# Eigenschaften quadratischer Funktionen > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/quadratische-funktionen/eigenschaften-quadratischer-funktionen Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/quadratic-function/quadratic-function-characteristics/de.mdx Quadratische Graphen anhand von Leitkoeffizient, Scheitel, Symmetrieachse, Achsenschnittpunkten und Wertebereich untersuchen und zeichnen. --- ## Der Graph einer quadratischen Funktion Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Der Leitkoeffizient $$a$$ bestimmt ihre Öffnungsrichtung und wie schmal oder breit sie erscheint. Visible text: Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Der Leitkoeffizient bestimmt ihre Öffnungsrichtung und wie schmal oder breit sie erscheint. ## Wie der Leitkoeffizient die Parabel verändert ### Positiver Leitkoeffizient Für $$a > 0$$ öffnet sich die Parabel nach oben und besitzt einen Tiefpunkt. Visible text: Für öffnet sich die Parabel nach oben und besitzt einen Tiefpunkt. Beispiele für Funktionen mit $$a > 0$$: Visible text: Beispiele für Funktionen mit : - $$f(x) = x^2$$, das einfachste Beispiel mit $$a = 1$$ - $$f(x) = 2x^2 + 1$$, ein Beispiel mit $$a = 2$$ Visible text: - , das einfachste Beispiel mit - , ein Beispiel mit Das Vorzeichen von $$a$$ bestimmt die Öffnungsrichtung. Der Betrag bestimmt die Breite: Im Vergleich zu $$y=x^2$$ ist der Graph für $$|a|>1$$ schmaler und für $$0<|a|<1$$ breiter. Visible text: Das Vorzeichen von bestimmt die Öffnungsrichtung. Der Betrag bestimmt die Breite: Im Vergleich zu ist der Graph für schmaler und für breiter. Component: ContentBlock Children: Component: LineEquation Props: - title: Graph einer quadratischen Funktion mit $$a > 0$$ Visible text: Graph einer quadratischen Funktion mit - description: Die Parabel öffnet sich nach oben und besitzt einen Tiefpunkt. - cameraPosition: [5, 5, 12] - data: [ { points: Array.from({ length: 7 }, (_, i) => { const x = i - 3; // x-Werte von -3 bis 3 return { x, y: x * x, z: 0 }; }), color: "#4f46e5", labels: [ { text: $$f(x)=x^2$$, at: 5, offset: [1, -1, 0], }, ], }, ] Visible text: [ { points: Array.from({ length: 7 }, (_, i) => { const x = i - 3; // x-Werte von -3 bis 3 return { x, y: x * x, z: 0 }; }), color: "#4f46e5", labels: [ { text: , at: 5, offset: [1, -1, 0], }, ], }, ] ### Negativer Leitkoeffizient Für $$a < 0$$ öffnet sich die Parabel nach unten und besitzt einen Hochpunkt. Visible text: Für öffnet sich die Parabel nach unten und besitzt einen Hochpunkt. Beispiele für Funktionen mit $$a < 0$$: Visible text: Beispiele für Funktionen mit : - $$f(x) = -x^2$$ mit $$a = -1$$ - $$f(x) = -3x^2 - 12x - 15$$ mit $$a = -3$$ Visible text: - mit - mit Component: ContentBlock Children: Component: LineEquation Props: - title: Graph einer quadratischen Funktion mit $$a < 0$$ Visible text: Graph einer quadratischen Funktion mit - description: Die Parabel öffnet sich nach unten und besitzt einen Hochpunkt. - cameraPosition: [2, 2, 12] - data: [ { points: Array.from({ length: 7 }, (_, i) => { const x = i - 3; // x-Werte von -3 bis 3 return { x, y: -x * x, z: 0 }; }), color: "#e11d48", labels: [ { text: $$f(x)=-x^2$$, at: 4, offset: [2, 0, 0], }, ], }, ] Visible text: [ { points: Array.from({ length: 7 }, (_, i) => { const x = i - 3; // x-Werte von -3 bis 3 return { x, y: -x * x, z: 0 }; }), color: "#e11d48", labels: [ { text: , at: 4, offset: [2, 0, 0], }, ], }, ] ### Warum der Leitkoeffizient nicht null sein darf Für $$a = 0$$ bleibt $$f(x) = bx + c$$. Das ist eine lineare und keine quadratische Funktion. Deshalb muss $$a \neq 0$$ gelten, damit die höchste Potenz von $$x$$ gleich $$2$$ ist. Visible text: Für bleibt . Das ist eine lineare und keine quadratische Funktion. Deshalb muss gelten, damit die höchste Potenz von gleich ist. ## Wichtige Eigenschaften quadratischer Funktionen ### Scheitelpunkt Der Scheitel ist für $$a < 0$$ der höchste und für $$a > 0$$ der niedrigste Punkt des Graphen. Seine Koordinaten sind $$(-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a}))$$. Visible text: Der Scheitel ist für der höchste und für der niedrigste Punkt des Graphen. Seine Koordinaten sind . ### Symmetrieachse Die Symmetrieachse ist eine vertikale Linie, die die Parabel in zwei symmetrische Teile teilt. Die Gleichung der Symmetrieachse lautet $$x = -\frac{b}{2a}$$. Visible text: Die Symmetrieachse ist eine vertikale Linie, die die Parabel in zwei symmetrische Teile teilt. Die Gleichung der Symmetrieachse lautet . ### Schnittpunkt mit der vertikalen Achse Den Schnittpunkt mit der $$y$$-Achse erhalten wir für $$x = 0$$. Sein Funktionswert ist $$f(0) = c$$. Visible text: Den Schnittpunkt mit der -Achse erhalten wir für . Sein Funktionswert ist . ### Schnittpunkte mit der horizontalen Achse Die Schnittpunkte mit der $$x$$-Achse entstehen für $$f(x) = 0$$, also durch $$ax^2 + bx + c = 0$$. Die Lösungen liefert die quadratische Formel: Visible text: Die Schnittpunkte mit der -Achse entstehen für , also durch . Die Lösungen liefert die quadratische Formel: ```math x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ``` ## Schritte zum Zeichnen einer quadratischen Funktion 1. Bestimme, ob sich die Parabel nach oben ($$a > 0$$) oder nach unten ($$a < 0$$) öffnet. 2. Berechne die Koordinaten des Scheitels $$(-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a}))$$. 3. Berechne den Schnittpunkt mit der $$y$$-Achse: $$(0, c)$$. 4. Berechne die Schnittpunkte mit der $$x$$-Achse, falls sie existieren. 5. Wähle weitere $$x$$-Werte und berechne die zugehörigen $$y$$-Werte. 6. Trage alle Punkte in das Koordinatensystem ein. 7. Verbinde die Punkte zu einer Parabel. Visible text: 1. Bestimme, ob sich die Parabel nach oben () oder nach unten () öffnet. 2. Berechne die Koordinaten des Scheitels . 3. Berechne den Schnittpunkt mit der -Achse: . 4. Berechne die Schnittpunkte mit der -Achse, falls sie existieren. 5. Wähle weitere -Werte und berechne die zugehörigen -Werte. 6. Trage alle Punkte in das Koordinatensystem ein. 7. Verbinde die Punkte zu einer Parabel. ## Quadratische Funktionsgraphen zeichnen ### Beispiel einer nach oben öffnenden Parabel Wir zeichnen die Funktion $$f(x) = x^2 - 2x - 3$$: Visible text: Wir zeichnen die Funktion : 1. Koeffizient $$a = 1 > 0$$, also öffnet sich die Parabel nach oben. 2. Scheitelpunkt: ```math x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1 ``` ```math f(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 ``` Der Scheitelpunkt liegt also bei $$(1, -4)$$. 