# Quadratische Gleichungen faktorisieren
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Quadratische Gleichungen mit der Nullproduktregel, Gruppierung und besonderen Mustern faktorisieren und die Ergebnisse an Beispielen und Übungsaufgaben prüfen.
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## Was ist die Faktorisierung quadratischer Gleichungen?
Beim Faktorisieren schreiben wir eine quadratische Gleichung $$ax^2 + bx + c = 0$$ als Produkt. Lässt sie sich in der Form $$a(x - p)(x - q) = 0$$ darstellen, dann sind $$p$$ und $$q$$ ihre Nullstellen.
Visible text: Beim Faktorisieren schreiben wir eine quadratische Gleichung als Produkt. Lässt sie sich in der Form darstellen, dann sind und ihre Nullstellen.
Nullstellen sind die Werte von $$x$$, für die die Gleichung null ergibt. In der Produktform werden sie sichtbar, weil wir jeden Faktor gleich null setzen können.
Visible text: Nullstellen sind die Werte von , für die die Gleichung null ergibt. In der Produktform werden sie sichtbar, weil wir jeden Faktor gleich null setzen können.
## Grundprinzipien der Faktorisierung
Eine quadratische Gleichung in Standardform wird geschrieben als:
```math
ax^2 + bx + c = 0
```
wobei $$a$$, $$b$$ und $$c$$ Konstanten sind und $$a \neq 0$$.
Visible text: wobei , und Konstanten sind und .
Die Faktorisierung nutzt die Nullproduktregel: Ist ein Produkt null, muss mindestens ein Faktor null sein.
Das bedeutet, wenn $$(x - p)(x - q) = 0$$, dann:
Visible text: Das bedeutet, wenn , dann:
- $$x - p = 0$$ oder $$x - q = 0$$
- Also $$x = p$$ oder $$x = q$$
Visible text: - oder
- Also oder
## Schritte zum Faktorisieren quadratischer Gleichungen
Eine quadratische Gleichung $$ax^2 + bx + c = 0$$ mit ganzzahligen Koeffizienten lässt sich durch Gruppierung in vier Schritten faktorisieren:
Visible text: Eine quadratische Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten lässt sich durch Gruppierung in vier Schritten faktorisieren:
1. Bringe die Gleichung in die Standardform mit null auf der rechten Seite
2. Suche zwei Zahlen mit dem Produkt $$ac$$ und der Summe $$b$$
3. Zerlege den mittleren Term mithilfe dieser Zahlen und faktorisiere durch Gruppierung
4. Bestimme aus den Faktoren die Nullstellen
Visible text: 1. Bringe die Gleichung in die Standardform mit null auf der rechten Seite
2. Suche zwei Zahlen mit dem Produkt und der Summe
3. Zerlege den mittleren Term mithilfe dieser Zahlen und faktorisiere durch Gruppierung
4. Bestimme aus den Faktoren die Nullstellen
### Beispiele für die Faktorisierung quadratischer Gleichungen
1. Wir faktorisieren die Gleichung:
```math
x^2 + 5x + 6 = 0
```
In dieser Gleichung sind $$a = 1$$, $$b = 5$$ und $$c = 6$$.
**Schritt** $$1$$: Die Gleichung liegt bereits in Standardform vor, wobei die rechte Seite gleich Null ist.
**Schritt** $$2$$: Gesucht sind zwei Zahlen, für die gilt:
- Ihr Produkt ist $$ac = 1 \times 6 = 6$$
- Ihre Summe ist $$b = 5$$
Faktoren von $$6$$ sind $$1$$, $$2$$, $$3$$ und $$6$$.
Mögliche Faktorpaare sind $$(1, 6)$$ und $$(2, 3)$$.
Das Paar $$(2, 3)$$ ergibt eine Summe von $$5$$, was dem Wert von $$b$$ entspricht.
**Schritt** $$3$$: Wir können die Gleichung wie folgt schreiben:
```math
x^2 + 2x + 3x + 6 = 0
```
```math
x(x + 2) + 3(x + 2) = 0
```
```math
(x + 3)(x + 2) = 0
```
**Schritt** $$4$$: Aus der faktorisierten Form oben erhalten wir:
- $$x + 3 = 0$$ → $$x = -3$$
- $$x + 2 = 0$$ → $$x = -2$$
Die Nullstellen sind also $$x = -3$$ und $$x = -2$$.
