# Komplexe Lösungen quadratischer Gleichungen > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/quadratische-funktionen/komplexe-loesungen-quadratischer-gleichungen Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/quadratic-function/quadratic-equation-imaginary-root/de.mdx Quadratische Gleichungen auf komplexe Zahlen erweitern, bei negativer Diskriminante konjugierte Lösungen bestimmen und mit dem reellen Graphen verbinden. --- ## Über die reellen Zahlen hinaus Die Gleichung ```math x^2+1=0 ``` verlangt $$x^2=-1$$. Keine reelle Zahl hat ein negatives Quadrat. Deshalb besitzt diese Gleichung keine reelle Lösung. Um sie dennoch zu lösen, erweitern wir den Zahlbereich um die imaginäre Einheit $$i$$, die durch Visible text: verlangt . Keine reelle Zahl hat ein negatives Quadrat. Deshalb besitzt diese Gleichung keine reelle Lösung. Um sie dennoch zu lösen, erweitern wir den Zahlbereich um die imaginäre Einheit , die durch ```math i^2=-1 ``` definiert ist. Eine komplexe Zahl hat die Form ```math z=a+bi\qquad(a,b\in\mathbb R) ``` Die Zahl $$2+5i$$ ist komplex. Sie ist nicht rein imaginär, weil ihr Realteil nicht null ist. Eine Zahl wie $$3i$$ ist dagegen rein imaginär. Visible text: Die Zahl ist komplex. Sie ist nicht rein imaginär, weil ihr Realteil nicht null ist. Eine Zahl wie ist dagegen rein imaginär. ## Eine negative Diskriminante Für eine quadratische Gleichung $$ax^2+bx+c=0$$ mit reellen Koeffizienten lautet die Diskriminante Visible text: Für eine quadratische Gleichung mit reellen Koeffizienten lautet die Diskriminante ```math D=b^2-4ac ``` Ist $$D<0$$, hat die Gleichung keine reellen Nullstellen. Sie besitzt zwei verschiedene nichtreelle komplexe Nullstellen, die ein konjugiertes Paar bilden. Visible text: Ist , hat die Gleichung keine reellen Nullstellen. Sie besitzt zwei verschiedene nichtreelle komplexe Nullstellen, die ein konjugiertes Paar bilden. Wir beginnen weiterhin mit der Lösungsformel: ```math x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} ``` Wegen $$D<0$$ schreiben wir $$D=-|D|$$. Dann gilt Visible text: Wegen schreiben wir . Dann gilt Component: MathContainer Children: ```math \sqrt D=\sqrt{-|D|}=i\sqrt{|D|} ``` ```math x=\frac{-b\pm i\sqrt{|D|}}{2a} ``` ## Ausführliche Beispiele ### Beispiel 1: Beide Nullstellen bestimmen Löse ```math x^2+4x+5=0 ``` Die Koeffizienten sind $$a=1$$, $$b=4$$ und $$c=5$$. Zuerst berechnen wir die Diskriminante: Visible text: Die Koeffizienten sind , und . Zuerst berechnen wir die Diskriminante: ```math D=4^2-4\cdot1\cdot5=16-20=-4 ``` Da $$D=-4<0$$ gilt, sind die Nullstellen nicht reell. Wir setzen die Werte in die Lösungsformel ein: Visible text: Da gilt, sind die Nullstellen nicht reell. Wir setzen die Werte in die Lösungsformel ein: Component: MathContainer Children: ```math x=\frac{-4\pm\sqrt{-4}}{2\cdot1} ``` ```math x=\frac{-4\pm2i}{2}=-2\pm i ``` Damit erhalten wir ```math x_1=-2+i\qquad\text{und}\qquad x_2=-2-i ``` Eine Nullstelle lässt sich