# Potenzgesetze
> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.
URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/potenzen-und-logarithmen/potenzgesetze
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/exponential-logarithm/properties/de.mdx
Nutze sieben Potenzgesetze mit korrekten Definitionsbedingungen, einer Zweierpotenztabelle und Beispielen zu ganzzahligen und rationalen Exponenten.
---
## Das Muster der Zweierpotenzen lesen
Die Tabelle zeigt ein wiederkehrendes Muster. Eine Zeile weiter unten wird der Wert mit $$2$$ multipliziert, weil sich der Exponent um eins erhöht.
Visible text: Die Tabelle zeigt ein wiederkehrendes Muster. Eine Zeile weiter unten wird der Wert mit multipliziert, weil sich der Exponent um eins erhöht.
| $$2^n$$ | Wert |
| ------------------------- | ---- |
| $$2^1$$ | $$2$$ |
| $$2^2$$ | $$4$$ |
| $$2^3$$ | $$8$$ |
| $$2^4$$ | $$16$$ |
| $$2^5$$ | $$32$$ |
| $$2^6$$ | $$64$$ |
| $$2^7$$ | $$128$$ |
| $$2^8$$ | $$256$$ |
| $$2^9$$ | $$512$$ |
| $$2^{10}$$ | $$1024$$ |
Visible text: | | Wert |
| ------------------------- | ---- |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
Zum Beispiel verbindet $$2^5\cdot2^3$$ fünf Faktoren zwei mit drei weiteren Faktoren zwei. Das Ergebnis besitzt acht Faktoren zwei. Daher gilt $$2^5\cdot2^3=2^8$$.
Visible text: Zum Beispiel verbindet fünf Faktoren zwei mit drei weiteren Faktoren zwei. Das Ergebnis besitzt acht Faktoren zwei. Daher gilt .
## Sieben Potenzgesetze
| Form des Ausdrucks | Gesetz | Hier verwendete Bedingungen |
| ------------------ | ------ | --------------------------- |
| Gleiche Basen multiplizieren | $$a^m a^n=a^{m+n}$$ | $$a\neq0$$, $$m,n\in\mathbb{Z}$$ |
| Gleiche Basen dividieren | $$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$ | $$a\neq0$$, $$m,n\in\mathbb{Z}$$ |
| Eine Potenz potenzieren | $$(a^m)^n=a^{mn}$$ | $$a\neq0$$, $$m,n\in\mathbb{Z}$$ |
| Ein Produkt potenzieren | $$(ab)^m=a^m b^m$$ | $$a,b\neq0$$, $$m\in\mathbb{Z}$$ |
| Einen Quotienten potenzieren | $$\left(\frac ab\right)^m=\frac{a^m}{b^m}$$ | $$a,b\neq0$$, $$m\in\mathbb{Z}$$ |
| Rationale Potenzen mit gleichem Nenner multiplizieren | $$a^{m/n}a^{p/n}=a^{(m+p)/n}$$ | $$a>0$$, $$m,n,p\in\mathbb{Z}$$, $$n\neq0$$ |
| Allgemeine rationale Potenzen multiplizieren | $$a^{m/n}a^{p/q}=a^{(mq+pn)/(nq)}$$ | $$a>0$$, $$m,n,p,q\in\mathbb{Z}$$, $$n,q\neq0$$ |
Visible text: | Form des Ausdrucks | Gesetz | Hier verwendete Bedingungen |
| ------------------ | ------ | --------------------------- |
| Gleiche Basen multiplizieren | | , |
| Gleiche Basen dividieren | | , |
| Eine Potenz potenzieren | | , |
| Ein Produkt potenzieren | | , |
| Einen Quotienten potenzieren | | , |
| Rationale Potenzen mit gleichem Nenner multiplizieren | | , , |
| Allgemeine rationale Potenzen multiplizieren | | , , |
Beim Multiplizieren oder Dividieren gleicher Basen bleibt die Basis unverändert. Nur die Exponenten werden miteinander verknüpft. Eine Potenz außerhalb einer Klammer wirkt dagegen auf den gesamten Ausdruck in der Klammer.
## Warum die Bedingungen wichtig sind
- Die Basis null funktioniert bei einigen positiven Exponenten, aber nicht bei negativen Exponenten, denn $$0^{-1}$$ würde eine Division durch null verlangen. Die ganzzahligen Regeln verwenden deshalb $$a\neq0$$ als einheitliche Bedingung.