2. Nun faktorisieren wir:
```math
3x^2 + 13x - 10 = 0
```
In dieser Gleichung sind $$a = 3$$, $$b = 13$$ und $$c = -10$$.
**Schritt** $$1$$: Die Gleichung liegt bereits in Standardform vor, wobei die rechte Seite gleich Null ist.
**Schritt** $$2$$: Gesucht sind zwei Zahlen, für die gilt:
- Ihr Produkt ist $$ac = 3 \times (-10) = -30$$
- Ihre Summe ist $$b = 13$$
Faktoren von $$-30$$ sind Zahlenpaare mit entgegengesetzten Vorzeichen:
$$(1, -30), (-1, 30), (2, -15), (-2, 15), (3, -10), (-3, 10), (5, -6), (-5, 6)$$
Das Paar $$(15, -2)$$ ergibt eine Summe von $$13$$, was dem Wert von $$b$$ entspricht.
**Schritt** $$3$$: Wir können die Gleichung wie folgt schreiben:
```math
3x^2 + 15x - 2x - 10 = 0
```
Anschließend gruppieren wir die Terme:
```math
3x^2 + 15x - 2x - 10 = 0
```
```math
3x(x + 5) - 2(x + 5) = 0
```
```math
(3x - 2)(x + 5) = 0
```
**Schritt** $$4$$: Aus der faktorisierten Form oben erhalten wir:
- $$3x - 2 = 0$$ → $$x = \frac{2}{3}$$
- $$x + 5 = 0$$ → $$x = -5$$
Die Nullstellen sind also $$x = \frac{2}{3}$$ und $$x = -5$$.
3. Faktorisierung bei Koeffizient $$a \neq 1$$
Ist der Koeffizient $$a$$ nicht gleich $$1$$, zerlegen wir den mittleren Term und gruppieren anschließend:
**Methode mit Faktoren von $$ac$$**
1. Bestimme den Wert von $$ac$$
2. Suche ein Faktorpaar von $$ac$$ mit der Summe $$b$$
3. Zerlege den Term $$bx$$ mithilfe dieses Faktorpaars
4. Faktorisiere durch Gruppierung
**Beispiel für Faktorisierung**:
```math
2x^2 + 5x - 3 = 0
```
In dieser Gleichung sind $$a = 2$$, $$b = 5$$ und $$c = -3$$.
**Schritt** $$1$$: Wir berechnen $$ac = 2 \times (-3) = -6$$
**Schritt** $$2$$: Wir suchen ein Faktorpaar von $$-6$$ mit der Summe $$5$$:
Faktoren von $$-6$$: $$(1, -6), (-1, 6), (2, -3), (-2, 3)$$
Das Paar $$(6, -1)$$ ergibt eine Summe von $$5$$, was dem Wert von $$b$$ entspricht.
**Schritt** $$3$$: Wir zerlegen $$5x$$ in $$6x - x$$:
```math
2x^2 + 6x - x - 3 = 0
```
**Schritt** $$4$$: Faktorisieren durch Gruppierung:
```math
2x^2 + 6x - x - 3 = 0
```
```math
2x(x + 3) - 1(x + 3) = 0
```
```math
(2x - 1)(x + 3) = 0
```
**Schritt** $$5$$: Aus den Faktoren folgen die Nullstellen:
- $$2x - 1 = 0$$ → $$x = \frac{1}{2}$$
- $$x + 3 = 0$$ → $$x = -3$$
Die Nullstellen sind also $$x = \frac{1}{2}$$ und $$x = -3$$.
Visible text: 1. Wir faktorisieren die Gleichung:
In dieser Gleichung sind , und .
**Schritt** : Die Gleichung liegt bereits in Standardform vor, wobei die rechte Seite gleich Null ist.
**Schritt** : Gesucht sind zwei Zahlen, für die gilt:
- Ihr Produkt ist
- Ihre Summe ist
Faktoren von sind , , und .
Mögliche Faktorpaare sind und .
Das Paar ergibt eine Summe von , was dem Wert von entspricht.
**Schritt** : Wir können die Gleichung wie folgt schreiben:
**Schritt** : Aus der faktorisierten Form oben erhalten wir:
- →
- →
Die Nullstellen sind also und .