3. $$y$$-Achsenabschnitt: ```math f(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 - 3 = -3 ``` Der $$y$$-Achsenabschnitt liegt also bei $$(0, -3)$$. 4. Schnittpunkte auf der $$x$$-Achse: $$f(x) = 0$$ oder $$x^2 - 2x - 3 = 0$$ Mit der quadratischen Formel folgt: ```math x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} ``` ```math x = \frac{2 + 4}{2} = 3 \text{ oder } x = \frac{2 - 4}{2} = -1 ``` Die Schnittpunkte auf der $$x$$-Achse sind also $$(-1, 0)$$ und $$(3, 0)$$. 5. Für die Form des Graphen berechnen wir zwei weitere Punkte: ```math f(-2) = (-2)^2 - 2 \cdot (-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 ``` ```math f(2) = 2^2 - 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 4 - 3 = -3 ``` Visible text: 1. Koeffizient , also öffnet sich die Parabel nach oben. 2. Scheitelpunkt: Der Scheitelpunkt liegt also bei . 3. -Achsenabschnitt: Der -Achsenabschnitt liegt also bei . 4. Schnittpunkte auf der -Achse: oder Mit der quadratischen Formel folgt: Die Schnittpunkte auf der -Achse sind also und . 5. Für die Form des Graphen berechnen wir zwei weitere Punkte: Component: ContentBlock Children: Component: LineEquation Props: - title: Graph von $$f(x) = x^2 - 2x - 3$$ Visible text: Graph von - description: Die Parabel öffnet sich nach oben. Ihr Scheitel liegt bei{" "} $$(1, -4)$$ und ihre Schnittpunkte mit der $$x$$-Achse bei{" "} $$(-1, 0)$$ und $$(3, 0)$$. Visible text: Die Parabel öffnet sich nach oben. Ihr Scheitel liegt bei und ihre Schnittpunkte mit der -Achse bei und . - cameraPosition: [2, 1, 15] - data: [ { points: Array.from({ length: 7 }, (_, i) => { const x = i - 2; // x-Werte von -2 bis 4 return { x, y: x * x - 2 * x - 3, z: 0 }; }), color: "#0d9488", labels: [ { text: $$f(x)=x^2 - 2x - 3$$, at: 5, offset: [3, 2, 0], }, { text: <>Scheitelpunkt $$(1,-4)$$, at: 3, offset: [0, -0.5, 0], }, ], }, ] Visible text: [ { points: Array.from({ length: 7 }, (_, i) => { const x = i - 2; // x-Werte von -2 bis 4 return { x, y: x * x - 2 * x - 3, z: 0 }; }), color: "#0d9488", labels: [ { text: , at: 5, offset: [3, 2, 0], }, { text: <>Scheitelpunkt , at: 3, offset: [0, -0.5, 0], }, ], }, ] ### Beispiel einer nach unten öffnenden Parabel Wir zeichnen die Funktion $$f(x) = -x^2$$: Visible text: Wir zeichnen die Funktion : 1. Koeffizient $$a = -1 < 0$$, also öffnet sich die Parabel nach unten. 2. Scheitelpunkt: ```math x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0 ``` ```math f(0) = -(0)^2 = 0 ``` Der Scheitelpunkt liegt also bei $$(0, 0)$$. 3. $$y$$-Achsenabschnitt: ```math f(0) = 0 ``` Der $$y$$-Achsenabschnitt liegt also bei $$(0, 0)$$. 4. Schnittpunkte auf der $$x$$-Achse: $$f(x) = 0$$ oder $$-x^2 = 0$$ ```math x^2 = 0 ``` ```math x = 0 ``` Der $$x$$-Achsenabschnitt liegt also bei $$(0, 0)$$. 5. Für die Form des Graphen berechnen wir weitere Punkte: ```math f(-2) = -((-2)^2) = -4 ``` ```math f(-1) = -((-1)^2) = -1 ``` ```math f(1) = -(1^2) = -1 ``` ```math f(2) = -(2^2) = -4 ``` Visible text: 1. Koeffizient , also öffnet sich die Parabel nach unten. 2. Scheitelpunkt: Der Scheitelpunkt liegt also bei . 3. -Achsenabschnitt: Der -Achsenabschnitt liegt also bei . 