# Lösungsformel für quadratische Gleichungen
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Leite die Lösungsformel her, nutze die Diskriminante und löse quadratische Gleichungen anhand vollständig ausgearbeiteter Beispiele.
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## Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen
Eine quadratische Gleichung hat die Form $$ax^2 + bx + c = 0$$ mit $$a \neq 0$$. Dabei gilt:
Visible text: Eine quadratische Gleichung hat die Form mit . Dabei gilt:
- $$a$$ ist der Koeffizient von $$x^2$$.
- $$b$$ ist der Koeffizient von $$x$$.
- $$c$$ ist der konstante Term.
Visible text: - ist der Koeffizient von .
- ist der Koeffizient von .
- ist der konstante Term.
Die Lösungen von $$ax^2 + bx + c = 0$$ lassen sich mit folgender Formel bestimmen:
Visible text: Die Lösungen von lassen sich mit folgender Formel bestimmen:
```math
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
```
Über den komplexen Zahlen liefern die beiden Vorzeichen die zwei Lösungen mit ihrer jeweiligen Vielfachheit. Ist die Diskriminante null, ergeben beide Ausdrücke dieselbe doppelte Lösung:
- $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ mit dem Pluszeichen
- $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ mit dem Minuszeichen
Visible text: - mit dem Pluszeichen
- mit dem Minuszeichen
Der Ausdruck $$b^2 - 4ac$$ ist die Diskriminante. Sein Vorzeichen bestimmt die Art der Lösungen:
Visible text: Der Ausdruck ist die Diskriminante. Sein Vorzeichen bestimmt die Art der Lösungen:
- Für $$b^2 - 4ac > 0$$ gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen.
- Für $$b^2 - 4ac = 0$$ gibt es eine doppelte reelle Lösung.
- Für $$b^2 - 4ac < 0$$ gibt es keine reellen Lösungen, aber zwei nichtreelle komplex konjugierte Lösungen.
Visible text: - Für gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen.
- Für gibt es eine doppelte reelle Lösung.
- Für gibt es keine reellen Lösungen, aber zwei nichtreelle komplex konjugierte Lösungen.
## Herleitung der Lösungsformel
Die Lösungsformel ergibt sich direkt durch quadratische Ergänzung.
Ausgangspunkt ist die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung:
```math
ax^2 + bx + c = 0
```
**Schritt** $$1$$: Alle Terme durch $$a$$, den Koeffizienten von $$x^2$$, teilen:
Visible text: **Schritt** : Alle Terme durch , den Koeffizienten von , teilen:
```math
x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0
```
**Schritt** $$2$$: Den konstanten Term auf die rechte Seite bringen:
Visible text: **Schritt** : Den konstanten Term auf die rechte Seite bringen:
```math
x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}
```
**Schritt** $$3$$: Auf beiden Seiten das Quadrat des halben Koeffizienten von $$x$$ addieren:
Visible text: **Schritt** : Auf beiden Seiten das Quadrat des halben Koeffizienten von addieren:
```math
x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} = -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}
```
**Schritt** $$4$$: Die linke Seite als binomisches Quadrat schreiben:
Visible text: **Schritt** : Die linke Seite als binomisches Quadrat schreiben:
```math
\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}
```
**Schritt** $$5$$: Die rechte Seite zusammenfassen:
Visible text: **Schritt** : Die rechte Seite zusammenfassen:
```math
\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}
```
**Schritt** $$6$$: Auf beiden Seiten die Quadratwurzel ziehen:
Visible text: **Schritt** : Auf beiden Seiten die Quadratwurzel ziehen:
```math
x + \frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
```
**Schritt** $$7$$: Auflösen nach $$x$$:
Visible text: **Schritt** : Auflösen nach :
```math
x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
```
Damit ist die Lösungsformel hergeleitet:
```math
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
```
### Die Lösungsformel anwenden
Eine quadratische Gleichung lässt sich in vier Schritten lösen:
1. Die Gleichung in die allgemeine Form $$ax^2 + bx + c = 0$$ bringen.
2. Die Werte von $$a$$, $$b$$ und $$c$$ ablesen.
3. Diese Werte in $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ einsetzen.
4. Beide Werte von $$x$$ berechnen.
Visible text: 1. Die Gleichung in die allgemeine Form bringen.