2. Nun faktorisieren wir:
In dieser Gleichung sind , und .
**Schritt** : Die Gleichung liegt bereits in Standardform vor, wobei die rechte Seite gleich Null ist.
**Schritt** : Gesucht sind zwei Zahlen, für die gilt:
- Ihr Produkt ist
- Ihre Summe ist
Faktoren von sind Zahlenpaare mit entgegengesetzten Vorzeichen:
Das Paar ergibt eine Summe von , was dem Wert von entspricht.
**Schritt** : Wir können die Gleichung wie folgt schreiben:
Anschließend gruppieren wir die Terme:
**Schritt** : Aus der faktorisierten Form oben erhalten wir:
- →
- →
Die Nullstellen sind also und .
3. Faktorisierung bei Koeffizient
Ist der Koeffizient nicht gleich , zerlegen wir den mittleren Term und gruppieren anschließend:
**Methode mit Faktoren von **
1. Bestimme den Wert von
2. Suche ein Faktorpaar von mit der Summe
3. Zerlege den Term mithilfe dieses Faktorpaars
4. Faktorisiere durch Gruppierung
**Beispiel für Faktorisierung**:
In dieser Gleichung sind , und .
**Schritt** : Wir berechnen
**Schritt** : Wir suchen ein Faktorpaar von mit der Summe :
Faktoren von :
Das Paar ergibt eine Summe von , was dem Wert von entspricht.
**Schritt** : Wir zerlegen in :
**Schritt** : Faktorisieren durch Gruppierung:
**Schritt** : Aus den Faktoren folgen die Nullstellen:
- →
- →
Die Nullstellen sind also und .
## Faktorisieren, wenn eine Wurzel bekannt ist
Kennen wir eine Nullstelle einer quadratischen Gleichung, kennen wir zugleich einen ihrer Linearfaktoren.
**Beispiel:** Eine Nullstelle der Gleichung $$2x^2 - bx - 6 = 0$$ ist $$6$$
Visible text: **Beispiel:** Eine Nullstelle der Gleichung ist
Ist $$x = 6$$ eine Nullstelle, dann ist $$(x - 6)$$ ein Faktor.
Visible text: Ist eine Nullstelle, dann ist ein Faktor.
Wir können $$x = 6$$ in die ursprüngliche Gleichung einsetzen:
Visible text: Wir können in die ursprüngliche Gleichung einsetzen:
Component: MathContainer
Children:
```math
2(6)^2 - b(6) - 6 = 0
```
```math
2 \times 36 - 6b - 6 = 0
```
```math
72 - 6b - 6 = 0
```
```math
66 = 6b
```
```math
b = 11
```
Jetzt können wir die Gleichung als $$2x^2 - 11x - 6 = 0$$ schreiben.
Visible text: Jetzt können wir die Gleichung als schreiben.
Nun faktorisieren wir durch Gruppierung:
Component: MathContainer
Children:
```math
2x^2 - 11x - 6 = 0
```
```math
2x^2 - 12x + x - 6 = 0
```
```math
2x(x - 6) + 1(x - 6) = 0
```
```math
(2x + 1)(x - 6) = 0
```
Die Nullstellen sind $$x = -\frac{1}{2}$$ und $$x = 6$$.
Visible text: Die Nullstellen sind und .
## Sonderfälle der Faktorisierung
1. Form $$ax^2 + bx = 0$$
Fehlt der konstante Term, können wir $$x$$ direkt ausklammern:
```math
ax^2 + bx = 0
```
```math
x(ax + b) = 0
```
Die Nullstellen sind $$x = 0$$ und $$x = -\frac{b}{a}$$.
**Beispiel:** $$2x^2 - 18x = 0$$
```math
2x^2 - 18x = 0
```
```math
2x(x - 9) = 0
```
Die Nullstellen sind $$x = 0$$ und $$x = 9$$.
2. Form $$ax^2 - c = 0$$
Für Gleichungen ohne einen $$x$$-Term wird zuerst $$x^2$$ isoliert. Über den reellen Zahlen setzt das Wurzelziehen $$\frac{c}{a}\ge0$$ voraus:
```math
ax^2 - c = 0
```
```math
ax^2 = c
```
```math
x^2 = \frac{c}{a}
```
```math
x = \pm \sqrt{\frac{c}{a}}
```
- Für $$\frac{c}{a}>0$$ gibt es zwei verschiedene reelle Nullstellen und eine Zerlegung in reelle Linearfaktoren.