4. Schnittpunkte auf der -Achse: oder Der -Achsenabschnitt liegt also bei . 5. Für die Form des Graphen berechnen wir weitere Punkte: Component: ContentBlock Children: Component: LineEquation Props: - title: Graph von $$f(x) = -x^2$$ Visible text: Graph von - description: Die Parabel öffnet sich nach unten. Ihr Scheitel liegt bei{" "} $$(0, 0)$$. Visible text: Die Parabel öffnet sich nach unten. Ihr Scheitel liegt bei . - cameraPosition: [2, 2, 12] - data: [ { points: Array.from({ length: 7 }, (_, i) => { const x = i - 3; // x-Werte von -3 bis 3 return { x, y: -x * x, z: 0 }; }), color: "#ea580c", labels: [ { text: $$f(x)=-x^2$$, at: 4, offset: [2, 0, 0], }, { text: <>Scheitelpunkt $$(0,0)$$, at: 3, offset: [0, 0.5, 0], }, ], }, ] Visible text: [ { points: Array.from({ length: 7 }, (_, i) => { const x = i - 3; // x-Werte von -3 bis 3 return { x, y: -x * x, z: 0 }; }), color: "#ea580c", labels: [ { text: , at: 4, offset: [2, 0, 0], }, { text: <>Scheitelpunkt , at: 3, offset: [0, 0.5, 0], }, ], }, ] ## Die Form auf einen Blick Der Scheitel werde als $$(x_v,y_v)$$ mit $$y_v=f(x_v)$$ geschrieben. Visible text: Der Scheitel werde als mit geschrieben. | Bedingung | Öffnung | Extremwert | Wertebereich | | ------------- | -------- | ------------ | -------------------------------------- | | $$a > 0$$ | Nach oben | Minimum | $$[y_v,\infty)$$ | | $$a < 0$$ | Nach unten | Maximum | $$(-\infty,y_v]$$ | Visible text: | Bedingung | Öffnung | Extremwert | Wertebereich | | ------------- | -------- | ------------ | -------------------------------------- | | | Nach oben | Minimum | | | | Nach unten | Maximum | | ## Übungsaufgabe Untersuche den Graphen von $$g(x)=-2(x+1)^2+8$$. Bestimme Öffnungsrichtung, Scheitel, Symmetrieachse, Achsenschnittpunkte und Wertebereich. Visible text: Untersuche den Graphen von . Bestimme Öffnungsrichtung, Scheitel, Symmetrieachse, Achsenschnittpunkte und Wertebereich. ### Ausführliche Lösung Die Funktion liegt bereits in der Scheitelpunktform $$a(x-h)^2+k$$ vor. Hier gilt $$a=-2$$, $$h=-1$$ und $$k=8$$. Visible text: Die Funktion liegt bereits in der Scheitelpunktform vor. Hier gilt , und . - Wegen $$a<0$$ öffnet sich die Parabel nach unten. - Der Scheitelpunkt ist $$(-1,8)$$, daher ist sein Maximalwert $$8$$. - Die Symmetrieachse ist $$x=-1$$. Visible text: - Wegen öffnet sich die Parabel nach unten. - Der Scheitelpunkt ist , daher ist sein Maximalwert . - Die Symmetrieachse ist . Für den Schnittpunkt mit der $$y$$-Achse setzen wir $$x=0$$ ein: Visible text: Für den Schnittpunkt mit der -Achse setzen wir ein: ```math g(0)=-2(0+1)^2+8=6 ``` Der Graph schneidet die $$y$$-Achse also bei $$(0,6)$$. Für die Schnittpunkte mit der $$x$$-Achse lösen wir $$g(x)=0$$: Visible text: Der Graph schneidet die -Achse also bei . Für die Schnittpunkte mit der -Achse lösen wir : Component: MathContainer Children: ```math -2(x+1)^2+8=0 ``` ```math (x+1)^2=4 ``` ```math x+1=\pm2 ``` ```math x=-3\quad\text{oder}\quad x=1 ``` Die Schnittpunkte sind $$(-3,0)$$ und $$(1,0)$$. Da sich die Parabel vom Maximum $$8$$ nach unten öffnet, ist ihr Wertebereich $$(-\infty,8]$$. Visible text: Die Schnittpunkte sind und . Da sich die Parabel vom Maximum nach unten öffnet, ist ihr Wertebereich .