# Arten von Lösungen quadratischer Gleichungen > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/quadratische-funktionen/arten-von-nullstellen Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/quadratic-function/quadratic-equation-types-of-root/de.mdx Unterscheide mithilfe der Diskriminante zwei reelle Lösungen, eine doppelte Lösung und zwei nichtreelle komplexe Lösungen. --- ## Lösungen mithilfe der Diskriminante einordnen Für eine quadratische Gleichung $$ax^2 + bx + c = 0$$ mit $$a \neq 0$$ ist jede Zahl $$x$$, welche die Gleichung erfüllt, eine Lösung. Über den komplexen Zahlen besitzt eine quadratische Gleichung zwei Lösungen, wenn eine doppelte Lösung zweimal gezählt wird. Die Lösungsformel liefert diese Werte: Visible text: Für eine quadratische Gleichung mit ist jede Zahl , welche die Gleichung erfüllt, eine Lösung. Über den komplexen Zahlen besitzt eine quadratische Gleichung zwei Lösungen, wenn eine doppelte Lösung zweimal gezählt wird. Die Lösungsformel liefert diese Werte: ```math x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ``` Der Ausdruck $$b^2 - 4ac$$ heißt Diskriminante und wird mit $$D$$ bezeichnet. An ihrem Vorzeichen lässt sich bereits vor dem Ausrechnen erkennen, welche Art von Lösungen vorliegt. Visible text: Der Ausdruck heißt Diskriminante und wird mit bezeichnet. An ihrem Vorzeichen lässt sich bereits vor dem Ausrechnen erkennen, welche Art von Lösungen vorliegt. ### Zwei verschiedene reelle Lösungen Für $$D > 0$$ oder $$b^2 > 4ac$$ besitzt die quadratische Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen. Visible text: Für oder besitzt die quadratische Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen. ```math x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \quad \text{und} \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} ``` Beispiel: $$x^2 - 5x + 6 = 0$$ Visible text: Beispiel: - $$a = 1, b = -5, c = 6$$ - $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 > 0$$ - Die Lösungen sind $$x_1 = 3$$ und $$x_2 = 2$$. Visible text: - - - Die Lösungen sind und . ### Eine doppelte reelle Lösung Für $$D = 0$$ oder $$b^2 = 4ac$$ stimmen beide Werte aus der Lösungsformel überein. Die Gleichung besitzt eine doppelte reelle Lösung. Visible text: Für oder stimmen beide Werte aus der Lösungsformel überein. Die Gleichung besitzt eine doppelte reelle Lösung. ```math x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a} ``` Beispiel: $$x^2 - 6x + 9 = 0$$ Visible text: Beispiel: - $$a = 1, b = -6, c = 9$$ - $$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$$ - Die doppelte Lösung ist $$x_1 = x_2 = 3$$. Visible text: - - - Die doppelte Lösung ist . ### Zwei nichtreelle komplexe Lösungen Für $$D < 0$$ oder $$b^2 < 4ac$$ besitzt die quadratische Gleichung zwei nichtreelle komplexe Lösungen. Sie bilden ein konjugiertes Paar. Visible text: Für oder besitzt die quadratische Gleichung zwei nichtreelle komplexe Lösungen. Sie bilden ein konjugiertes Paar. ```math x_1 = \frac{-b + i\sqrt{|D|}}{2a} \quad \text{und} \quad x_2 = \frac{-b - i\sqrt{|D|}}{2a} ``` Dabei definiert $$i^2=-1$$ die imaginäre Einheit. Visible text: Dabei definiert die imaginäre Einheit. Beispiel: $$x^2 + 2x + 5 = 0$$ Visible text: Beispiel: - $$a = 1, b = 2, c = 5$$ - $$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 < 0$$ - Die Lösungen sind $$x_1 = -1 + 2i$$ und $$x_2 = -1 - 2i$$. Visible text: - - - Die Lösungen sind und . ## Lösungen und Koeffizienten verknüpfen Sind $$x_1$$ und $$x_2$$ die Lösungen von $$ax^2 + bx + c = 0$$, gelten nach den Formeln von Vieta: Visible text: Sind und die Lösungen von , gelten nach den Formeln von Vieta: Component: MathContainer Children: ```math x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} ``` ```math x_1 \times x_2 = \frac{c}{a} ``` Mit diesen Beziehungen lassen sich berechnete Lösungen überprüfen oder die Koeffizientenverhältnisse $$b/a$$ und $$c/a$$ bestimmen. Eine konkrete Gleichung ist festgelegt, sobald zusätzlich der Leitkoeffizient $$a$$ bekannt ist. Visible text: Mit diesen Beziehungen lassen sich berechnete Lösungen überprüfen oder die Koeffizientenverhältnisse und bestimmen. Eine konkrete Gleichung ist festgelegt, sobald zusätzlich der Leitkoeffizient bekannt ist. ## Übung Ordne die Lösungen der Gleichung $$2x^2-4x+5=0$$ ein und bestimme sie. Prüfe sie anschließend über ihre Summe und ihr Produkt. Visible text: Ordne die Lösungen der Gleichung ein und bestimme sie. Prüfe sie anschließend über ihre Summe und ihr Produkt. ### Ausführliche Lösung Die Koeffizienten sind $$a=2$$, $$b=-4$$ und $$c=5$$. Die Diskriminante ist Visible text: Die Koeffizienten sind , und . Die Diskriminante ist ```math D=(-4)^2-4\cdot2\cdot5=16-40=-24 ``` Wegen $$D<0$$ besitzt die Gleichung zwei nichtreelle komplexe Lösungen. Wir setzen in die Lösungsformel ein und verwenden $$\sqrt{-24}=2i\sqrt6$$: Visible text: Wegen besitzt die Gleichung zwei nichtreelle komplexe Lösungen. Wir setzen in die Lösungsformel ein und verwenden : Component: MathContainer Children: ```math x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{-24}}{2\cdot2} ``` ```math x=\frac{4\pm2i\sqrt6}{4}=1\pm\frac{i\sqrt6}{2} ``` Somit gilt: ```math x_1=1+\frac{i\sqrt6}{2}\qquad\text{und}\qquad x_2=1-\frac{i\sqrt6}{2} ``` Summe und Produkt stimmen mit den Formeln von Vieta überein: Component: MathContainer Children: ```math x_1+x_2=2=-\frac{b}{a} ``` ```math x_1x_2=1+\frac{6}{4}=\frac52=\frac{c}{a} ``` Beide Kontrollen verwenden die ursprünglichen Koeffizienten. Dadurch fallen ein verlorenes Vorzeichen oder ein falscher Nenner in der Lösungsformel auf.