- Für $$\frac{c}{a}=0$$ ist $$x=0$$ eine doppelte Nullstelle.
- Für $$\frac{c}{a}<0$$ gibt es weder reelle Nullstellen noch eine Zerlegung in reelle Linearfaktoren. Über den komplexen Zahlen lauten die Lösungen $$x=\pm i\sqrt{-\frac{c}{a}}$$.
**Beispiel:** $$2x^2 - 18 = 0$$
```math
2x^2 - 18 = 0
```
```math
2x^2 = 18
```
```math
x^2 = 9
```
```math
x = \pm 3
```
Die Nullstellen sind $$x = 3$$ und $$x = -3$$.
Visible text: 1. Form
Fehlt der konstante Term, können wir direkt ausklammern:
Die Nullstellen sind und .
**Beispiel:**
Die Nullstellen sind und .
2. Form
Für Gleichungen ohne einen -Term wird zuerst isoliert. Über den reellen Zahlen setzt das Wurzelziehen voraus:
- Für gibt es zwei verschiedene reelle Nullstellen und eine Zerlegung in reelle Linearfaktoren.
- Für ist eine doppelte Nullstelle.
- Für gibt es weder reelle Nullstellen noch eine Zerlegung in reelle Linearfaktoren. Über den komplexen Zahlen lauten die Lösungen .
**Beispiel:**
Die Nullstellen sind und .
## Wenn ganzzahlige Faktorpaare nicht funktionieren
Nicht jede quadratische Gleichung hat rationale Faktoren. Gibt es kein passendes Faktorpaar, hilft ein anderes Verfahren wie die Lösungsformel:
```math
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
```
Bei ganzzahligen Koeffizienten hat die Gleichung genau dann rationale Nullstellen, wenn die Diskriminante $$b^2 - 4ac$$ eine nichtnegative Quadratzahl ist.
Visible text: Bei ganzzahligen Koeffizienten hat die Gleichung genau dann rationale Nullstellen, wenn die Diskriminante eine nichtnegative Quadratzahl ist.
## Übungsaufgaben
Faktorisiere die folgenden quadratischen Gleichungen:
1. $$x^2 + 6x + 5 = 0$$
2. $$2x^2 + 5x + 2 = 0$$
3. $$3x^2 - x - 2 = 0$$
4. $$2x^2 - 8x + 6 = 0$$
5. $$x^2 - 9 = 0$$
Visible text: 1.
2.
3.
4.
5.
### Ausgearbeitete Lösungen
1. $$x^2 + 6x + 5 = 0$$
**Schritt** $$1$$: Wir bestimmen die Koeffizienten
```math
a = 1, b = 6, c = 5
```
**Schritt** $$2$$: Wir suchen zwei Zahlen mit dem Produkt $$ac = 5$$ und der Summe $$b = 6$$
```math
\text{Faktoren von } 5: 1 \times 5 = 5 \text{ und } 1 + 5 = 6
```
**Schritt** $$3$$: Faktorisierung
```math
x^2 + 6x + 5 = 0
```
```math
x^2 + x + 5x + 5 = 0
```
```math
x(x + 1) + 5(x + 1) = 0
```
```math
(x + 5)(x + 1) = 0
```
**Schritt** $$4$$: Aus den Faktoren folgen die Nullstellen
```math
x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5
```
```math
x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1
```
Die Nullstellen sind also $$x = -5$$ und $$x = -1$$.
2. $$2x^2 + 5x + 2 = 0$$
**Schritt** $$1$$: Wir bestimmen die Koeffizienten
```math
a = 2, b = 5, c = 2
```
**Schritt** $$2$$: Wir suchen zwei Zahlen mit dem Produkt $$ac = 2 \times 2 = 4$$ und der Summe $$b = 5$$
```math
\text{Faktoren von } 4: 1 \times 4 = 4 \text{ und } 1 + 4 = 5
```
**Schritt** $$3$$: Faktorisierung
```math
2x^2 + 5x + 2 = 0
```
```math
2x^2 + x + 4x + 2 = 0
```
```math
x(2x + 1) + 2(2x + 1) = 0
```
```math
(2x + 1)(x + 2) = 0
```
**Schritt** $$4$$: Aus den Faktoren folgen die Nullstellen
```math
2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}
```
```math
x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2
```
Die Nullstellen sind also $$x = -\frac{1}{2}$$ und $$x = -2$$.