2. Die Werte von , und ablesen.
3. Diese Werte in einsetzen.
4. Beide Werte von berechnen.
### Beispiele
**Beispiel** $$1$$: Löse $$x^2 + 5x + 6 = 0$$.
Visible text: **Beispiel** : Löse .
Die Koeffizienten sind $$a = 1$$, $$b = 5$$ und $$c = 6$$.
Visible text: Die Koeffizienten sind , und .
In die Formel eingesetzt:
```math
x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{-5 \pm 1}{2}
```
Für $$x_1$$ wird das Pluszeichen gewählt:
Visible text: Für wird das Pluszeichen gewählt:
```math
x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2
```
Für $$x_2$$ wird das Minuszeichen gewählt:
Visible text: Für wird das Minuszeichen gewählt:
```math
x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3
```
Die Lösungen sind $$x_1 = -2$$ und $$x_2 = -3$$.
Visible text: Die Lösungen sind und .
**Beispiel** $$2$$: Löse $$2x^2 - 7x + 3 = 0$$.
Visible text: **Beispiel** : Löse .
Die Koeffizienten sind $$a = 2$$, $$b = -7$$ und $$c = 3$$.
Visible text: Die Koeffizienten sind , und .
In die Formel eingesetzt:
```math
x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{4} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{7 \pm 5}{4}
```
Für $$x_1$$ wird das Pluszeichen gewählt:
Visible text: Für wird das Pluszeichen gewählt:
```math
x_1 = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3
```
Für $$x_2$$ wird das Minuszeichen gewählt:
Visible text: Für wird das Minuszeichen gewählt:
```math
x_2 = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
```
Die Lösungen sind $$x_1 = 3$$ und $$x_2 = \frac{1}{2}$$.
Visible text: Die Lösungen sind und .
## Die Diskriminante
Der Ausdruck $$b^2 - 4ac$$ in der Lösungsformel heißt Diskriminante und wird meist mit $$D$$ oder $$\Delta$$ bezeichnet.
Visible text: Der Ausdruck in der Lösungsformel heißt Diskriminante und wird meist mit oder bezeichnet.
Die Diskriminante zeigt, welche Art von Lösungen eine quadratische Gleichung besitzt:
- Für $$D > 0$$ hat die Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen.
- Für $$D = 0$$ hat die Gleichung eine doppelte reelle Lösung.
- Für $$D < 0$$ hat die Gleichung keine reellen Lösungen, sondern zwei komplexe Lösungen.
Visible text: - Für hat die Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen.
- Für hat die Gleichung eine doppelte reelle Lösung.
- Für hat die Gleichung keine reellen Lösungen, sondern zwei komplexe Lösungen.
## Zusammenhang zwischen Lösungen und Koeffizienten
Sind $$x_1$$ und $$x_2$$ die Lösungen von $$ax^2 + bx + c = 0$$, gelten die Formeln von Vieta:
Visible text: Sind und die Lösungen von , gelten die Formeln von Vieta:
1. Summe der Lösungen: $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$
2. Produkt der Lösungen: $$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$
Visible text: 1. Summe der Lösungen:
2. Produkt der Lösungen:
### Herleitung der Zusammenhänge
Aus der Lösungsformel folgt:
```math
x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \quad \text{und} \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
```
Die Lösungen addieren:
```math
x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}
```
Die Lösungen multiplizieren:
```math
x_1 \cdot x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \cdot \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{b^2 - (\sqrt{b^2 - 4ac})^2}{4a^2} = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}
```
## Eine Gleichung aus bekannten Lösungen bilden
Sind $$p$$ und $$q$$ als Lösungen bekannt, lautet eine normierte quadratische Gleichung mit diesen Lösungen:
Visible text: Sind und als Lösungen bekannt, lautet eine normierte quadratische Gleichung mit diesen Lösungen:
```math
(x - p)(x - q) = 0
```
Oder in Standardform:
```math
x^2 - (p+q)x + pq = 0
```
### Weiterführende Beispiele
1. Die quadratische Gleichung $$x^2 + 4x + 3 = 0$$ hat die Lösungen $$p$$ und $$q$$.
Bestimme eine quadratische Gleichung mit den Lösungen $$2p$$ und $$2q$$.