- Ein Quotient benötigt außerdem einen Nenner ungleich null.
- Bei rationalen Exponenten sorgt $$a>0$$ dafür, dass jede Wurzel und Potenz reell und eindeutig definiert ist. Einzelne Beispiele mit negativer Basis können reell sein, doch eine uneingeschränkte Regel würde nicht alle rationalen Exponenten abdecken.
Visible text: - Die Basis null funktioniert bei einigen positiven Exponenten, aber nicht bei negativen Exponenten, denn würde eine Division durch null verlangen. Die ganzzahligen Regeln verwenden deshalb als einheitliche Bedingung.
- Ein Quotient benötigt außerdem einen Nenner ungleich null.
- Bei rationalen Exponenten sorgt dafür, dass jede Wurzel und Potenz reell und eindeutig definiert ist. Einzelne Beispiele mit negativer Basis können reell sein, doch eine uneingeschränkte Regel würde nicht alle rationalen Exponenten abdecken.
Die Bedingungen sind kein Zusatz hinter der Formel. Sie müssen vor der Anwendung des Gesetzes geprüft werden.
## Das passende Gesetz wählen
| Muster im Ausdruck | Erster Schritt |
| ------------------ | -------------- |
| Gleiche Basen werden multipliziert | Exponenten addieren |
| Gleiche Basen werden dividiert | Exponenten des Nenners subtrahieren |
| Eine Potenz steht außerhalb einer Potenz | Exponenten multiplizieren |
| Produkt oder Quotient steht in Klammern | Äußeren Exponenten verteilen |
| Rationale Exponenten haben verschiedene Nenner | Auf einen gemeinsamen Nenner bringen |
## Durchgerechnete Beispiele
### Produkte und Quotienten verknüpfen
1. Vereinfache $$\frac{2^5\cdot2^3}{2^2}$$.
```math
\frac{2^5\cdot2^3}{2^2}=2^{5+3-2}
```
```math
2^{5+3-2}=2^6=64
```
2. Vereinfache $$2^2\cdot2^3$$.
```math
2^2\cdot2^3=2^{2+3}=2^5=32
```
3. Vereinfache $$2^5\cdot2^2$$.
```math
2^5\cdot2^2=2^{5+2}=2^7=128
```
4. Vereinfache $$2^3\cdot2^7$$.
```math
2^3\cdot2^7=2^{3+7}=2^{10}=1024
```
5. Vereinfache $$\frac{2^8}{2^6}$$.
```math
\frac{2^8}{2^6}=2^{8-6}=2^2=4
```
6. Vereinfache $$\frac{2^{10}}{2^3}$$.
```math
\frac{2^{10}}{2^3}=2^{10-3}=2^7=128
```
7. Vereinfache $$\frac{2^6}{2^4}$$.
```math
\frac{2^6}{2^4}=2^{6-4}=2^2=4
```
Visible text: 1. Vereinfache .
2. Vereinfache .
3. Vereinfache .
4. Vereinfache .
5. Vereinfache .
6. Vereinfache .
7. Vereinfache .
### Potenzen potenzieren
8. Vereinfache $$(2^3)^3$$.
```math
(2^3)^3=2^{3\cdot3}=2^9=512
```
9. Vereinfache $$(2^4)^2$$.
```math
(2^4)^2=2^{4\cdot2}=2^8=256
```
10. Vereinfache $$(2^2)^5$$.
```math
(2^2)^5=2^{2\cdot5}=2^{10}=1024
```
Visible text: 8. Vereinfache .
9. Vereinfache .
10. Vereinfache .
### Rationale Exponenten
11. Vereinfache $$2^{1/3}2^{2/3}$$.
```math
2^{1/3}2^{2/3}=2^{(1+2)/3}
```
```math
2^{3/3}=2
```
12. Vereinfache $$3^{1/2}3^{1/3}$$.
```math
3^{1/2}3^{1/3}=3^{3/6+2/6}
```
```math
3^{1/2}3^{1/3}=3^{5/6}
```
Visible text: 11. Vereinfache .
12. Vereinfache .
In jedem Beispiel bestimmen die Rechenoperation und die Anordnung der Basen, welches Gesetz anzuwenden ist. Diese Struktur zuerst zu lesen ist zuverlässiger, als eine Formel ohne Zusammenhang auswendig abzurufen.