direkt prüfen: Component: MathContainer Children: ```math (-2+i)^2+4(-2+i)+5 ``` ```math =4-4i+i^2-8+4i+5=0 ``` Die zweite Nullstelle entsteht durch den Vorzeichenwechsel im Imaginärteil. ### Beispiel 2: Nullstellen einordnen und bestimmen Betrachten wir ```math 2x^2+x+3=0 ``` Hier sind $$a=2$$, $$b=1$$ und $$c=3$$. Die Diskriminante beträgt Visible text: Hier sind , und . Die Diskriminante beträgt ```math D=1^2-4\cdot2\cdot3=1-24=-23 ``` Die negative Diskriminante zeigt, dass die Gleichung zwei nichtreelle komplexe Nullstellen besitzt. Ihre exakten Werte sind Component: MathContainer Children: ```math x=\frac{-1\pm\sqrt{-23}}{2\cdot2} ``` ```math x=\frac{-1\pm i\sqrt{23}}4 ``` Also gilt ```math x_1=\frac{-1+i\sqrt{23}}4\qquad\text{und}\qquad x_2=\frac{-1-i\sqrt{23}}4 ``` ## Was der reelle Graph zeigt Die Gleichung aus dem ersten Beispiel lässt sich umformen zu ```math f(x)=x^2+4x+5=(x+2)^2+1 ``` Für jedes reelle $$x$$ ist $$(x+2)^2$$ nichtnegativ, also gilt $$f(x)\ge1$$. Der Graph liegt vollständig oberhalb der $$x$$-Achse und hat keine reellen Schnittpunkte mit ihr. Die komplexen Nullstellen sind keine zusätzlichen Punkte in diesem reellen Graphen. Sie gehören zum erweiterten Zahlbereich. Visible text: Für jedes reelle ist nichtnegativ, also gilt . Der Graph liegt vollständig oberhalb der -Achse und hat keine reellen Schnittpunkte mit ihr. Die komplexen Nullstellen sind keine zusätzlichen Punkte in diesem reellen Graphen. Sie gehören zum erweiterten Zahlbereich. ## Warum die Nullstellen konjugiert auftreten Bei reellen Koeffizienten enthält die Lösungsformel den Ausdruck ```math -b\pm i\sqrt{|D|} ``` Die beiden Vorzeichen ändern nur den Imaginärteil. So entstehen $$u+vi$$ und $$u-vi$$, die komplex konjugiert heißen. Ist eine Zahl Nullstelle eines Polynoms mit reellen Koeffizienten, dann ist auch ihre konjugierte Zahl eine Nullstelle. Visible text: Die beiden Vorzeichen ändern nur den Imaginärteil. So entstehen und , die komplex konjugiert heißen. Ist eine Zahl Nullstelle eines Polynoms mit reellen Koeffizienten, dann ist auch ihre konjugierte Zahl eine Nullstelle. ## Übungsaufgabe Löse $$2x^2+2x+5=0$$ über den komplexen Zahlen. Visible text: Löse über den komplexen Zahlen. ### Ausführliche Lösung Wir beginnen mit der Diskriminante: ```math D=2^2-4\cdot2\cdot5=4-40=-36 ``` Da $$D<0$$ gilt, setzen wir $$\sqrt{-36}=6i$$ in die Lösungsformel ein: Visible text: Da gilt, setzen wir in die Lösungsformel ein: Component: MathContainer Children: ```math x=\frac{-2\pm\sqrt{-36}}{2\cdot2} ``` ```math x=\frac{-2\pm6i}{4}=-\frac12\pm\frac32i ``` Das konjugierte Nullstellenpaar lautet somit ```math x_1=-\frac12+\frac32i\qquad\text{und}\qquad x_2=-\frac12-\frac32i ``` Ihre Summe ist $$-1=-\frac ba$$ und ihr Produkt $$\frac52=\frac ca$$. Beides stimmt mit den Formeln von Vieta überein und bestätigt das Ergebnis. Visible text: Ihre Summe ist und ihr Produkt . Beides stimmt mit den Formeln von Vieta überein und bestätigt das Ergebnis.