**Schritt** $$1$$: Die Werte von $$p + q$$ und $$p \cdot q$$ bestimmen
```math
p + q = -\frac{b}{a} = -\frac{4}{1} = -4
```
```math
p \cdot q = \frac{c}{a} = \frac{3}{1} = 3
```
**Schritt** $$2$$: Summe und Produkt der neuen Lösungen berechnen
```math
2p + 2q = 2(p + q) = 2(-4) = -8
```
```math
2p \cdot 2q = 4(p \cdot q) = 4 \cdot 3 = 12
```
**Schritt** $$3$$: Die neue quadratische Gleichung aufstellen
```math
x^2 - (-8)x + 12 = 0
```
```math
x^2 + 8x + 12 = 0
```
2. Die quadratische Gleichung $$x^2 + 4x - 21 = 0$$ hat die Lösungen $$p$$ und $$q$$.
Bestimme eine quadratische Gleichung mit den Lösungen $$\frac{1}{2p}$$ und $$\frac{1}{2q}$$.
**Schritt** $$1$$: Die Werte von $$p + q$$ und $$p \cdot q$$ bestimmen
```math
p + q = -\frac{b}{a} = -\frac{4}{1} = -4
```
```math
p \cdot q = \frac{c}{a} = \frac{-21}{1} = -21
```
**Schritt** $$2$$: Summe und Produkt der neuen Lösungen berechnen
```math
\frac{1}{2p} + \frac{1}{2q} = \frac{1}{2} \left(\frac{q + p}{pq}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{-4}{-21} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{21} = \frac{4}{42} = \frac{2}{21}
```
```math
\frac{1}{2p} \cdot \frac{1}{2q} = \frac{1}{4pq} = \frac{1}{4 \cdot (-21)} = \frac{1}{-84} = -\frac{1}{84}
```
**Schritt** $$3$$: Die neue quadratische Gleichung aufstellen
```math
x^2 - \frac{2}{21}x - \frac{1}{84} = 0
```
Visible text: 1. Die quadratische Gleichung hat die Lösungen und .
Bestimme eine quadratische Gleichung mit den Lösungen und .
**Schritt** : Die Werte von und bestimmen
**Schritt** : Summe und Produkt der neuen Lösungen berechnen
**Schritt** : Die neue quadratische Gleichung aufstellen
2. Die quadratische Gleichung hat die Lösungen und .
Bestimme eine quadratische Gleichung mit den Lösungen und .
**Schritt** : Die Werte von und bestimmen
**Schritt** : Summe und Produkt der neuen Lösungen berechnen
**Schritt** : Die neue quadratische Gleichung aufstellen
## Übungsaufgaben
Löse die folgenden quadratischen Gleichungen mit der Lösungsformel:
1. $$x^2 + 5x + 6 = 0$$
2. $$2x^2 + 6x + 3 = 0$$
3. $$6x^2 + 2x + \frac{1}{6} = 0$$
4. $$\frac{1}{2}x^2 + 4x + 6 = 0$$
5. $$\frac{2}{3}x^2 + 2x - 12 = 0$$
Visible text: 1.
2.
3.
4.
5.
### Ausführliche Lösungen
1. Lösung der quadratischen Gleichung $$x^2 + 5x + 6 = 0$$
Koeffizienten: $$a = 1$$, $$b = 5$$, $$c = 6$$
```math
x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}
```
```math
= \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}
```
```math
= \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2}
```
```math
= \frac{-5 \pm 1}{2}
```
Für $$x_1$$ das Pluszeichen einsetzen:
```math
x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2
```
Für $$x_2$$ das Minuszeichen einsetzen:
```math
x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3
```
Damit lauten die Lösungen $$x_1 = -2$$ und $$x_2 = -3$$.
