicher, dass alle benötigten Kehrwerte definiert sind.

## Beweise für rationale Exponenten

Für rationale Exponenten wird eine positive Basis verwendet, damit jede reelle Wurzel einheitlich definiert ist.

### Gleiche Nenner

Wende das Produktgesetz für gleiche Basen an und addiere anschließend die Brüche:

Component: MathContainer
Children:

```math
a^{m/n}a^{p/n}=a^{m/n+p/n}
```

```math
a^{m/n}a^{p/n}=a^{(m+p)/n}
```

### Verschiedene Nenner

Bringe die Exponenten zuerst auf den gemeinsamen Nenner $$nq$$:

Visible text: Bringe die Exponenten zuerst auf den gemeinsamen Nenner :

Component: MathContainer
Children:

```math
a^{m/n}a^{p/q}=a^{m/n+p/q}
```

```math
a^{m/n}a^{p/q}=a^{mq/(nq)+pn/(nq)}
```

```math
a^{m/n}a^{p/q}=a^{(mq+pn)/(nq)}
```

## Durchgerechnete Beispiele

### Einen unbekannten Exponenten bestimmen

1. Bestimme $$p$$ in $$(3^4)^2=3^p$$.

    <MathContainer>
      
   
   ```math
   (3^4)^2=3^{4\cdot2}=3^8
   ```

      
   
   ```math
   p=8
   ```

    </MathContainer>

2. Überprüfe $$b^4 b^5=b^9$$ für $$b\neq0$$.

    <MathContainer>
      
   
   ```math
   b^4 b^5=b^{4+5}
   ```

      
   
   ```math
   b^{4+5}=b^9
   ```

    </MathContainer>

    Beide Seiten besitzen dieselbe Basis und denselben Exponenten. Damit ist die Identität bestätigt.

3. Bestimme $$p$$ in $$(3\pi)^p=27\pi^3$$.

    <MathContainer>
      
   
   ```math
   27\pi^3=3^3\pi^3=(3\pi)^3
   ```

      
   
   ```math
   p=3
   ```

    </MathContainer>

Visible text: 1. Bestimme in .

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

2. Überprüfe für .

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

 Beide Seiten besitzen dieselbe Basis und denselben Exponenten. Damit ist die Identität bestätigt.

3. Bestimme in .

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

### Ausdrücke vereinfachen

1. Vereinfache $$\left(\frac{2^4 3^6}{2^3 3^2}\right)^3$$.

    <MathContainer>
      
   
   ```math
   \left(\frac{2^4 3^6}{2^3 3^2}\right)^3=\left(2^{4-3}3^{6-2}\right)^3
   ```

      
   
   ```math
   =\left(2\cdot3^4\right)^3
   ```

      
   
   ```math
   =2^3 3^{12}
   ```

    </MathContainer>

2. Vereinfache $$(3u^3v^5)(9u^4v)$$.

    <MathContainer>
      
   
   ```math
   (3u^3v^5)(9u^4v)=27u^{3+4}v^{5+1}
   ```

      
   
   ```math
   =27u^7v^6
   ```

    </MathContainer>

3. Vereinfache für $$n\neq0$$ und $$r\neq0$$ den Ausdruck $$\left(\frac{n^{-1}r^4}{5n^{-6}r^{-4}}\right)^2$$.

    <MathContainer>
      
   
   ```math
   \left(\frac{n^{-1}r^4}{5n^{-6}r^{-4}}\right)^2=\left(\frac{n^{-1-(-6)}r^{4-(-4)}}5\right)^2
   ```

      
   
   ```math
   =\left(\frac{n^5r^8}{5}\right)^2
   ```

      
   
   ```math
   =\frac{n^{10}r^{16}}{25}
   ```

    </MathContainer>

Visible text: 1. Vereinfache .

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

2. Vereinfache .

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

3. Vereinfache für und den Ausdruck .

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>