3. $$3x^2 - x - 2 = 0$$
**Schritt** $$1$$: Wir bestimmen die Koeffizienten
```math
a = 3, b = -1, c = -2
```
**Schritt** $$2$$: Wir suchen zwei Zahlen mit dem Produkt $$ac = 3 \times (-2) = -6$$ und der Summe $$b = -1$$
```math
\text{Faktoren von } -6: (-3) \times 2 = -6 \text{ und } (-3) + 2 = -1
```
**Schritt** $$3$$: Faktorisierung
```math
3x^2 - x - 2 = 0
```
```math
3x^2 - 3x + 2x - 2 = 0
```
```math
3x(x - 1) + 2(x - 1) = 0
```
```math
(3x + 2)(x - 1) = 0
```
**Schritt** $$4$$: Aus den Faktoren folgen die Nullstellen
```math
3x + 2 = 0 \Rightarrow x = -\frac{2}{3}
```
```math
x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1
```
Die Nullstellen sind also $$x = -\frac{2}{3}$$ und $$x = 1$$.
4. $$2x^2 - 8x + 6 = 0$$
**Schritt** $$1$$: Wir bestimmen die Koeffizienten
```math
a = 2, b = -8, c = 6
```
**Schritt** $$2$$: Wir suchen zwei Zahlen mit dem Produkt $$ac = 2 \times 6 = 12$$ und der Summe $$b = -8$$
```math
\text{Faktoren von } 12: (-6) \times (-2) = 12 \text{ und } (-6) + (-2) = -8
```
**Schritt** $$3$$: Faktorisierung
```math
2x^2 - 8x + 6 = 0
```
```math
2x^2 - 6x - 2x + 6 = 0
```
```math
2x(x - 3) - 2(x - 3) = 0
```
```math
(2x - 2)(x - 3) = 0
```
```math
2(x - 1)(x - 3) = 0
```
**Schritt** $$4$$: Aus den Faktoren folgen die Nullstellen
```math
x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1
```
```math
x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3
```
Die Nullstellen sind also $$x = 1$$ und $$x = 3$$.
5. $$x^2 - 9 = 0$$
**Schritt** $$1$$: Als Differenz von Quadraten identifizieren
```math
x^2 - 9 = x^2 - 3^2
```
**Schritt** $$2$$: Wir verwenden die Formel für die Differenz zweier Quadrate $$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$$
```math
x^2 - 3^2 = (x + 3)(x - 3) = 0
```
**Schritt** $$3$$: Aus den Faktoren folgen die Nullstellen
```math
x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3
```
```math
x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3
```
Die Nullstellen sind also $$x = -3$$ und $$x = 3$$.
Visible text: 1.
**Schritt** : Wir bestimmen die Koeffizienten
**Schritt** : Wir suchen zwei Zahlen mit dem Produkt und der Summe
**Schritt** : Faktorisierung
**Schritt** : Aus den Faktoren folgen die Nullstellen
Die Nullstellen sind also und .
2.
**Schritt** : Wir bestimmen die Koeffizienten
**Schritt** : Wir suchen zwei Zahlen mit dem Produkt und der Summe
**Schritt** : Faktorisierung
**Schritt** : Aus den Faktoren folgen die Nullstellen
Die Nullstellen sind also und .
3.
**Schritt** : Wir bestimmen die Koeffizienten
**Schritt** : Wir suchen zwei Zahlen mit dem Produkt und der Summe
**Schritt** : Faktorisierung
**Schritt** : Aus den Faktoren folgen die Nullstellen
Die Nullstellen sind also und .
4.
**Schritt** : Wir bestimmen die Koeffizienten
**Schritt** : Wir suchen zwei Zahlen mit dem Produkt und der Summe
**Schritt** : Faktorisierung
**Schritt** : Aus den Faktoren folgen die Nullstellen
Die Nullstellen sind also und .
5.
**Schritt** : Als Differenz von Quadraten identifizieren
**Schritt** : Wir verwenden die Formel für die Differenz zweier Quadrate
**Schritt** : Aus den Faktoren folgen die Nullstellen
Die Nullstellen sind also und .