2. Lösung der quadratischen Gleichung $$2x^2 + 6x + 3 = 0$$
Koeffizienten: $$a = 2$$, $$b = 6$$, $$c = 3$$
```math
x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}
```
```math
= \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 24}}{4}
```
```math
= \frac{-6 \pm \sqrt{12}}{4}
```
```math
= \frac{-6 \pm 2\sqrt{3}}{4}
```
```math
= \frac{-3 \pm \sqrt{3}}{2}
```
Für $$x_1$$ das Pluszeichen einsetzen:
```math
x_1 = \frac{-3 + \sqrt{3}}{2}
```
Für $$x_2$$ das Minuszeichen einsetzen:
```math
x_2 = \frac{-3 - \sqrt{3}}{2}
```
Die Lösungen sind $$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{3}}{2}$$ und $$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{3}}{2}$$.
3. Lösung der quadratischen Gleichung $$6x^2 + 2x + \frac{1}{6} = 0$$
Koeffizienten: $$a = 6$$, $$b = 2$$, $$c = \frac{1}{6}$$
```math
x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 6 \cdot \frac{1}{6}}}{2 \cdot 6}
```
```math
= \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4}}{12}
```
```math
= \frac{-2 \pm 0}{12}
```
```math
= \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}
```
Da die Diskriminante $$b^2 - 4ac = 0$$ beträgt, hat die Gleichung eine doppelte reelle Lösung.
Die doppelte Lösung ist $$x_1 = x_2 = -\frac{1}{6}$$.
4. Lösung der quadratischen Gleichung $$\frac{1}{2}x^2 + 4x + 6 = 0$$
Koeffizienten: $$a = \frac{1}{2}$$, $$b = 4$$, $$c = 6$$
```math
x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6}}{2 \cdot \frac{1}{2}}
```
```math
= \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{1}
```
```math
= \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{1}
```
```math
= -4 \pm 2
```
Für $$x_1$$ das Pluszeichen einsetzen:
```math
x_1 = -4 + 2 = -2
```
Für $$x_2$$ das Minuszeichen einsetzen:
```math
x_2 = -4 - 2 = -6
```
Die Lösungen sind $$x_1 = -2$$ und $$x_2 = -6$$.
5. Lösung der quadratischen Gleichung $$\frac{2}{3}x^2 + 2x - 12 = 0$$
Koeffizienten: $$a = \frac{2}{3}$$, $$b = 2$$, $$c = -12$$
```math
x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot \frac{2}{3} \cdot (-12)}}{2 \cdot \frac{2}{3}}
```
```math
= \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{4/3}
```
```math
= \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{4/3}
```
```math
= \frac{-2 \pm 6}{4/3}
```
```math
= \frac{3(-2 \pm 6)}{4}
```
Für $$x_1$$ das Pluszeichen einsetzen:
```math
x_1 = \frac{3(-2 + 6)}{4} = \frac{3 \cdot 4}{4} = 3
```
Für $$x_2$$ das Minuszeichen einsetzen:
```math
x_2 = \frac{3(-2 - 6)}{4} = \frac{3 \cdot (-8)}{4} = -6
```
Die Lösungen sind $$x_1 = 3$$ und $$x_2 = -6$$.
Visible text: 1. Lösung der quadratischen Gleichung
Koeffizienten: , ,
Für das Pluszeichen einsetzen:
Für das Minuszeichen einsetzen:
Damit lauten die Lösungen und .
2. Lösung der quadratischen Gleichung
Koeffizienten: , ,
Für das Pluszeichen einsetzen:
Für das Minuszeichen einsetzen:
Die Lösungen sind und .
3. Lösung der quadratischen Gleichung
Koeffizienten: , ,
Da die Diskriminante beträgt, hat die Gleichung eine doppelte reelle Lösung.
Die doppelte Lösung ist .
4. Lösung der quadratischen Gleichung
Koeffizienten: , ,
Für das Pluszeichen einsetzen:
Für das Minuszeichen einsetzen:
Die Lösungen sind und .
5. Lösung der quadratischen Gleichung
Koeffizienten: , ,
Für das Pluszeichen einsetzen:
Für das Minuszeichen einsetzen:
Die Lösungen sind und .